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        代數(shù)式恒等變形的利器
        ——配方法

        2023-09-28 02:45:26竇年春
        初中生世界 2023年35期
        關(guān)鍵詞:負(fù)數(shù)化簡式子

        文/竇年春

        把一個一元二次方程變形為(x+h)2=k(h、k為常數(shù))的形式,當(dāng)k≥0 時,運(yùn)用直接開平方法求出方程的解。這種解一元二次方程的方法叫作配方法。配方法不僅僅是解一元二次方程的一個重要的基本方法,也是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法,在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論依據(jù)是完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,用x代替公式中的a,則有x2+2bx+b2=(x+b)2。應(yīng)用時要注意“關(guān)于x的二次三項(xiàng)式”的特征:二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。在把二次三項(xiàng)式中二次項(xiàng)系數(shù)化為1 和常數(shù)項(xiàng)化為平方形式時,要注意恒等變形。

        一、在比較大小中的應(yīng)用

        例1比較代數(shù)式x2+2y2與2xy+4y-8的大小。

        【分析】將x2+2y2與2xy+4y-8 作差,根據(jù)差的正負(fù)做出判斷。

        解:x2+2y2-(2xy+4y-8)=x2+2y2-2xy-4y+8=x2-2xy+y2+y2-4y+4+4=(x-y)2+(y-2)2+4。

        因?yàn)椋▁-y)2≥0,(y-2)2≥0,所以(x-y)2+(y-2)2+4≥4。所以x2+2y2>2xy+4y-8。

        【點(diǎn)評】要比較a與b的大小,就是算a-b與0的大小。因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都是非負(fù)數(shù),所以我們利用“配方法”將式子整理為“平方+常數(shù)”的形式,再做出判斷。需要注意的是,在變形的過程中不要改變式子的值。

        二、在因式分解中的應(yīng)用

        例2因式分解:(1)a2-12a+35;(2)x4+4。

        【分析】(1)將35 拆成36-1,前三項(xiàng)配成完全平方式,再利用平方差公式因式分解;

        (2)中間添加4x2,配成完全平方式,再減去4x2,利用平方差公式因式分解。

        解:(1)a2-12a+35=a2-12a+36-1=(a-6)2-1=(a-6+1)(a-6-1)=(a-5)(a-7)。

        (2)x4+4=x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2+2x)(x2+2-2x)。

        【點(diǎn)評】根據(jù)完全平方公式的特征,在欲因式分解的代數(shù)式中通過“湊平方”等手段,得到一個局部完全平方式是解題的關(guān)鍵。

        三、在化簡二次根式中的應(yīng)用

        例3化簡二次根式:

        【點(diǎn)評】二次根式化簡的關(guān)鍵是把被開方數(shù)配成完全平方的形式,配方的突破口是中間項(xiàng)2ab。

        四、在證明等式中的應(yīng)用

        例4已知:a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,求證a=b=c。

        【分析】配方,嘗試從完全平方公式中的中間項(xiàng)的系數(shù)2 入手,在等式的兩邊同乘2,拆分組合成三個完全平方式的和,再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明。

        解:因?yàn)閍2+b2+c2-ab-bc-ac=0,所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0。所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0。所以a-b=0,b-c=0,a-c=0。所以a=b=c。

        【點(diǎn)評】已知三個未知量,一個等式,要找出未知量之間的等量關(guān)系,這個問題一定有其特殊性。解題的依據(jù)是非負(fù)數(shù)的性質(zhì):幾個非負(fù)數(shù)的和等于0,則每一個非負(fù)數(shù)皆為0。

        五、在求最值中的應(yīng)用

        例5(2023·江蘇連云港)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x、y為實(shí)數(shù)),則W的最小值為________。

        【思路一】觀察式子特點(diǎn),湊完全平方式。

        因?yàn)閤、y均為實(shí)數(shù),所以(2x-y+1)2≥0,(x+2)2≥0。所以W≥-2,即W的最小值為-2。

        【思路二】看成等式,移項(xiàng),整理成關(guān)于x的一元二次方程5x2+(8-4y)x+(y2-2y+3-W)=0。

        因?yàn)閤為實(shí)數(shù),所以方程一定有實(shí)數(shù)根,所以(8-4y)2-20(y2-2y+3-W)≥0。整理,得5W≥y2+6y-1。

        配方,得5W≥(y+3)2-10≥-10。所以W≥-2。所以W的最小值為-2。

        【點(diǎn)評】本題利用配方法把式子整理為“平方+常數(shù)”的形式是解題的關(guān)鍵。

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