廣東省廣州市第九十七中學(xué) (510260) 徐進(jìn)勇

關(guān)于深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵,國(guó)內(nèi)外有很多界定,喻平教授認(rèn)為有幾點(diǎn)是相對(duì)統(tǒng)一的．(1)深度理解．即學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解,對(duì)事物或知識(shí)意義的理解及對(duì)自我生命意義的理解．(2)高階思維．即學(xué)習(xí)者在知識(shí)建構(gòu)、問(wèn)題解決的過(guò)程中,要有多種思維形式介入以及元認(rèn)知的參與．(3)知識(shí)遷移．學(xué)習(xí)者能將一個(gè)學(xué)科習(xí)得知識(shí)或方法遷移到另一學(xué)科情境或現(xiàn)實(shí)情境中去解決問(wèn)題．(4)實(shí)踐創(chuàng)新．即學(xué)生的問(wèn)題解決能力、遷移能力和創(chuàng)新能力在學(xué)習(xí)中能夠得到發(fā)展[1]．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào):“教學(xué)要整體把握教學(xué)內(nèi)容,把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),理解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,在此基礎(chǔ)上,探索通過(guò)什么樣的途徑能夠引發(fā)學(xué)生思考,讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí),感悟知識(shí)的本質(zhì),實(shí)現(xiàn)教育價(jià)值”[2].章建躍博士認(rèn)為站在“一般觀念”的視角審視數(shù)學(xué)知識(shí),超越碎片化的知識(shí)觀,追求數(shù)學(xué)的整體性,自然生成的就是單元教學(xué)．指出單元教學(xué)主要特征體現(xiàn)在(1)整體性．基于整體思維的教學(xué)設(shè)計(jì)方式,縱覽全局,從整體上掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容,從結(jié)構(gòu)上更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性．(2)層次性與有序性．強(qiáng)調(diào)從單元到課時(shí),先進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì),再將本單元內(nèi)容按知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程、學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程分解到課時(shí)．(3)系統(tǒng)性．同一單元的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相對(duì)完整,能構(gòu)成一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)系統(tǒng)和邏輯關(guān)系,有助力學(xué)生的系統(tǒng)思維發(fā)展．單元教學(xué)的實(shí)施要按“總—分—總”的形式展開(kāi),前一個(gè)“總”常常以章引言展開(kāi),后一個(gè)“總”往往是以單元復(fù)習(xí)課結(jié)束．單元復(fù)習(xí)課對(duì)單元的回顧、總結(jié)、整合、聯(lián)系、拓展、升華具有重要意義,是單元教學(xué)必不可缺少的重要環(huán)節(jié)．下面以人教A版選擇性必修第二冊(cè)“數(shù)列”為例,基于深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵構(gòu)建單元復(fù)習(xí)課,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展．

1 梳理數(shù)列的學(xué)習(xí)路徑,深度理解數(shù)列概念,形成“一般觀念”

問(wèn)題1 數(shù)列單元主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?這些內(nèi)容是按怎樣的邏輯展開(kāi)的?又是如何研究的?

預(yù)設(shè):數(shù)列的內(nèi)容與已學(xué)的函數(shù)有相似之處,既包括一般數(shù)列,又包括特殊數(shù)列,因此數(shù)列內(nèi)容的編排采用了與函數(shù)相似的框架,這也是研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑,即數(shù)列的事實(shí)—數(shù)列概念的定義、表示—性質(zhì)—等差數(shù)列與等比數(shù)列．等差數(shù)列與等比數(shù)列的研究,也都采用了與研究基本初等函數(shù)類(lèi)似的路徑,即“事實(shí)—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”．等比數(shù)列與等差數(shù)列在研究思路和方法上有很強(qiáng)的可類(lèi)比性,都是通過(guò)發(fā)現(xiàn)取值規(guī)律獲得定義,通過(guò)與相應(yīng)函數(shù)類(lèi)比探索性質(zhì),通過(guò)運(yùn)算、代數(shù)變換等一般性的方法解決相關(guān)問(wèn)題等,突出“遞推關(guān)系—通項(xiàng)公式—求和公式—實(shí)際問(wèn)題”的研究路徑,具體如圖1．

圖1

設(shè)計(jì)意圖：梳理數(shù)列的研究?jī)?nèi)容、研究路徑、研究方法與研究視角,形成“數(shù)列”這一數(shù)學(xué)對(duì)象的研究套路．讓學(xué)生形成用“數(shù)列”的眼光的看待問(wèn)題,用“數(shù)列”的思維思考問(wèn)題,用“數(shù)列”的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題的意識(shí)與能力,實(shí)現(xiàn)“四基”的落實(shí)與“四能”的提升．

2 以“一般觀念”為指導(dǎo),創(chuàng)新問(wèn)題解決,形成高階思維

教材中章頭圖(如圖2)的背景是遼闊而波濤洶涌的大海以及遠(yuǎn)處的燈塔,象征著數(shù)學(xué)的悠久文化與歷史傳承,數(shù)學(xué)是指引人類(lèi)文明進(jìn)步的“燈塔”．沙灘上畫(huà)“三角形數(shù)”、“四邊形數(shù)”、“五邊形數(shù)”傳說(shuō)是古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在海灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題,他們?cè)谏碁┥袭?huà)點(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù),并通過(guò)擺成的某些形狀來(lái)研究數(shù)的規(guī)律．

圖2

問(wèn)題2 你發(fā)現(xiàn)“三角形數(shù)”、“四邊形數(shù)”、“五邊形數(shù)”分別是多少?

預(yù)設(shè):通過(guò)觀察可得到三角形數(shù)1,3,6,10,…,四邊形數(shù)1,4,9,16,…,五邊形數(shù)1,5,12,22,….

問(wèn)題3 按照數(shù)列的研究套路,從運(yùn)算的角度你能發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與項(xiàng)間存在怎樣的關(guān)系?

預(yù)設(shè):三角形數(shù)滿(mǎn)足an+1-an=n+1;四邊形數(shù)滿(mǎn)足an+1-an=2n+1;五邊形數(shù)滿(mǎn)足an+1-an=3n+1．

問(wèn)題4 你能由遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式嗎?

問(wèn)題5 你能求它們的和嗎?

預(yù)設(shè):可利用分組求和法,但我不知道12+22+32+…+n2=?

圖3

圖4

預(yù)設(shè):1+3+5+…+(2n-1)=n2.

問(wèn)題7 如果我們把三角形數(shù)中的點(diǎn)擴(kuò)大到一個(gè)小圓圈,再在每個(gè)小圓圈按規(guī)律填上數(shù)字:第1行填1,第2行都填2,…,第n行都填n(如圖5(a)),這個(gè)三角形所有小圓圈的數(shù)字和怎樣表示?

圖5(a) 圖5(b)

圖5(c) 圖5(d)

預(yù)設(shè):1+2×2+3×3+…+n×n=12+22+32+…+n2.

問(wèn)題8 將這個(gè)三角形按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到第二個(gè)三角形(如圖5(b));再將這第二個(gè)三角形按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到第三個(gè)三角形(如圖5(c)),將這三個(gè)三角形對(duì)應(yīng)位置的小圓圈里的數(shù)相加,得到第四個(gè)三角形(如圖5(d)),則第四個(gè)三角形中所有數(shù)字之和是多少呢?

設(shè)計(jì)意圖：依據(jù)等差、等比數(shù)列的研究思路,回歸對(duì)章頭圖的研究,一方面讓學(xué)生經(jīng)歷以“一般觀念”為引導(dǎo)的探究式學(xué)習(xí),體會(huì)“研究套路不變,思想方法不變”,逐步掌握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的那個(gè)“相似的方法”,同時(shí)從相鄰兩項(xiàng)差為常數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橄噜弮身?xiàng)差是一個(gè)變量,實(shí)現(xiàn)了高階思維的躍進(jìn),體現(xiàn)方法的高通路遷移;另一方面,教師提供的新材料,也是對(duì)“數(shù)形理論”拓展,使學(xué)生對(duì)章頭圖的涵義有深度理解,彰顯數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的同時(shí),拓寬了學(xué)生視野,培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新,過(guò)程中有具體形象思維、抽象邏輯思維介入以及元認(rèn)知的參與,提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀與數(shù)學(xué)推理能力．

3 探索一般數(shù)列解決方案,形成通性通法,實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中兩種特殊數(shù)列,高中階段只學(xué)習(xí)這兩種數(shù)列,如何把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化到這兩種數(shù)列中去,并通過(guò)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式解決問(wèn)題也本單元學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).

教材“4.3等比數(shù)列”例12:某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200,預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%,且在每年年底賣(mài)出100頭牛,設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為c1,c2,c3,….(1)寫(xiě)出一個(gè)遞推公式,表示cn+1與cn之間的關(guān)系;(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式,其中k,r為常數(shù);(3)求S10=c1+c2+c3,…+c10的值(精確到1)．

問(wèn)題9 例題向我們說(shuō)明怎樣的解題思路,對(duì)你有何啟發(fā)?

預(yù)設(shè):將cn+1=1.08cn-100轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列,體現(xiàn)將一般數(shù)列通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列．

追問(wèn):上述問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法具有一般性嗎?即形如an+1=pan+q(其中p,q為常數(shù)),如何求其通項(xiàng)公式．

變式方向一:將常數(shù)q變?yōu)殛P(guān)于n為變量的代數(shù)式．

題1 若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=2an+n-1,如何求{an}的通項(xiàng)公式．

分析:由an+1=2an+n-1得an+1+(n+1)=2(an+n),所以{an+n}是等比數(shù)列．

題2 若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=2an+2n,如何求{an}的通項(xiàng)公式．

題3 若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=3an+2n,如何求{an}的通項(xiàng)公式

變式方向二:兩項(xiàng)間遞推關(guān)系變?yōu)槿?xiàng)間遞推關(guān)系．

題1 若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,a2=3,an+2-2an+1+an=2,如何求{an}的通項(xiàng)公式．

分析:由an+2-2an+1+an=2得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,所以數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列．

題2 斐波那契數(shù)列{an},a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,如何求{an}的通項(xiàng)公式．

設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般,從常量到變量,從二項(xiàng)到三項(xiàng),實(shí)施“形”與“質(zhì)”的變化,提高學(xué)生的應(yīng)用遷移能力,發(fā)展了學(xué)生的高階思維,使學(xué)生對(duì)“變形”的目標(biāo)、策略有清晰的理解．整個(gè)過(guò)程有利于學(xué)生形成對(duì)數(shù)列的完整認(rèn)識(shí)與本質(zhì)理解,體會(huì)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程與相互聯(lián)系,體現(xiàn)思想的一致性與方法的普適性,學(xué)生的“四能”得到發(fā)展．

4 用“數(shù)列模型”解決綜合問(wèn)題,實(shí)踐應(yīng)用中文化育人

隨著高科技與信息技術(shù)的發(fā)展,數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用．在用數(shù)學(xué)方法解決科技和生產(chǎn)領(lǐng)域問(wèn)題的過(guò)程中,關(guān)鍵的一步是建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型并計(jì)算求解,因此數(shù)學(xué)建模已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之一．

例題(2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)理科試卷新課標(biāo)Ⅰ第21改編)為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．現(xiàn)甲、乙兩種藥的治愈率分別為0.5和0.8．若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,并且有5pi=4pi-1+pi+1(i=1,2,…,7)．請(qǐng)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．

預(yù)設(shè):由5pi=4pi-1+pi+1(i=1,2,…,7)整理可得pi+1-pi=4(pi-pi-1),∴{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是以p1-p0為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,得pi+1-pi=(p1-p0)·4i=p1·4i,∴p8-p7=p1·47,p7-p6=p1·46,…,p1-p0=p1·40.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,以高考題為例,更有說(shuō)服力．一方面向?qū)W生說(shuō)明高考數(shù)學(xué)題的命題趨勢(shì),即提高利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決跨學(xué)科問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,要有較強(qiáng)的遷移能力與建模應(yīng)用能力．另一方面也能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的“善”—服務(wù)于生活,服務(wù)于社會(huì)及人類(lèi)的應(yīng)用價(jià)值;欣賞數(shù)學(xué)的“美”—“掩蓋不住冰冷美麗下火熱的思考”;崇尚數(shù)學(xué)的“真”—震撼于數(shù)學(xué)的理性精神,這一切終將遷移、升華,并內(nèi)化為學(xué)生自身的思維品質(zhì)與科學(xué)素養(yǎng)．

所以,單元復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)要站在知識(shí)整體的高度,在整體視角下確定目標(biāo)、設(shè)計(jì)情境、把握內(nèi)容、選擇方法、實(shí)現(xiàn)應(yīng)用,要突出聯(lián)系、遷移與創(chuàng)新,使學(xué)習(xí)成為一種有生命的意義建構(gòu),以達(dá)到徹底解決問(wèn)題和情感的滿(mǎn)足,方能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo),最終讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地．