李昭銳 賴帥光

（1.海軍航空大學(xué) 煙臺(tái) 264000）（2.91526部隊(duì) 湛江 524000）

1 引言

隨著作戰(zhàn)飛機(jī)性能的提升，空空導(dǎo)彈的作戰(zhàn)范圍得到一定程度地?cái)U(kuò)大，超視距空戰(zhàn)將是未來空戰(zhàn)的主要空戰(zhàn)模式。但隨著各種電子、光電對抗技術(shù)的進(jìn)步以及隱身戰(zhàn)機(jī)的出現(xiàn)，很難保證敵方目標(biāo)全部在視距外消滅，中遠(yuǎn)距目標(biāo)的攔截難免存在漏網(wǎng)之魚，此時(shí)的空戰(zhàn)將轉(zhuǎn)為近距格斗狀態(tài)。未來典型空戰(zhàn)將從超視距交戰(zhàn)開始，對在中遠(yuǎn)程攔截過程中逃脫的目標(biāo)，使用近距空空導(dǎo)彈實(shí)施攔截，雙方的空戰(zhàn)模式以近距格斗結(jié)束［1～2］。因此，在未來空戰(zhàn)模式向超視距空戰(zhàn)發(fā)展的前提下，中遠(yuǎn)程攔截武器十分重要，但近距空戰(zhàn)也必不可少。所以，近距空空導(dǎo)彈作為近距空戰(zhàn)的主要武器，其在作戰(zhàn)使用中能否有效命中目標(biāo)是奪取空戰(zhàn)制空權(quán)的關(guān)鍵。

對空空導(dǎo)彈是否命中目標(biāo)常以脫靶量為依據(jù)，脫靶量定義為導(dǎo)彈遇靶時(shí)與目標(biāo)的最小距離，對脫靶量的計(jì)算分析能夠?yàn)閷?dǎo)彈彈道性能的評估以及作戰(zhàn)使用提供參考［3～4］。脫靶量的計(jì)算基于導(dǎo)彈彈道模型的構(gòu)建，為了彈道解算的快速性，彈道模型多以三自由度為主［5～6］，未考慮導(dǎo)彈的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，模型與實(shí)際仍有偏差。在脫靶量分析方面，Armando等［7］以傾斜轉(zhuǎn)彎控制的BTT 導(dǎo)彈為研究對象，分析了彈目初始高度變化對導(dǎo)彈脫靶量的影響。Venkatraman等［8］在此基礎(chǔ)上分析了彈目初始距離等初始條件對導(dǎo)彈脫靶量的影響。以上研究未能對彈目交會(huì)過程中的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行計(jì)算分析，不能較好地解釋初始條件變化下脫靶量變化的原因。

因此，本文在六自由度彈道模型［9］的基礎(chǔ)上，以盤旋機(jī)動(dòng)目標(biāo)為例，建立彈目交會(huì)仿真模型。運(yùn)用文獻(xiàn)［10］的方法對彈目交會(huì)軌跡進(jìn)行了后處理展示，對不同初始條件下導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的脫靶量進(jìn)行了仿真計(jì)算，考慮了彈目初始距離、初始高度對導(dǎo)彈脫靶量的影響。在此基礎(chǔ)上，對導(dǎo)彈在彈目交會(huì)過程中的速度、過載等參數(shù)進(jìn)行了分析，給出了上述初始條件變化下導(dǎo)彈脫靶量的變化原因，為空空導(dǎo)彈的作戰(zhàn)使用提供了參考。

2 空空導(dǎo)彈建模

2.1 空空導(dǎo)彈仿真模型

模型組成如圖1所示。

圖1 空空導(dǎo)彈仿真模型組成

2.2 導(dǎo)彈力與力矩方程

通過對導(dǎo)彈進(jìn)行受力分析，得到導(dǎo)彈力與力矩方程［9］如下：

其中f1、f2、f3為作用在導(dǎo)彈上的空氣動(dòng)力和推力的合力f在彈體坐標(biāo)系上的分量，fp為導(dǎo)彈的發(fā)動(dòng)機(jī)推力，為動(dòng)壓，mB1、mB2、mB3為導(dǎo)彈的空氣動(dòng)力矩在彈體坐標(biāo)系上的分量，S為導(dǎo)彈的參考面積，d為導(dǎo)彈的參考長度，CA、CY、CN分別為導(dǎo)彈在彈體坐標(biāo)系x、y、z方向上的力系數(shù)，Cl、Cm、Cn分別為導(dǎo)彈的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航力矩系數(shù)，對力與力矩系數(shù)的計(jì)算詳見文獻(xiàn)［9］。

另外，對推力的建模依據(jù)離散的導(dǎo)彈推力數(shù)據(jù)表進(jìn)行關(guān)于飛行時(shí)間的插值計(jì)算，相關(guān)的插值數(shù)據(jù)見表1。

表1 導(dǎo)彈推力插值數(shù)據(jù)表

2.3 導(dǎo)彈轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程用于求解在彈體坐標(biāo)系下導(dǎo)彈彈體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，得到的方程［9］如下：

其中p、q、r為導(dǎo)彈的角速度矢量在彈體坐標(biāo)系中的分量，I1、I2、I3分別為導(dǎo)彈在滾轉(zhuǎn)、偏航以及俯仰方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（對軸對稱導(dǎo)彈來說I2=I3），轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨時(shí)間變化，同樣結(jié)合相關(guān)插值數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算。

2.4 導(dǎo)彈平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程用于求解導(dǎo)彈的速度矢量，得到的動(dòng)力學(xué)方程［9］如下：

其中，u、ν、w為導(dǎo)彈的速度矢量在彈體坐標(biāo)系上的分量，tij（i，j=1，2，3）表示當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系與彈體坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣[T]BL在對應(yīng)下標(biāo)位置上的元素，m為導(dǎo)彈質(zhì)量，導(dǎo)彈質(zhì)量隨時(shí)間變化，同樣結(jié)合相關(guān)插值數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算。

2.5 導(dǎo)彈平動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

平動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程用于求解導(dǎo)彈的位置坐標(biāo)，得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程［9］如下：

其中s1、s2、s3為導(dǎo)彈在當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系下的位置坐標(biāo)。

2.6 導(dǎo)彈轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)部分主要通過四元數(shù)法建立四元數(shù)微分方程，通過求解微分方程得到導(dǎo)彈在彈體坐標(biāo)系與當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣[T]BL，以及導(dǎo)彈的姿態(tài)信息。關(guān)于四元數(shù)法的詳細(xì)信息，請參考文獻(xiàn)［9］。

3 彈目交會(huì)過程建模

在對空空導(dǎo)彈建模的基礎(chǔ)上，對目標(biāo)運(yùn)動(dòng)、彈目交會(huì)過程中的導(dǎo)彈導(dǎo)引、控制進(jìn)行了建模仿真，并計(jì)算了彈目交會(huì)過程中導(dǎo)彈的脫靶量數(shù)據(jù)，得到了彈目交會(huì)仿真模型見圖2。

圖2 彈目交會(huì)仿真模型

下面分別對目標(biāo)部分、導(dǎo)引部分、控制部分以及脫靶量的計(jì)算進(jìn)行簡要說明。

3.1 目標(biāo)機(jī)動(dòng)

本文討論的目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式為盤旋機(jī)動(dòng)，目標(biāo)做盤旋機(jī)動(dòng)時(shí)，其機(jī)動(dòng)平面平行于當(dāng)?shù)厮矫?，飛行軌跡視為機(jī)動(dòng)平面內(nèi)的一個(gè)圓，在目標(biāo)航跡坐標(biāo)系k下對其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模如下（其中ak為目標(biāo)盤旋機(jī)動(dòng)加速度幅值）：

3.2 導(dǎo)彈導(dǎo)引律建模

本文的空空導(dǎo)彈導(dǎo)引律引用了文獻(xiàn)［9］中的比例導(dǎo)引制導(dǎo)方式，其原理如下：

其中a為垂直于導(dǎo)彈速率的加速度指令，N為導(dǎo)航比（本文的仿真設(shè)N=3），V為彈目之間的接近速度（即彈目接近速度在彈目視線矢量投影上的分量），Ω 為彈目視線矢量相對于當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系的角速度，uν為彈目單位視線矢量，g為重力偏差量。

3.3 導(dǎo)彈控制建模

導(dǎo)彈控制部分首先通過自動(dòng)駕駛儀計(jì)算出導(dǎo)彈的舵偏指令，包括滾轉(zhuǎn)、俯仰以及偏航舵偏指令。在此基礎(chǔ)上，建立舵偏與導(dǎo)彈力與力矩系數(shù)之間的關(guān)系表達(dá)式來表征舵偏對力與力矩的作用效果，針對導(dǎo)彈控制舵偏指令的計(jì)算以及其與導(dǎo)彈力與力矩系數(shù)的關(guān)系表達(dá)式涉及內(nèi)容較多，詳情可參考文獻(xiàn)［9］。

3.4 脫靶量計(jì)算

仿真中設(shè)定當(dāng)彈目距離小于50m 且導(dǎo)彈不再接近目標(biāo)時(shí)，仿真結(jié)束，此時(shí)依據(jù)彈目的離散坐標(biāo)數(shù)據(jù)，采用線性插值精確計(jì)算脫靶量。若不滿足上述結(jié)束條件，仿真繼續(xù)運(yùn)行直到導(dǎo)彈飛行時(shí)間達(dá)到上限（12s），此時(shí)將彈目交會(huì)過程中的最小彈目距離作為脫靶量分析。

現(xiàn)對第一種結(jié)束情形下采用線性插值方法計(jì)算脫靶量的方法進(jìn)行說明。

首先計(jì)算彈目相對距離最小的時(shí)刻t，定義該時(shí)刻為導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時(shí)刻。如圖3 所示，設(shè)t2時(shí)刻導(dǎo)彈位于M2處，目標(biāo)位于T2處，此時(shí)導(dǎo)彈不再接近目標(biāo)，彈目距離開始增大。選取t1時(shí)刻為數(shù)值積分計(jì)算時(shí)t2的前一時(shí)刻，即t2-t1=Δt，Δt為積分步長。設(shè)t1時(shí)刻導(dǎo)彈位于M1處，目標(biāo)位于T1處，則導(dǎo)彈與目標(biāo)相對距離最小的時(shí)刻t應(yīng)介于t1與t2之間，具體計(jì)算公式見式（8），其中Sm、St分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)在t1至t2時(shí)間段內(nèi)的位移向量，Smt為t1時(shí)刻彈目相對位置向量。

圖3 脫靶量計(jì)算示意圖

在導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時(shí)刻t確定的基礎(chǔ)上，在積分步長Δt內(nèi)利用線性插值計(jì)算出導(dǎo)彈t時(shí)刻的脫靶量向量M見式（9），導(dǎo)彈的脫靶量數(shù)值即為脫靶量向量M的模。

4 脫靶量仿真結(jié)果及分析

基于上述模型的建立，對不同彈目初始條件下導(dǎo)彈的脫靶量進(jìn)行了仿真計(jì)算，得到了以下的仿真結(jié)果。

4.1 不同彈目初始距離對導(dǎo)彈脫靶量影響分析

對攔截不同初始距離目標(biāo)的脫靶量進(jìn)行了仿真計(jì)算，仿真假設(shè)彈目初始高度均為3km；彈目初始速度均朝y軸正方向，大小均為250m/s；目標(biāo)初始時(shí)刻位于y軸正方向且在初始時(shí)刻向右做盤旋機(jī)動(dòng)，盤旋機(jī)動(dòng)加速度為5g，其中盤旋機(jī)動(dòng)加速度對應(yīng)于式（6）中的加速度ak；圖4 為彈目初始距離為1km 時(shí)的交會(huì)軌跡，脫靶量計(jì)算結(jié)果見圖5。由圖5 可知，當(dāng)彈目初始距離較小時(shí)，導(dǎo)彈脫靶量較大。隨著初始距離的增大，導(dǎo)彈的脫靶量減小并保持在較小水平。當(dāng)初始距離進(jìn)一步增大時(shí)，導(dǎo)彈的脫靶量急劇增大。

圖4 彈目初始距離1km下的交會(huì)軌跡圖

圖5 不同彈目初始距離下的脫靶量計(jì)算結(jié)果

為深入分析彈目初始距離對脫靶量的影響原因，對交會(huì)過程中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了仿真計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見圖6。由圖6（a）可知，當(dāng)彈目初始距離較小時(shí)，導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)的需用過載較大，導(dǎo)致導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)的導(dǎo)引誤差較大，導(dǎo)彈的脫靶量較大。然而，由圖6（b）可知，隨著彈目初始距離的不斷增大，導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時(shí)間不斷延長。當(dāng)攔截時(shí)間達(dá)到上限時(shí)，導(dǎo)彈達(dá)到最遠(yuǎn)攻擊距離，此時(shí)伴隨著初始距離的進(jìn)一步增大，導(dǎo)彈開始丟失目標(biāo)，脫靶量開始增大。

圖6 不同彈目初始距離下相關(guān)參數(shù)計(jì)算結(jié)果

4.2 不同彈目初始高度對導(dǎo)彈脫靶量影響分析

對不同初始高度下導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的脫靶量進(jìn)行了仿真計(jì)算，彈目初始距離為7km，其余彈目初始條件同4.1。圖7 為初始高度1km、18km 下的彈目交會(huì)軌跡，脫靶量計(jì)算結(jié)果見圖8。

圖7 不同初始高度下的彈目交會(huì)軌跡圖

圖8 不同高度下脫靶量計(jì)算結(jié)果

由圖8 可知，當(dāng)彈目初始高度處于較低水平時(shí)，導(dǎo)彈的脫靶量隨高度的升高先減小后保持穩(wěn)定。當(dāng)高度較高時(shí)，導(dǎo)彈的脫靶量隨高度的升高出現(xiàn)了一定程度的波動(dòng)。當(dāng)高度進(jìn)一步升高時(shí)，以18km為例，結(jié)合圖7（b）的彈目交會(huì)軌跡可知，此時(shí)導(dǎo)彈的姿態(tài)穩(wěn)定性較差，導(dǎo)彈控制難度變大，進(jìn)而導(dǎo)致導(dǎo)彈丟失目標(biāo)，脫靶量急劇增大。

為深入分析彈目初始高度對脫靶量的影響原因，對交會(huì)過程中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了仿真計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見圖9。由圖9（a）可知，當(dāng)彈目初始高度初步升高時(shí)，以1km、8km 為例，由于導(dǎo)彈所受阻力的減小，導(dǎo)彈整體速度有所增大，認(rèn)為這是導(dǎo)彈脫靶量隨高度升高先減小而后保持穩(wěn)定的原因。

圖9 不同彈目初始高度下相關(guān)參數(shù)計(jì)算結(jié)果

然而，結(jié)合圖9（b）、9（c）可知，當(dāng)高度進(jìn)一步升高時(shí)，以13km、15km 為例，導(dǎo)彈在發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)段所受過載穩(wěn)定性變差，使得加速階段導(dǎo)彈速度出現(xiàn)了一定程度的波動(dòng)，影響了導(dǎo)彈的加速性能，進(jìn)而使得導(dǎo)彈慣性飛行段的初速度有所減小。從這一方面來說，高度的升高會(huì)促使導(dǎo)彈脫靶量的增大。另一方面，由于高度的升高促進(jìn)導(dǎo)彈所受阻力的進(jìn)一步減小。相比于低空環(huán)境下，高空環(huán)境下（仍以13km、15km為例）導(dǎo)彈慣性飛行段的速度下降速率有所減小，表明高度的升高仍能促進(jìn)導(dǎo)彈所受阻力的減小，進(jìn)而促進(jìn)慣性飛行段整體速度的增大，從而促進(jìn)導(dǎo)彈脫靶量的減小。因此，在以上兩方面因素的綜合作用下，脫靶量隨彈目高度的增大出現(xiàn)的波動(dòng)現(xiàn)象得以解釋說明。

特別地，當(dāng)高度進(jìn)一步升高時(shí)，以18km 為例，由圖9（c）可知，導(dǎo)彈所受過載的穩(wěn)定性在整個(gè)飛行時(shí)段都在變差，導(dǎo)彈完全丟失目標(biāo)，脫靶量急劇增大。

5 結(jié)語

本文在構(gòu)建彈目交會(huì)模型的基礎(chǔ)上，以盤旋機(jī)動(dòng)目標(biāo)為例，對不同彈目初始距離、初始高度下近距空空導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的脫靶量進(jìn)行了計(jì)算，同時(shí)對彈目交會(huì)過程中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算進(jìn)而分析了不同初始條件下脫靶量的變化原因，得出了以下結(jié)論：

1）當(dāng)彈目初始距離較小時(shí)，導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)的需用過載較大，導(dǎo)彈的導(dǎo)引誤差較大，導(dǎo)彈的脫靶量相對較大。隨著彈目初始距離的增大，導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)的需用過載相對減小，導(dǎo)彈的脫靶量有所減小。然而，當(dāng)彈目初始距離達(dá)到導(dǎo)彈最遠(yuǎn)攻擊距離時(shí)，伴隨著彈目初始距離的進(jìn)一步增大，導(dǎo)彈開始丟失目標(biāo)，脫靶量隨之增大。

2）當(dāng)高度處于較低水平時(shí)，導(dǎo)彈的脫靶量隨高度的升高先減小后保持穩(wěn)定，原因在于高度升高，導(dǎo)彈所受阻力減小，導(dǎo)彈整體速度增大促使脫靶量減小至較低水平保持穩(wěn)定。當(dāng)高度繼續(xù)升高時(shí)，雖然一方面導(dǎo)彈所受阻力進(jìn)一步減小，但是另一方面高度升高使得導(dǎo)彈所受過載穩(wěn)定性變差，影響了導(dǎo)彈的加速性能，導(dǎo)彈慣性飛行段的初速度有所減小，在兩方面綜合作用下導(dǎo)彈的脫靶量隨高度的升高出現(xiàn)了一定程度的波動(dòng)。當(dāng)高度進(jìn)一步升高時(shí)，導(dǎo)彈的控制穩(wěn)定性進(jìn)一步變差，此時(shí)導(dǎo)彈完全丟失目標(biāo)，脫靶量急劇增大。

以上結(jié)論對不同初始條件下空空導(dǎo)彈的脫靶量進(jìn)行了分析，為空空導(dǎo)彈在空戰(zhàn)中的作戰(zhàn)使用以及基于脫靶量分析的攻擊區(qū)計(jì)算提供了參考。