一、選擇題

1.C

3.B 提示:不妨設(shè)1≤x10。

所以a≥(1-lnx)max。

因?yàn)閥=1-lnx在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞減,所以(1-lnx)max=1-ln 1=1,故a≥1。

4.A

5.D 提示:已知(2x-3)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5。

令x=0,整理可得-243=a0-a1+a2-a3+a4-a5。①

令x= 2,整理可得1=a0+a1+a2+a3+a4+a5。②

由①+②得,-242=2a0+2a2+2a4,所以a0+a2+a4=-121。

其中恰有2 只兔子相鄰走出籠子方案為:先排5只雞,會(huì)產(chǎn)生6個(gè)空隙,再?gòu)? 只兔子中選2 只捆綁排列,最后與剩下的兔子排列到6個(gè)空隙中共有種方案。

7.B 提示:f(x)=ex-mx+n-1,則f′(x)=ex-m。

①當(dāng)m≤0 時(shí),f′(x)>0 恒 成 立,則f(x)單調(diào)遞增。而f(0)=n,顯然f(x)≥0不恒成立。

②當(dāng)m>0 時(shí),當(dāng)x∈(-∞,lnm)時(shí),f′(x)<0,函 數(shù)f(x)單 調(diào) 遞 減;當(dāng)x∈(lnm,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。

故f(x)min=f(lnm)=m-mlnm+n-1。

因f(x)≥0 恒成立,故m-mlnm+n-1≥0,即n≥mlnm-m+1。

故h(m)min=h(1)=0。

8.D 提示:因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)。

當(dāng)x>0 時(shí),xf′(x)<2f(-x)=-2f(x)?2f(x)+xf′(x)<0。

又g(x)=x2f(x),則g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]。

當(dāng)x>0時(shí),g′(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減。

當(dāng)x∈R 時(shí),g(-x)=(-x)2·f(-x)=-x2f(x)=-g(x),故g(x)=x2f(x)為R 上的奇函數(shù)。

又f(x)在R 上的圖像連續(xù)不斷,故g(x)在R 上單調(diào)遞減。

又因?yàn)間(log2(x2-2))+g(-1)>0,所以g(log2(x2-2))-g(1)>0,即g(log2(x2-2))>g(1)。

當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f′(x)=ex-1--a單調(diào)遞增,故f′(x)min=f′(1)=-a。

①若a≤0,則f′(x)≥0,所以f(x)在x∈[1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)≥f(1)=1恒成立。

②若a>0,則f′(1)= -a<0,由f′(x)單調(diào)遞增知,存在x0>1,使得f′(x0)=0。

當(dāng)x∈[1,x0)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)>0。

所以f(x0)1使得f(x0)<1,a>0不滿足題意。

綜上,a≤0。

二、填空題

于是可得,當(dāng)a≤1時(shí),方程2x2-x-a=0在x∈(1,+∞)上無(wú)解,即f′(x)>0恒成立,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增。

又f(1)=0,所以方程x2-alnx-x=0在區(qū)間(1,+∞)上無(wú)零點(diǎn),不符合題意。

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+∞)。

14.120 提示:由題意分兩種情況:

故x2的系數(shù)為108+12=120。

15.0.000 25 提示:記“患肺癌”為事件C,“吸煙”為事件A。

由題意得P(C)=0.001,P(A)=0.20,P(C|A)=0.004。

由全概率公式得,P(C)=P(C|A)·P(A)+P(C|)P()。

將數(shù)據(jù)代入,得0.001=0.004×0.20+P(C|)×0.80,解得P(C|)=0.000 25。

則f(x)=(ex+c)ex。

因?yàn)閒(0)=2,即1+c=2,所以c=1,f(x)=(ex+1)ex=e2x+ex。

又因?yàn)閤(f(x)-a)≥1+lnx+xex恒成立,所以x(e2x-a)≥1+lnx。

理由如下:構(gòu)造φ(x)=ex-x-1,則φ′(x)=ex-1。令φ′(x)=0,得x=0。若x>0,則φ′(x)>0;若x<0,則φ′(x)<0。故φ(x)在x=0處取得極小值,也是最小值,φ(x)≥φ(0)=0,從而得證。

三、解答題

曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率k切=f′(0)=2。

又f(0)=-1,則切點(diǎn)為(0,-1)。

所求切線方程為y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0。

又ex>0,由f′(x)=0,得x=-1 或x=2。

當(dāng)x∈(- ∞,-1)和(2,+ ∞)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(-1,2)時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增。

18.(1)設(shè)“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A,則P(A)=。

(2)X的可能取值為200,300,400,則

故X的分布列如表1所示。

表1

19.(1)設(shè)A表示“螺釘是次品”,B1表示“螺釘由Ⅰ號(hào)機(jī)器生產(chǎn)”,B2表示“螺釘由Ⅱ號(hào)機(jī)器生產(chǎn)”,B3表示“螺釘由Ⅲ號(hào)機(jī)器生產(chǎn)”,則P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25。

20.(1) 由題意得,(0.006+a+0.018+0.032+0.02+0.01)×10=1,解得a=0.014。

(2)設(shè)全校學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)為t。

因?yàn)?.1<0.2,0.1+0.2>0.2,所以t∈[80,90),0.1+(90-t)×0.02=0.2,則t=85。

估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的第80 百分位數(shù)為85。

(3)因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱80,90)與[90,100]的學(xué)生比例為2∶1,所以從全校成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生中抽取1 人,此人成績(jī)?cè)赱90,100]的概率為。

X的分布列如表2所示。

表2

21. (1)(i)分別設(shè)抽取的客戶為青年人、中年人、老年人為A1、A2、A3,抽到男性為事件B。

由已知可得,P(A1)=0.15,P(A2)=0.5,P(A3)=0.35,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.35,P(B|A3)=0.55。

由已知可得,抽取的客戶是男性的概率為P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.15×0.2+0.5×0.35+0.35×0.55=0. 397 5。

兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性。

22.(1)F′(x)=(x+1)ex-3a(x+1)·(x-1)=(x+1)(ex-3ax+3a)。

令g(x)=ex-3ax+3a,則g′(x)=ex-3a。令g′(x)=0,解得x=ln 3a。

當(dāng)x∈(-∞,ln 3a)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(ln 3a,+∞)時(shí),g′(x)>0。

所以g(x)在(-∞,ln 3a)上單調(diào)遞減,在(ln 3a,+∞)上單調(diào)遞增。

g(x)min=g(ln 3a)=6a-3aln 3a=3a(2-ln 3a)。

因?yàn)閤=-1 是函數(shù)F(x)=xex-a(x3-3x)的唯一極值點(diǎn),且a>0,所以g(ln 3a)≥0,即當(dāng)時(shí),g(x)≥0恒成立。

當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),F′(x)<0,F(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),F′(x)>0,F(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增。

故F(x)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)x=-1。

所以正實(shí)數(shù)a的取值范圍為。

(2)G(x)=f(x)-m(x+lnx)=xexmln (xex)(m>0)的定義域?yàn)?0,+∞)。

令t=xex>0,則上述函數(shù)變形為h(t)=t-mlnt。

對(duì)于t(x)=xex,x∈(0,+∞),則t′(x)=(1+x)ex>0,即t(x)=xex(0,+∞)上單調(diào)遞增。

已知存在實(shí)數(shù)x1,x2使得G(x1)=G(x2),不妨設(shè)x1

因?yàn)閙>0,所以當(dāng)0m時(shí),h′(t)>0,h(t)在(m,+∞)上單調(diào)遞增。

所以t=m為函數(shù)h(t)的唯一極小值點(diǎn)。0m。

令φ(t)=h(t)-h(2m-t)。

又h(t1)=h(t2),所以h(t2)>h(2mt1)。

由h(t)的單調(diào)性可知t2>2m-t1,即有t2+t1>2m成立,所以。