文／崔恒劉

第一章 一元二次方程

領(lǐng)銜人：崔恒劉（正高級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高階思維課題組

我們首先一起來(lái)回顧方程的學(xué)習(xí)歷程。我們先從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，得到一系列含有未知數(shù)的等式，在分類比較中逐步生成一元一次方程的概念并研究其解法，最后再回歸實(shí)際問(wèn)題。接著，我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組和可化為一元一次方程的分式方程，兩者的研究過(guò)程如出一轍。以此類推，聰明的你一定能預(yù)想到一元二次方程要學(xué)什么，怎么學(xué)。這里，我們換個(gè)視角，從生長(zhǎng)的觀點(diǎn)來(lái)感知將要學(xué)習(xí)的一元二次方程。

一、概念的生長(zhǎng)

只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1（次）的方程叫作一元一次方程。我們不難發(fā)現(xiàn)，一元一次方程的概念是用“元”和“次”來(lái)表達(dá)的，其中“一元”代表未知數(shù)的個(gè)數(shù)，“次”代表未知數(shù)的最高次數(shù)?！霸钡纳L(zhǎng)形成了二元一次方程組、三元一次方程組等，而“次”的生長(zhǎng)則形成現(xiàn)在學(xué)習(xí)的一元二次方程，繼續(xù)生長(zhǎng)，還會(huì)生成一元高次方程。一元二次方程概念中，“未知數(shù)的最高次數(shù)”的表述，說(shuō)明方程中所含的代數(shù)式是整式。因此，一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程都屬于整式方程。

同樣，類比一元一次方程的一般式，一元二次方程的一般式是：ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）。

二、解法的生長(zhǎng)

我們?cè)倩貞洝敖舛淮畏匠探M”的學(xué)習(xí)過(guò)程，通過(guò)消元化歸的數(shù)學(xué)思想，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。那么，我們遵循化歸的數(shù)學(xué)思想，可以把一元二次方程降次轉(zhuǎn)化為熟悉的一元一次方程。

一元二次方程的4 種解法：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法，也是逐漸生長(zhǎng)的。其中，公式法是通法，適用于所有的一元二次方程。得到公式法的過(guò)程是配方法，配方后用到的方法又是直接開(kāi)平方法。因式分解法的本質(zhì)是利用“ab=0，則a=0 或b=0”的性質(zhì)，先將方程化成一般形式，再對(duì)左邊因式分解，最后寫出方程的根。解一元二次方程，我們首選因式分解法或直接開(kāi)平方法，若行不通再使用公式法。當(dāng)方程滿足一些特殊條件時(shí)，用配方法也可以輕松獲解。雖然有4 種解法，但最后都是為了達(dá)到“降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程”的目的。

在運(yùn)用配方法得到公式后，我們通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)一元二次方程的實(shí)數(shù)根與系數(shù)也有著密切的聯(lián)系。由此，我們又生長(zhǎng)出新知：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1、x2，則

三、應(yīng)用的生長(zhǎng)

學(xué)以致用是體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值的一種方式。每學(xué)完一類方程知識(shí)，我們都要回到用方程解決實(shí)際問(wèn)題。

例 公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定。某種品牌頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，當(dāng)售價(jià)為40 元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600 個(gè)。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10 個(gè)。為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000 元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？

解：設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元/個(gè)。

根據(jù)題意，得（y-30）［600-10（y-40）］=10000。

解這個(gè)方程，得y1=80，y2=50。

為盡可能讓顧客得到實(shí)惠，應(yīng)舍去y1，所以y=50。

答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元/個(gè)。

用方程解決實(shí)際問(wèn)題是按照“設(shè)未知數(shù)→找相等關(guān)系→列方程→檢驗(yàn)方程的解是否符合方程和實(shí)際問(wèn)題→答”的步驟進(jìn)行的。對(duì)于不同方程，唯一不同的是問(wèn)題中含有相等關(guān)系的個(gè)數(shù)以及列出方程的次數(shù)。

從一元到二元，從一次到二次，知識(shí)在生長(zhǎng)，難度在加大，我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要抓住本質(zhì)類比和化歸的數(shù)學(xué)思想，努力做到化繁為簡(jiǎn)、有的放矢。