■江蘇省無錫市第一中學(xué) 韋燕平

■江南大學(xué)理學(xué)院 謝廣喜

在一般的運動變化過程中,運動與靜止表現(xiàn)為辯證的統(tǒng)一,因此在特定的情況下,通常情況下的變量可能會表現(xiàn)為不變量,這種情況其實在數(shù)學(xué)學(xué)科里也廣泛存在,體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的恒常之美的魅力?！皬娀睌?shù)學(xué)試卷中有不少試題同樣表現(xiàn)了這一點,典型的題型如代數(shù)背景下恒等變換,三角背景下恒等變換,解析幾何背景下的 “三定”問題(定值探究、動直線過定點、動點在定直線上)等。

注意到不等式(ai+2-ai)2≥ai+2-ai(i=1,2,3,…,2 020),一般形式為x2≥x(x≥0,x∈Z),只有當x=0或x=1時取等號,而上面的不等式放縮過程的等號必須全部取得。

我們可以創(chuàng)建一種取等號條件如下:使a1=a2=…=a1924=1,a1925=a1926=1,a1927=a1928=2,…,a2020=a2021=48,a2021=a2022=49。此時可以讓上面的所有不等式均可取得等號,于是所求的f的最小值f0=7 400。

評注:求解這道題有幾個關(guān)鍵點:①多元情況下的配方如何實現(xiàn);②這里不但有恒等變換,而且有簡單的放縮(尤其是很多細節(jié)的處理);③取等號條件如何協(xié)調(diào)統(tǒng)一,使得全部不等式的等號都取得,若任何一個環(huán)節(jié)處理不好,都可能出錯。

例4(2021 年北京大學(xué)強基計劃數(shù)學(xué)試題)已知a,b,c是三個不全相等的實數(shù),且滿足a=ab+c,b=bc+a,c=ca+b,則a+b+c=_____。

解析:首先判定abc≠0。若abc=0,假設(shè)其中之一,比如a=0,代入a=ab+c第一個表達式可得c=0,與題意矛盾(先假設(shè)b=0或c=0,結(jié)論亦然,略)。

于是三式可變?yōu)閍c-c2=ba-a2=cbb2=abc。(*)

而原始條件三式相加得ab+bc+ca=0,進而由(*)式得:

利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)及ab+bc+ca=0可得:

(a+b+c)2=-3abc。①

我們下面設(shè)法再建立一個相關(guān)的等式,原始條件變?yōu)?

于是(1-a)(1-b)(1-c)=1,展開得1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=1。利用ab+bc+ca=0,得abc=-(a+b+c)≠0。②

結(jié)語:我們建議有意參加“強基計劃”數(shù)學(xué)學(xué)科測試的同學(xué)可以重點關(guān)注一下近10年的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題以及近5 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽各省的預(yù)賽試題,尤其是其中有一定難度的且適宜改編成選擇題的試題,要重點關(guān)注,因為這些試題也常常會被“強基計劃”數(shù)學(xué)試題的命題者所關(guān)注。