張效會

［摘? 要］ 數(shù)學思維對學生的認知發(fā)展具有重要影響。研究發(fā)現(xiàn)，學生在數(shù)學思維上的障礙主要體現(xiàn)在注意、理解、記憶、表征、推理、遷移等諸多方面，它的成因不僅與心理作用機制有關，還與焦慮等非認知因素有著密切的聯(lián)系。文章以“畫高”的思維障礙為例，具體談談如何剖析知識本質，幫助學生突破認知障礙，實現(xiàn)數(shù)學能力的提升。

［關鍵詞］ 思維；認知；畫高

認知是機體認識并獲取知識的過程，與學習、語言、記憶、思維、情感等一系列心理與社會行為相關［１］。大腦皮層功能是認知的基礎，任何導致大腦皮層功能或結構異常的因素，都有可能導致學生出現(xiàn)認知偏差，從而產生思維障礙。

小學數(shù)學幾何中，畫高是一項重要內容，對學生的認知要求比較高。學生對這部分知識的認識對后續(xù)幾何的學習有直接的影響。在實際操作中，學生常常存在一定的思維障礙，難以準確、熟練地畫高。鑒于此，筆者結合學生的思維特點，對“畫高”教學進行了研究，并取得了一些成效。

一、常見問題分析

教學中，筆者發(fā)現(xiàn)學生在畫高的過程中存在一定的思維障礙。比如，最常見的平行四邊形與梯形的高，如果底邊為水平的狀態(tài)（如圖1），學生基本能正確操作；然而一旦出現(xiàn)底邊不處于水平狀態(tài)時（如圖2），有些學生就無從下手了。更有甚者，在教師已經(jīng)教會學生怎樣畫出底邊不在水平位置圖形的高時，若將圖形旋轉一下，學生就無所適從了。

類似的現(xiàn)象在畫三角形的高時也會出現(xiàn)：有些學生在畫三角形水平邊上的高時得心應手，但是畫其他兩條邊上的高時錯誤百出。如圖3所示，類似錯誤常有發(fā)生，這是學生對知識本質不理解的寫照。究竟是什么原因致使學生不能精準地畫出高呢？這是一個值得思考的問題?？v觀小學數(shù)學涉及的幾何圖形，分別有三角形、平行四邊形與梯形等。教材對每一種圖形都給出了明確的定義，并確切指出這些圖形的高。

細細品讀這些定義，發(fā)現(xiàn)這三類圖形的高的實質是：從直線外的一點畫已知直線的垂線段?；谶@個理解，反觀以上圖形的高，從理論上來說，不論圖形如何擺放，學生都應該能順利畫出圖形的高。然而事實上，學生的實際操作效果并不理想。這是為什么呢？或許圖4能帶給人們一些啟發(fā)。

觀察圖4，人們發(fā)現(xiàn)作三角形底邊上高與過直線外一點作垂線段的操作方法是一樣的，學生在實際操作中覺得過一點畫一條直線的垂線段比較簡單。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因有兩點：一是畫三角形的高時，受另外兩條邊的干擾，出現(xiàn)了視覺偏差與概念模糊的現(xiàn)象；二是學生沒有從本質上掌握畫三角形的高的原理，未能將這兩個圖形融會貫通。

基于以上分析，教師要解決學生的認知障礙，就要幫助學生理解知識的本質特征，避免視覺偏差與概念模糊對畫高的干擾。

二、問題解決辦法

1. 重基礎，抓本質

概念學習時，學生受思維定式的影響，對自身原有的認知經(jīng)驗有較大的依賴性。例如建構垂直的概念時，不少學生就會受認知結構中“豎直”的干擾，形成認識上的偏差。作各類圖形的高，其本質就是過點畫直線的垂線段。教師在授課時應有意識地給予“垂直”一定的刺激，讓學生打牢概念基礎，對高產生深刻理解與認識。

然而，即使教師著重夯實基礎，不少學生在理解高的概念時，依然會受豎直概念的影響。從這個角度來看，要解決畫高的認知障礙，關鍵還得從知識本質著手——畫垂線段。

心理學認為：想要抽象一個概念，需要大量廣泛熟悉的事物作為支撐才能完成。變式的應用主要是從不同的視角，將感性材料重組，將事物的非本質屬性特征加以變化，通過各種不同的表現(xiàn)形式，凸顯事物獨有的本質特征，讓學生從多維度認識并理解概念，達到靈活應用的程度。由此可見，想要抓住知識的本質，需要做好以下兩點：

（1）從大量廣泛熟悉的事物著手

眾所周知，垂線段的本質與“畫垂線”有著密不可分的聯(lián)系。教師在授課時常常帶領學生從圖5中認識什么是垂線段，并通過測量發(fā)現(xiàn)垂線段是眾多線段中最短的一根，它所反映的是點到直線最短的距離。從心理學的角度分析，基于這個理解，并不能滿足學生在抽象概念時所需要的從“大量廣泛熟悉”的事物著手的觀點。

其實，在此環(huán)節(jié)中從學生的認知經(jīng)驗出發(fā)，結合學生所熟悉的事物，創(chuàng)設教學情境，往往能起到較好的教學效果：如圖6所示，若想測量這棵香樟樹到馬路的最短距離，大家準備怎么測量？

學生經(jīng)過思考、分析與交流，初步體驗到香樟樹與馬路為垂直關系的線段最短，且這條最短的線段只有一條。此時教師不要著急揭曉結論，可以借助這個情境，順著學生的思維繼續(xù)演練，比如添加鋪設煤氣管道、修筑排水系統(tǒng)等問題，引導學生逐步抽象出1個點和1條直線間的垂線段。

這種重基礎、抓本質，從大量廣泛熟悉的事物著手的教學方式，不僅能強化學生對基礎概念的理解，幫助學生精準地繪制垂線段，還能為學生后期接觸到各類圖形的畫高問題奠定基礎。比如，圖6的應用，就是為三角形、梯形與平行四邊形畫高夯實基礎。

（2）從各個角度組織感性材料

從以上分析來看，畫圖形的高，可以理解為過點畫直線的垂線段，那么引導學生感知、體悟垂線段則是教學的重點內容之一。若將目光僅僅停留在一點一線的問題上，則學生的思維將難以打開。因此，教師應適當?shù)靥砑右恍┛梢詮牟煌嵌葋砜创c分析的感性材料，以拓寬學生的視野，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。

問題：有1塊三角形的草地，若想從一個頂點到對面的那條邊上修1條最近的路，該怎么修呢？

從這個問題的表面來看，是練習畫垂線段的問題，一般學生都會將目光鎖定在問題中的“頂點”與三角形對面的邊上，很少有學生會受三角形其他兩條邊的干擾。解決此問，學生基本沒有問題。透過現(xiàn)象看本質，本題的實質是畫三角形的高，這個問題情境的利用，顯然提高了學生的正確率，這為后期深化理解畫三角形的高做好了鋪墊。

2. 重體驗，深理解

（1）注重操作體驗，獲得深刻理解

皮亞杰提出：“空間觀念的形成與解題不一樣，若想建立空間觀念感，動手操作必不可少?！保郏玻蓁b于此，教師應從理念上明白，引導學生正確畫出各類圖形的高，不僅是解決了一個問題，還是幫助學生建立空間感的過程。

兒童對幾何的認識與成人有著顯著區(qū)別，成人對幾何的認識以公理體系作為起點，而兒童卻以自身的經(jīng)驗作為對幾何認識的起點。這就決定了在講授各類圖形的高的問題上，教師不應從抽象的概念、定義著手教學，應從學生的生活經(jīng)驗與認知結構著手，引導學生從實際操作中進行構造。

學生結合自身原有的認知經(jīng)驗與操作活動進行各類圖形高的探索，不僅可以積累豐富的學習經(jīng)驗，還能形成完整的表象，更好地理解平面圖形中高的本質與內涵。

比如“三角形高”的教學，教師可以引導學生進行如下操作：將1個三角形剪成2個直角三角形；平行四邊形的高，可以引導學生將平行四邊形剪拼為最大的長方形等。

在學生完成操作后，教師可引導學生完成類似三角形草坪等問題，鼓勵學生通過畫一畫，深化對“點到直線（對邊）”的認識與理解，從而對高的表象產生深刻印象，高的概念會在學生自主操作、觀察與體驗中自然而然地形成。

（2）注重變式練習，強化經(jīng)驗

學生在畫高的過程中，因受思維定式的影響，視覺效果被鄰邊干擾而出現(xiàn)概念模糊的現(xiàn)象。想要糾正這種偏差，最好的辦法是教師引導學生動手操作，學生一旦對高的表象建立了良好的認知，那么在之后的應用中就能靈活變通。

比如對平行四邊形的高有了明確的認識后，教師可以帶領學生找一找圖形的高，鼓勵學生通過眼睛看、尺子量與動手擺等方式進一步理解平行四邊形的高。通過手腦并用，學生能深切體會高與“豎直”之間存在怎樣的區(qū)別，以擺脫思維定式的負面影響。

3. 扣根本，獲技能

奧蘇貝爾提出：“所有新知的建構，都是在學習者原有的經(jīng)驗基礎上而建立，新知的獲得與原有認知經(jīng)驗有著密切的聯(lián)系?！币虼耍虒W時教師應從知識的本源抓起，結合學生對“高”的認知經(jīng)驗開展活動。

緊扣知識本質與學生的認知經(jīng)驗是突破學生思維障礙的根本，若從建構主義學的角度與心理學的角度來看，以上所有活動的開展都是在探尋高的本質，找出畫高的核心思想，為實際操作奠定基礎。鑒于此，教師對待畫高的問題上，可從以下幾點出發(fā)：

（1）從生活中找知識原型，掌握畫高原理

畫垂線段是畫高的核心與本質，它的生活實際價值在于用來解決最短距離的問題。畫高方法的教學，切忌簡單機械的技能訓練與重復練習，而應引導學生回歸生活，從學生原有的認知經(jīng)驗出發(fā)，從他們的生活實際中找出知識的原型。

比如，學生在充分認識并體驗了平行四邊形的高的相關知識后，教師可創(chuàng)設一定的生活情境，鼓勵學生將三角形轉化為平行四邊形；也可以創(chuàng)設小學生感興趣的童話情境，如圖7所示：有1只蝸牛想從點A處爬至平行四邊形的對面，請為蝸牛設計1條最近的爬行路線。

面對這個問題，學生經(jīng)過思考與討論，設計出了兩種爬行方法：一種為鉛垂法，一種為斜著畫法。對于鉛垂法，教師可以提出問題：“這么畫的理由是什么？”引導學生根據(jù)這個問題，逐步深入地思考這么畫的原理，讓學生在思考與分析中，自然而然地將畫高的方法與畫垂線段的方法聯(lián)系起來。對于學生的這種想法，教師應及時給予肯定。

對于斜著畫的方法，教師可以引導學生進行類比，讓學生自主發(fā)現(xiàn)畫高原理其實并沒有發(fā)生變化，也就是說平行四邊形的高，不論朝哪個方向去畫，核心思想都是從直線外的點畫已知直線的垂線段。在此，教師可借助幾何畫板等工具，擦除點A的鄰邊，將問題直接抽象成點與直線的位置關系，讓學生從思想上實現(xiàn)畫高方法的融會貫通。

以上教學過程，只是進行原理溝通的基本方法。除此之外，教師還可以要求學生直接畫平行四邊的高，并提出：“畫平行四邊形的高與之前所接觸過的什么知識比較接近？”隨著此問的探索與解決，學生能夠抽象出畫高的原理與本質。

（2）強化學生的技能訓練，獲得操作能力

技能是指通過一定的練習，能完成一定的任務。技能學習與知識的學習相比，顯得更加復雜，程序更多，技能不僅包括對動作認識，還存在對動作的實際執(zhí)行等問題［３］?；诖?，畫高作為一種作圖技能，顯然比理論知識的教學更復雜，技能訓練一般可從以下兩方面進行：

一方面，基于基本認識的訓練，就是理解與操作結合的訓練，教師引導學生邊理解邊操作，邊操作邊理解。例如，要求學生用三角板畫高前，可以添加說一說、指一指高的位置的環(huán)節(jié)，幫助學生從認知上建立準確的概念，然而后執(zhí)行操作，可有效減少失誤的發(fā)生。

另一方面，基于執(zhí)行的技能訓練，技能屬于一種動作，以程序化的操作為表現(xiàn)。在三角形畫高中，主要體現(xiàn)在如何擺放三角板上。當學生對畫高的原理及方法有了明確的認識后，一定量的練習訓練可強化學生的操作技能。

總之，學生想要突破思維障礙，提高畫高能力，單純地從操作著手無法達到相應的目的。學生只有從問題的本質出發(fā)，站在一定的高度，系統(tǒng)地看待并處理問題，通過切身感知與體驗，才能從真正意義上突破思維障礙，掌握畫高的技能，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

參考文獻：

［１］ 朱智賢，林崇德. 思維發(fā)展心理學［Ｍ］. 北京：北京師范大學出版社，２００２.

［２］ 讓·皮亞杰. 結構主義［Ｍ］. 倪連生，王琳，譯. 北京：商務印書館，１９８４.

［３］ 科斯塔，卡利克. 思維習慣［Ｍ］. 李添，趙立波，張樹東，胡曉毅，等譯.北京：中國輕工業(yè)出版社，２００６.