劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué),安徽 蕪湖 241000)

分析該題結(jié)構(gòu)雖簡(jiǎn)單、明了,但內(nèi)涵豐富、解法靈活,主要考查了正弦和余弦定理、三角恒等變換、三角形面積公式、構(gòu)造圖形表示幾何關(guān)系等知識(shí),強(qiáng)化了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).文章從不同角度探析該題,給出了九種不同解法,現(xiàn)與讀者分享交流.

1 解法探究

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

及sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC,得

如圖1,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,則

圖1 作高示意圖

BD=AB·sinA=BC·sinC,

AC=BC·cosC+AB·cosA.

聯(lián)立兩式整理,得

評(píng)注注意到該題的目標(biāo)為sinA,接下來考慮構(gòu)造關(guān)于角A的三角恒等式,變換化簡(jiǎn)即可解題.

圖2 構(gòu)角相等示意圖

在△BCD中,

CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠CBD,

圖3 構(gòu)兩邊相等圖

在△ABD中,

AD2=AB2+BD2-2AB·AD·cos∠ABD,

即(2-BD)2= 1+BD2+BD.

解法7如圖4,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D,連接AD,使得AD=AC.

圖4 構(gòu)兩邊相等圖

由∠ABD+∠ABC=π,得

cos∠ABD+cos∠ABC=0.

由余弦定理,得

代入數(shù)值計(jì)算,得

解法8如圖5,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D,連接CD,使得∠ACB=∠DCB.

圖5 構(gòu)兩角相等圖

在△ADC中,

AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC,

即4=4BD2+(1+BD)2+2BD(1+BD).

圖6 構(gòu)等腰梯形圖

易知等腰梯形存在外接圓,故由托勒密定理,得

AD·BC+AB·CD=AC·BD.

2 反思總結(jié)