班曉倩 周龍橋 林府標(biāo)

摘要為落實線性代數(shù)課程教學(xué)目標(biāo)，切實提升財經(jīng)類高校的人才培養(yǎng)質(zhì)量，文章整合教學(xué)內(nèi)容，在BOPPPS教學(xué)模式的基礎(chǔ)上改進形成了融合概念學(xué)習(xí)、能力提升、應(yīng)用強化和鞏固反饋四個環(huán)節(jié)的線上線下混合式“四輪教學(xué)法”，同時展示了課程思政的融入技巧，并通過分析教學(xué)實踐的數(shù)據(jù)，驗證了該教學(xué)模式的有效性，對財經(jīng)類高校公共數(shù)學(xué)課程的教學(xué)具有一定的借鑒價值。

關(guān)鍵詞線性代數(shù)；“BOPPPS教學(xué)模式”；四輪教學(xué)法；課程思政

中圖分類號：G424? ??????????????????????????文獻標(biāo)識碼：A??? DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.21.040

Research on Mixed Teaching Design of Linear Algebra Based on "BOPPPS Teaching Mode"

BAN Xiaoqian， ZHOU Longqiao， LIN Fubiao

（School of Mathematics and Statistics， Guizhou University of Finance and Economics， Guiyang， Guizhou 550025）

AbstractImplementing the teaching objectives of linear algebra course， effectively improving the quality of talent cultivation in financial and economic universities， the article integrates teaching content， and improves the BOPPPS teaching mode to form an online and offline hybrid "four round teaching method" that integrates concept learning， ability enhancement， application reinforcement， and feedback consolidation. At the same time， it demonstrates the integration skills of course ideology and politics， and analyzes the data of teaching practice， The effectiveness of this teaching model has been verified， and it has certain reference value for the teaching of public mathematics courses in financial and economic universities.

Keywordslinear algebra; "BOPPPS teaching model"; four-round teaching method; curriculum ideology and politics

伴隨信息技術(shù)的迅速發(fā)展，教育教學(xué)觀念發(fā)生了巨大變革。2005年，何克抗教授通過對建構(gòu)主義的反思[1]，闡述了對Blending-Learning，即“混合教學(xué)”概念的理解，指出應(yīng)實現(xiàn)E-Learnin和傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)合而非用E-Learning取代傳統(tǒng)教學(xué)，發(fā)揮“教師主導(dǎo)—學(xué)生主體”的優(yōu)勢以獲得最佳的學(xué)習(xí)效果。這樣，混合式教學(xué)在高等院校的各門課程教學(xué)中逐漸推廣。從原理探究[2]到教學(xué)模式分析[3-5]，再到教學(xué)平臺的建設(shè)分享[6]，在教學(xué)實踐中，學(xué)者通過對教學(xué)對象、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目的的分析，借助慕課、學(xué)習(xí)通、雨課堂、騰訊會議或自主開發(fā)的學(xué)習(xí)平臺，融合線上線下教學(xué)資源，以實現(xiàn)混合式教學(xué)的最佳效果。部分學(xué)者[7]針對具體課程列出細致完整的教學(xué)設(shè)計并付諸實踐。

線性代數(shù)是財經(jīng)類高校重要的公共基礎(chǔ)課程，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)經(jīng)濟管理課程及將來的理論研究或?qū)嵺`工作提供了必要的理論基礎(chǔ)，一直是學(xué)校教育教學(xué)改革的重點課程。2018年9月，教育部發(fā)布《關(guān)于加快建設(shè)高水平本科教育全面提高人才培養(yǎng)能力的意見》，強調(diào)要通過教學(xué)改革促進學(xué)習(xí)革命，積極推廣混合式教學(xué)，構(gòu)建線上線下相結(jié)合的教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。基于新時代高等院校教育教學(xué)改革的要求，結(jié)合課程組對線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等公共課程已經(jīng)完成的7輪教學(xué)范式改革的經(jīng)驗?zāi)?，通過完善教學(xué)改革方案、加強過程性考核、學(xué)生動態(tài)反饋―教師保持跟進、強化課堂訓(xùn)練、增加自主學(xué)習(xí)比重等方面，改進了課程教學(xué)設(shè)計和考核方案，逐漸凝練出符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的教學(xué)模式。

1? BOPPPS教學(xué)模式在實施中的改進策略

BOPPPS教學(xué)模式是主要基于學(xué)生學(xué)習(xí)過程、重視教學(xué)反饋為特征的教學(xué)設(shè)計模式，BOPPPS教學(xué)模式本質(zhì)上是以學(xué)生為中心的教育實踐，在教學(xué)理念上，教師關(guān)注的重點是學(xué)生學(xué)到了什么，在教學(xué)目標(biāo)上對于自己掌握的知識有沒有合理、客觀的評估，在教學(xué)方法上更強調(diào)參與式教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中能充分發(fā)揮主觀能動性，獨立思考。BOPPPS教學(xué)模式的基本框架是Bridge（引入）→Objective（學(xué)習(xí)目標(biāo)）→Pre-assessment（課前摸底）→Participatory？learning（參與式學(xué)習(xí)）→Post-assessment（課后測驗）→Summary（總結(jié)）?；贐OPPPS教學(xué)模式，筆者運用信息技術(shù)，將各項教學(xué)功能融合于混合式教學(xué)的設(shè)計方案中，為此，課程組對現(xiàn)有教學(xué)內(nèi)容考核方案以及教師教學(xué)活動等方面做出調(diào)整。

首先，整合教學(xué)內(nèi)容。BOPPPS教學(xué)模式的理論依據(jù)是認知理論和建構(gòu)主義，為了使學(xué)生在課堂上能最大限度地掌握知識以及初步應(yīng)用，教師通過學(xué)情分析，梳理教學(xué)對象的學(xué)情特點，結(jié)合線性代數(shù)課程教學(xué)目標(biāo)以及教學(xué)內(nèi)容所屬功能，劃分為概念理解、能力提升和應(yīng)用強化三個部分。線性代數(shù)課程理論性、邏輯性強，教師除了基本理論和基本方法的教學(xué)，同時還要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)經(jīng)濟管理類課程提供必要的理論和方法。馬克思主義哲學(xué)指出，人們對事物的認識活動是從感性直觀到理性認識，再從理性認識到應(yīng)用實踐的螺旋上升的過程[8]。為使得教學(xué)設(shè)計更符合認識規(guī)律，教師在教學(xué)中應(yīng)遵循由特例到概念再過渡到方法，最后從方法到應(yīng)用強化的規(guī)律，所以線上線下的教學(xué)活動應(yīng)按照認識規(guī)律循序漸進地設(shè)置，以體現(xiàn)知識體系的整體性以及承上啟下的連貫性。

其次，將目標(biāo)各異的教學(xué)活動分別由線上線下教學(xué)環(huán)節(jié)來承載和實現(xiàn)，具體分為三個步驟。第一個步驟：BOPPPS教學(xué)模式的引入和課前摸底相當(dāng)于預(yù)習(xí)概念板塊，放置于線上課堂，知識易掌握習(xí)題易完成，激勵性較好；第二個步驟：BOPPPS教學(xué)模式中的參與式學(xué)習(xí)，體現(xiàn)在線下課堂，教師面對面地啟發(fā)引導(dǎo)，師生共同解決邏輯推理性較強或綜合應(yīng)用性的定理例題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，為創(chuàng)新打基礎(chǔ)，同時教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，因勢引導(dǎo)實施德育。第三個步驟：課后測試和總結(jié)反饋，置于線上課堂進行，給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的環(huán)境，進行反思、反饋，將知識內(nèi)化。比如矩陣的秩這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計。線下自主預(yù)習(xí)可安排為：計算k階子式，判斷矩陣的秩。線上課堂教師引導(dǎo)的問題設(shè)置：為什么初等變換不會改變矩陣的秩？矩陣的秩的意義是什么？矩陣的秩與線性方程組的求解有什么聯(lián)系？方程組的求解，就是一個從表象到實質(zhì)的過程，所以體現(xiàn)了本質(zhì)論，如何理解方程組有解的充要條件，采用觀察法，啟發(fā)教學(xué)及課堂討論、層層遞進，落實現(xiàn)象到本質(zhì)的步步深入，學(xué)生更易融會貫通。

第三，轉(zhuǎn)變考核思路?？己酥笜?biāo)的選定是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的重要措施。為充分激勵學(xué)生課下的學(xué)習(xí)參與度，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的內(nèi)生動力，同時為減少教師評價學(xué)生平時成績的主觀性，課程組將學(xué)生線上自主學(xué)習(xí)的成績權(quán)重提升到平時成績的50%。鑒于此，我們完善了線上學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)，如觀看課前視頻預(yù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容并完成概念性預(yù)習(xí)題，課中完成線上的習(xí)題任務(wù)點及線上選擇題的互動活動，完成線上課后單元測驗，線上期中考試和線上期末考試，線上討論互動等環(huán)節(jié)。每位學(xué)生都能實時看到自己的線上成績是多少分，客觀清晰的成績構(gòu)成調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，培養(yǎng)學(xué)生負責(zé)任的學(xué)習(xí)態(tài)度。這兩年的教學(xué)實踐數(shù)據(jù)也證明，絕大多數(shù)學(xué)生為了拿到盡可能高的平時成績，會用大量時間在線上學(xué)習(xí)、練習(xí)以及和教師互動提問，其學(xué)習(xí)能力也得到了提升。同時我們也觀測到，學(xué)生的期末卷面成績和其線上學(xué)習(xí)成績大致是正向相關(guān)的。

最后，加強學(xué)生學(xué)習(xí)的自我評估。在學(xué)習(xí)通平臺，教師可以及時觀測到學(xué)生學(xué)習(xí)的反饋數(shù)據(jù)，可以實現(xiàn)高效的數(shù)據(jù)統(tǒng)計反饋，方便調(diào)整下一步教學(xué)。線性代數(shù)課程的授課對象是全校一年級的學(xué)生，線上線下教學(xué)采取不同措施來引導(dǎo)。線上學(xué)習(xí)采取以個體為主的學(xué)習(xí)形式，督促學(xué)生完成課前觀看教學(xué)視頻、閱讀預(yù)習(xí)題以及課后反饋等；線下課堂則是以小組為主的學(xué)習(xí)形式，開學(xué)初學(xué)生進行自由分組，在線下課堂時，小組成員集中就座，進行課堂討論、習(xí)題訓(xùn)練、問題反饋和成果匯報，方便教師進行小組答疑。小組學(xué)習(xí)既可以帶動督促成員自覺學(xué)習(xí)，也推進了學(xué)生間的討論協(xié)作和共同進步。

2? 基于BOPPPS教學(xué)模式改進的混合式“四輪教學(xué)法”

基于BOPPPS教學(xué)模式的混合式“四輪教學(xué)法”以“以人為本”為原則，以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力為目的。以學(xué)生評價體系為激勵機制，有效督促學(xué)生開展自主性、過程性學(xué)習(xí)，有效參與到線上線下的教學(xué)活動中。

2.1? 混合式“四輪教學(xué)法”的教學(xué)設(shè)計

首先將課前預(yù)習(xí)置于線上自主學(xué)習(xí)。學(xué)生按照教師要求通過學(xué)習(xí)通網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺自主學(xué)習(xí)教學(xué)視頻（每個教學(xué)視頻時長5―15分鐘），完成概念理解知識點的學(xué)習(xí)。概念學(xué)習(xí)相對是比較簡單的，主要實現(xiàn)對學(xué)生自主學(xué)習(xí)的督促，以激勵學(xué)生保持積極狀態(tài)。教師布置少量較簡單的互動預(yù)習(xí)題留給學(xué)生練習(xí)，可在課堂中隨機檢驗學(xué)生的完成情況并做點評。

線下課堂教學(xué)是教學(xué)設(shè)計的重心。在課堂教學(xué)中分為兩大板塊——能力提升板塊和應(yīng)用強化板塊。在能力提升板塊中，配備相應(yīng)教學(xué)設(shè)計和習(xí)題資源，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和應(yīng)用能力的主要環(huán)節(jié)。教師在線下課堂的講授圍繞應(yīng)用強化、能力提升和價值傳遞，需要相應(yīng)的習(xí)題資源和應(yīng)用案例，尤其在方法技巧上有所延伸的問題，教師通過方法引導(dǎo)、思維啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生分析解決實際問題，教師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生尋找條件、描述現(xiàn)象、建立模型、轉(zhuǎn)化求解，給學(xué)生做出如何轉(zhuǎn)化矛盾的示范，潛移默化化未知為已知的解決問題的思想，并拋出相應(yīng)的延伸習(xí)題，強化學(xué)生對方法技能的掌握和應(yīng)用。

在應(yīng)用強化板塊中需要配備經(jīng)濟管理類的應(yīng)用型案例，以開放型問題為宜，便于引導(dǎo)學(xué)生分析解決實際問題。應(yīng)用強化這一環(huán)節(jié)突出專業(yè)應(yīng)用特點，教師講授時要注重啟發(fā)性，引導(dǎo)學(xué)生的知識遷移和應(yīng)用能力，留給學(xué)生討論和反饋，鼓勵學(xué)生發(fā)揮團隊協(xié)作的精神，探討創(chuàng)新，提升其實際解決問題能力。教師還應(yīng)利用線上線下教學(xué)的優(yōu)勢，深入挖掘課程思政元素，以相關(guān)案例為載體，展現(xiàn)課程知識背后所蘊含的哲學(xué)觀點和思維方法、追求真理與科學(xué)的態(tài)度、艱苦探索與創(chuàng)新精神等價值元素，結(jié)合財經(jīng)類高校的專業(yè)背景，引導(dǎo)學(xué)生了解中國傳統(tǒng)文化，增強自信心和自豪感，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，樹立正確的人生觀和價值觀。

最后，線上學(xué)習(xí)的鞏固反饋。此環(huán)節(jié)中，學(xué)生須完成相應(yīng)能力拓展的習(xí)題，對線下課堂教學(xué)的內(nèi)容進行回顧和反饋，并展開對新內(nèi)容的自主學(xué)習(xí)。教師接受學(xué)生反饋數(shù)據(jù)，督促并指導(dǎo)學(xué)生開展線下學(xué)習(xí)，及時解答學(xué)生的疑問，糾正運用偏差。

“四輪教學(xué)法”將學(xué)生的主體能動性放在核心地位，在教學(xué)設(shè)計上，學(xué)生從概念學(xué)習(xí)，到能力提升，應(yīng)用強化，最后到總結(jié)反饋，整體呈現(xiàn)螺旋上升的態(tài)勢。通過思考和實踐參與，學(xué)生體驗了學(xué)習(xí)的過程，知識在訓(xùn)練反饋中內(nèi)化，學(xué)生的學(xué)習(xí)、應(yīng)用能力在不斷累積上升，在由淺入深的強化訓(xùn)練中實現(xiàn)量變到質(zhì)變的成長突破，為創(chuàng)新能力培養(yǎng)打下堅實的基礎(chǔ)。

2.2? “四輪教學(xué)法”教學(xué)設(shè)計

例如：對特征值與特征向量內(nèi)容進行教學(xué)設(shè)計，教學(xué)內(nèi)容包括特征值與特征向量的定義、計算、性質(zhì)、意義和應(yīng)用。教學(xué)重、難點是特征值與特征向量的計算、性質(zhì)和意義。

①線上預(yù)習(xí)概念。介紹特征值和特征向量的概念、展示簡單的二階矩陣特征值與特征向量，觀察分屬不同特征值的特征向量的關(guān)系，是否線性相關(guān)？是否正交？有沒有一般結(jié)論？觀察行列式與特征值、跡與特征值的關(guān)系。教師進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：kA的特征值是什么？與A的特征值有沒有關(guān)系？特征向量是唯一的嗎？并由此問題引出特征向量的真實身份和求解特征值與特征向量的一般方法，即特征向量是特征值對應(yīng)的某個線性方程組的非零解，可轉(zhuǎn)化到方程組解的理論來求解特征值和特征向量。

②線下能力提升。教師示范化簡特征行列式的技巧，習(xí)題訓(xùn)練互動、強化求解矩陣特征值和特征向量方法，選擇例題作為課堂練習(xí)計算特征值與特征向量。引導(dǎo)學(xué)生觀察k重特征值一定對應(yīng)k個線性無關(guān)的特征向量嗎？拓展問題：這樣的區(qū)別，對于矩陣性質(zhì)有什么影響？為后面方陣對角化研究作鋪墊。

③線下應(yīng)用強化和德育的開展。選擇關(guān)于特征值與特征向量的拓展題型，如發(fā)展與環(huán)保中的周期模型進行分組討論，有利于學(xué)生掌握特征值的性質(zhì)和求解方法。通過教師總結(jié)、啟發(fā)，分析特征值與特征向量的意義（將矩陣與向量的乘法轉(zhuǎn)化為數(shù)與向量的乘法），建立變量遞推關(guān)系用于刻畫及解決經(jīng)濟管理領(lǐng)域的應(yīng)用問題，同時，在德育方面，實際應(yīng)用的展現(xiàn)體現(xiàn)了整體觀和大局觀，做好長遠規(guī)劃需要掌握事物發(fā)展規(guī)律的價值傳遞。

④線上鞏固反思及預(yù)習(xí)。利用特征向量構(gòu)造，并計算。反思：矩陣的特點以及的構(gòu)造規(guī)律，結(jié)論是否可推廣？此等式的價值何在，有什么實際意義？為矩陣的相似及對角化內(nèi)容作準備（圖1）。

3? “四輪教學(xué)法”的意義和成效

首先，尊重了認識規(guī)律和學(xué)生的主體地位。線上及線下課堂的實現(xiàn)，延伸了學(xué)習(xí)的時空環(huán)境，有利于學(xué)生個性化學(xué)習(xí)，能更好地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)參與性。納入平時考核的激勵措施提高了學(xué)生對于課程的關(guān)注度。在上個學(xué)年線性代數(shù)課程的教學(xué)中，99%的教學(xué)視頻及習(xí)題任務(wù)點完成率都是100%，從第一章行列式到第六章二次型，總共58講內(nèi)容，所有班級中90%左右的學(xué)生章節(jié)學(xué)習(xí)次數(shù)超過100次，更有超過半數(shù)的學(xué)生章節(jié)學(xué)習(xí)次數(shù)超過300次，過程性學(xué)習(xí)的效果更客觀地體現(xiàn)出來了，為教師對學(xué)生平時成績的評定提供了一定的依據(jù)。課前的預(yù)習(xí)讓學(xué)生帶著問題進課堂，聽課投入且獨立思考，其質(zhì)疑、思辨能力也得到提高，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)象并提出啟發(fā)問題，有助于學(xué)生建立完整的知識體系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題敢于及時指出和反饋，學(xué)習(xí)科學(xué)知識要求真務(wù)實、認真嚴謹是筆者傳遞給學(xué)生的價值觀。

其次，有助于提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。該教學(xué)方法強調(diào)了對學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程的評價，線上學(xué)習(xí)的成績量化并納入平時成績，加大對學(xué)生平時學(xué)習(xí)的動態(tài)考核，使得過程考核更有依據(jù)，有助于解決學(xué)生的學(xué)習(xí)動力問題，強化學(xué)生踏實誠信的做事風(fēng)格，對提高學(xué)生參與自主學(xué)習(xí)積極性起到激勵作用。教師在教學(xué)方法上通過提問式、參與式、案例式、討論式等方法，使課堂更加活躍，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性明顯提升，而且逐漸養(yǎng)成負責(zé)任的學(xué)習(xí)和生活態(tài)度。

最后，該教學(xué)方法尊重客觀認識規(guī)律，是培養(yǎng)學(xué)生由表及里、循序漸進的一般學(xué)習(xí)方法。該方法體現(xiàn)了由概念到應(yīng)用、強化，再到反思的設(shè)計思路，加強了知識的內(nèi)化過程，有利于學(xué)生養(yǎng)成正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣。根據(jù)學(xué)生的反饋，該方法充分發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動性，學(xué)生聽課更高效，知識掌握更牢固，學(xué)習(xí)效果更持久，真正體現(xiàn)了“以學(xué)生發(fā)展為中心”的教學(xué)理念，為培養(yǎng)學(xué)生成為具有自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力的高素質(zhì)人才奠定了堅實的基礎(chǔ)。

4? 結(jié)語

對于理論性、邏輯性較強的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)，“四輪教學(xué)法”具有一定的推廣價值，該方法更加注重過程性學(xué)習(xí)以及學(xué)習(xí)反饋，由此培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新解決問題的能力。在今后的教學(xué)中，教師要加強對所授課程的理解和駕馭能力，把學(xué)科知識、思政元素和認識規(guī)律有機結(jié)合起來，將專業(yè)知識傳授和價值觀教育潛移默化地結(jié)合起來。接下來，課程組將跟進線性代數(shù)課程教學(xué)實踐數(shù)據(jù)對比，探索線上學(xué)習(xí)與學(xué)生學(xué)習(xí)效果之間的關(guān)系，進一步完善教學(xué)設(shè)計和學(xué)習(xí)評價指標(biāo)，形成具有財經(jīng)類高校特色的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程教學(xué)改革思路。

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