■萬(wàn)志建，陳鋒

數(shù)學(xué)教育的目的是教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索、研究、解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決不僅有助于發(fā)展思維，而且可以培養(yǎng)學(xué)生解決日常生活問(wèn)題的基本技能。蘇科版教材“用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題”一章中，以“鐵絲圍矩形問(wèn)題和增長(zhǎng)率問(wèn)題”作為教學(xué)情境來(lái)開(kāi)展教學(xué)，旨在通過(guò)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系，并學(xué)以致用，與實(shí)際生活形成聯(lián)系。在實(shí)際教學(xué)中，很多教師只是簡(jiǎn)單地將情境與部分知識(shí)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，作為導(dǎo)入的一個(gè)引子，教學(xué)銜接有失自然，呈現(xiàn)碎片化脫節(jié)現(xiàn)象，不利于發(fā)展學(xué)生的整體思想；也有部分教師講“鐵絲圍矩形問(wèn)題”后采用變式教學(xué)，深挖題、廣發(fā)散，由此引伸到求某一矩形區(qū)域內(nèi)做路后剩余區(qū)域面積問(wèn)題，然后對(duì)等寬的路的形狀、位置、數(shù)量進(jìn)行變式，從中滲透平移、割補(bǔ)、極限思想，盡管挖掘有深度、互動(dòng)有熱度，但過(guò)于聚焦局部，深而不廣，沒(méi)有真正發(fā)揮情境的作用?！读x務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 版）》（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo)（2022 版））在教學(xué)建議中指出，要整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化及與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，豐富教學(xué)方式，重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，強(qiáng)化情境設(shè)計(jì)與問(wèn)題的提出?；诖?，本文以“用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題”教學(xué)為例，從宏觀、中觀、微觀三個(gè)視角創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)建立體教學(xué)。

宏觀情境是指站位單元，縱向梳理課時(shí)產(chǎn)生的前因后果、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)、價(jià)值意義，幫助學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題；站位學(xué)段，橫向類比同類單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容與經(jīng)歷，整體把握章節(jié)結(jié)構(gòu)，感悟?qū)W習(xí)方法，內(nèi)明本單元的知識(shí)走向，外通同類單元知識(shí)結(jié)構(gòu)。中觀情況是指站位課時(shí)，用完整的大情境統(tǒng)領(lǐng)和串聯(lián)課時(shí)知識(shí)點(diǎn)，隨著情境的展開(kāi)，知識(shí)點(diǎn)應(yīng)景而生，知識(shí)明線和素養(yǎng)暗線交織前行，幫助學(xué)生明晰知識(shí)產(chǎn)生的源點(diǎn)、傳承的支點(diǎn)與發(fā)展的遠(yuǎn)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象、推理與建模能力。微觀情境是指化整為零，聚焦知識(shí)點(diǎn)中的關(guān)鍵語(yǔ)點(diǎn)，設(shè)置鋪墊，各個(gè)擊破，從而突破重點(diǎn)，化解難點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的顯性與隱性認(rèn)識(shí)； 集零為整，把知識(shí)點(diǎn)放置于不同的情境中，通過(guò)變式拓展，讓學(xué)生全面理解知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵與外延，從而夯實(shí)“四基”，提升“四能”。“三觀”情境意在貫通章節(jié)、串聯(lián)課時(shí)、聚焦局部，幫助學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的形成、發(fā)展及演變過(guò)程，發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，從而構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，來(lái)表達(dá)和解決問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。情境可以理解為學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)的一種環(huán)境和背景，它給學(xué)生提供思考的空間，是誘發(fā)學(xué)生提出問(wèn)題并解決問(wèn)題的一種刺激材料[2]。如果把知識(shí)比作必需的營(yíng)養(yǎng)，則教師創(chuàng)設(shè)的情境相當(dāng)于精心設(shè)計(jì)的營(yíng)養(yǎng)配餐，設(shè)計(jì)時(shí)既要了解不同地區(qū)學(xué)生習(xí)慣的菜系、口味等宏觀背景，也要體現(xiàn)菜品的搭配組合、呈現(xiàn)的先后順序這條主線，更要立足聚焦于各個(gè)菜品的色香味和特色亮點(diǎn)，激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在細(xì)嚼慢咽中充分吸收知識(shí)營(yíng)養(yǎng)。

一、以宏觀情境貫通章節(jié)，構(gòu)建單元整體模型

課標(biāo)（2022 版）在教學(xué)建議中指出，改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，本質(zhì)上就是從宏觀角度設(shè)計(jì)情境?？v觀初中教材的編寫(xiě)呈逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的特點(diǎn)，因此可依據(jù)單元中各課時(shí)的銜接和學(xué)段中同類單元的關(guān)聯(lián)創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系[3]，讓學(xué)生預(yù)知學(xué)習(xí)內(nèi)容，了解學(xué)習(xí)方法。要想構(gòu)建整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)，首先必須放眼整章分析課時(shí)的地位作用、來(lái)龍去脈，從而創(chuàng)設(shè)逐層遞升、環(huán)環(huán)相扣的教學(xué)情境，形成清晰的課時(shí)生長(zhǎng)路徑，繼往開(kāi)來(lái)地構(gòu)建單元教學(xué)任務(wù)，更好地幫助學(xué)生把握整章單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)，提升綜合解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本課時(shí)內(nèi)容從單元視角看，是從源于生活中具體問(wèn)題分析，得出方程模型，再到一元二次方程的概念和求解等內(nèi)容基礎(chǔ)上的繼續(xù)，既是對(duì)章首提出的實(shí)際問(wèn)題呼應(yīng)回歸，形成知識(shí)鏈閉環(huán)，也是真正解決實(shí)際問(wèn)題的重要一課，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、服務(wù)于生活的本質(zhì)。其次必須站位學(xué)段，類比同類單元，梳理教材內(nèi)容中形式、教學(xué)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，發(fā)揮教材中知識(shí)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)效應(yīng)，從孤立到通聯(lián)[4]，使學(xué)生能夠基于以往學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)章節(jié)內(nèi)容的安排及走向形成合乎邏輯的解釋，并為整體架構(gòu)知識(shí)體系，為類比遷移解決實(shí)際問(wèn)題提供思路與方法，有效促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)本課時(shí)前，學(xué)生先后經(jīng)歷用一元一次方程、二元一次方程、分式方程解決實(shí)際問(wèn)題，已具備扎實(shí)的知識(shí)技能，積累了豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)會(huì)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，因此溫故知新有助于學(xué)生感悟其中相通的規(guī)律、本質(zhì)和價(jià)值，提升技能的遷移類比能力。

問(wèn)題1：在本章中我們依次學(xué)了哪些內(nèi)容？

教學(xué)說(shuō)明：讓學(xué)生順次回顧已學(xué)內(nèi)容，梳理本章知識(shí)的生長(zhǎng)、發(fā)展過(guò)程，形成清晰的課時(shí)生長(zhǎng)路徑，以明確本課時(shí)的起點(diǎn)，從宏觀上設(shè)計(jì)單元整體情境，將課時(shí)內(nèi)容融入整體章節(jié)，進(jìn)行知識(shí)的整體架構(gòu)，構(gòu)建前后知識(shí)之間聯(lián)系的橋梁，為后繼學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

問(wèn)題2：我們已經(jīng)了解一元二次方程，學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容，并掌握了如何解一元二次方程，如何應(yīng)用一元二次方程呢？

教學(xué)說(shuō)明：讓學(xué)生從兩個(gè)視角解釋，一是學(xué)以致用解決章首提出的很多實(shí)際問(wèn)題，首尾呼應(yīng)體現(xiàn)章節(jié)內(nèi)容的完整性；二是類比之前方程單元的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，無(wú)論是一元一次方程、二元一次方程還是分式方程，都是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引出概念，再學(xué)習(xí)如何解方程，最后回歸到用方程解決實(shí)際問(wèn)題中去。從而構(gòu)建出如圖1 所示的單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，凸顯知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，體會(huì)本課時(shí)的價(jià)值。

圖1 單元知識(shí)結(jié)構(gòu)

問(wèn)題3：類比之前方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，如何開(kāi)展方程類知識(shí)的學(xué)習(xí)？

教學(xué)說(shuō)明：初中教材的編寫(xiě)呈逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的特點(diǎn)，學(xué)生通過(guò)橫向比較方程類單元之間的關(guān)聯(lián)，思考解決方程類問(wèn)題的通性通法，讓學(xué)生在見(jiàn)到具體問(wèn)題之前，心中已有初步的方法構(gòu)想，從章節(jié)整體出發(fā)，采用宏觀情境，構(gòu)建普適的單元整體教學(xué)模型。

二、以中觀情境串聯(lián)課時(shí)，生成教學(xué)明暗雙線

課標(biāo)（2022 版）在教學(xué)建議中指出，為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián)。因此教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)要基于課時(shí)內(nèi)容，從學(xué)生實(shí)際的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，按知識(shí)“從哪里來(lái)？是什么？怎樣學(xué)？怎樣用？向哪里去”的邏輯，串聯(lián)起一條教學(xué)活動(dòng)（問(wèn)題）明線，多個(gè)知識(shí)點(diǎn)通過(guò)相互關(guān)聯(lián)形成知識(shí)鏈[5]。同時(shí)“數(shù)學(xué)直觀、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理（去異求同）、數(shù)學(xué)抽象（揭示特質(zhì)）、數(shù)學(xué)建模（靈活應(yīng)用）、提煉思想”的素養(yǎng)暗線隨著情境的發(fā)展、問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，與教學(xué)明線如影隨形，比翼雙飛，交織前行，形成生長(zhǎng)課堂結(jié)構(gòu)。作為一名教育工作者，學(xué)校的教育教學(xué)活動(dòng)要以人為本，以學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律為本，創(chuàng)設(shè)不同類型的數(shù)學(xué)情境，教給學(xué)生具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)獲得生長(zhǎng)的同時(shí)，也讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)獲得生長(zhǎng)。學(xué)生在生長(zhǎng)情境中不斷增強(qiáng)創(chuàng)新及應(yīng)用能力，提升數(shù)學(xué)建構(gòu)、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。本課時(shí)內(nèi)容主要包括面積問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題及利潤(rùn)問(wèn)題，通過(guò)圍地種桃情境，融入“空地圍籬笆、收成增長(zhǎng)率及降價(jià)促銷”等三個(gè)情節(jié)，生長(zhǎng)出這三類問(wèn)題，讓學(xué)生掌握“用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題”的主要題型、方法技能，感悟數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。

問(wèn)題1：回顧章首內(nèi)容，從問(wèn)題到方程，我們列舉了哪些問(wèn)題？

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)回顧章首問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)“用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題”的主要題型有一個(gè)初步的了解，也為后續(xù)用“從一塊空地說(shuō)起”這一中觀情境串聯(lián)、拓展部分題型作鋪墊，構(gòu)建出如圖2 所示的課時(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

圖2

問(wèn)題2（面積問(wèn)題）：小明家旁邊有一塊空地，現(xiàn)用40 米長(zhǎng)的圍欄：

（1）能否圍成面積是96 平方米的矩形區(qū)域？

（2）品味“能否圍成”其中的含義，你想到了什么？ 舉例說(shuō)明。

問(wèn)題3：學(xué)數(shù)學(xué)使人精明，如果小明家旁有一段20 米長(zhǎng)的圍墻，你能設(shè)計(jì)出哪些問(wèn)題？

（1）能否靠墻圍成面積是198 平方米的矩形區(qū)域？

（2） 在與墻平行的一邊開(kāi)一扇2 米寬的門，能否靠墻圍成面積是220 平方米的矩形區(qū)域？

（3）在問(wèn)（2）基礎(chǔ)上，現(xiàn)準(zhǔn)備在矩形區(qū)域內(nèi)部挖縱橫兩條等寬的溝渠，使剩余面積為162 平方米，求溝渠的寬度。你還能設(shè)計(jì)哪些問(wèn)題？

問(wèn)題4（增長(zhǎng)率問(wèn)題）：小明家準(zhǔn)備在這塊空地上種植水蜜桃，從第三年開(kāi)始收獲產(chǎn)量500 千克，第四年增長(zhǎng)了20%，求第四年的產(chǎn)量。若到第五年的產(chǎn)量為720 千克，求第三年到第五年平均每年增長(zhǎng)的百分率是多少。

問(wèn)題5（營(yíng)銷問(wèn)題）：自從小明家水蜜桃量產(chǎn)后，開(kāi)始在市場(chǎng)上銷售，在銷售中發(fā)現(xiàn)：平均每天可售出20 箱，每箱扣除種植成本后盈利40 元。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每箱降價(jià)1 元，平均每天就可多售出2 箱。

（1）如果降價(jià)后銷售這種水蜜桃當(dāng)天盈利1200 元，那么每箱單價(jià)降了多少元？ 從中有何啟發(fā)？

（2）思考：如果從外面低價(jià)批發(fā)轉(zhuǎn)賣，每箱也能盈利40 元，按照這種市場(chǎng)規(guī)律，你認(rèn)為最多可盈利多少？

教學(xué)說(shuō)明：具有各自功能價(jià)值的問(wèn)題依據(jù)特定的內(nèi)在聯(lián)系有機(jī)組合而成的問(wèn)題串，既能反映一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，又能體現(xiàn)一節(jié)課完整的“骨架”[1]。本課以“一塊空地”為背景，生長(zhǎng)出“面積、增長(zhǎng)率、營(yíng)銷問(wèn)題”等新情境，銜接自然，渾然一體，融會(huì)貫通整個(gè)課時(shí)。一方面讓學(xué)生感受知識(shí)的聚焦與發(fā)散，聚于一元二次方程，散于三個(gè)方面的應(yīng)用，深度理解知識(shí)應(yīng)用的變（呈現(xiàn)背景改變）與不變（尋找等量關(guān)系），也為后續(xù)學(xué)習(xí)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題暗埋伏筆；另一方面，讓學(xué)生感悟生活中處處有數(shù)學(xué)，處處離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的產(chǎn)生從來(lái)不是割裂斷層的，而是和諧共生、關(guān)聯(lián)層進(jìn)的。

三、微觀情境聚焦局部，深耕細(xì)作具體問(wèn)題

宏觀和中觀情境旨在讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有整體性的認(rèn)識(shí)，微觀情境則立足于一枝一葉，立足于由表及里、由粗入微的認(rèn)識(shí)，著眼于對(duì)每一知識(shí)點(diǎn)更為務(wù)實(shí)的探究打磨、聚焦發(fā)散，注重一個(gè)“透”字。通過(guò)還原知識(shí)點(diǎn)形成的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生在情境中厘清知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，并通過(guò)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，簡(jiǎn)約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，在現(xiàn)實(shí)生活與其他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)并提升實(shí)踐能力[6]。如面積問(wèn)題的設(shè)計(jì)，為使問(wèn)題更具生活性和生長(zhǎng)性，背景設(shè)計(jì)為小明家旁的空地，為后面的依墻而建、預(yù)留門寬等暗埋伏筆，在分析“能否圍成面積是96 平方米的矩形區(qū)域”時(shí)，注重剖析關(guān)鍵詞“能否”兩字的含義，并由此衍生發(fā)散系列問(wèn)題；在用等量關(guān)系列方程時(shí)，從兩個(gè)不同角度列式比較優(yōu)劣，并由此明理悟道；最后又在此例的基礎(chǔ)上開(kāi)枝散葉，逐層深入，并由此掌握“用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題”的規(guī)律方法，提升學(xué)生建模素養(yǎng)。

問(wèn)題：小明家旁邊有一塊空地，現(xiàn)用40 米長(zhǎng)的圍欄，能否圍成面積是96 平方米的矩形區(qū)域？

教學(xué)說(shuō)明：本題雖然簡(jiǎn)單，但承載的教學(xué)作用意義重大，一是要讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)“能否圍成”的含義，并能聯(lián)想到用方程模型解決實(shí)際問(wèn)題。二是引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析本題中的未知量及等量關(guān)系。一般而言，兩個(gè)未知量需要兩個(gè)等量關(guān)系來(lái)解決，而列方程一般只選用其中一個(gè)等量關(guān)系，究竟選哪一個(gè)？為什么？另一個(gè)等量關(guān)系起什么作用？ 這些要讓學(xué)生去嘗試體驗(yàn)，得出最優(yōu)化解決方案。三是引導(dǎo)學(xué)生列方程求解，得出答案，并據(jù)此概述用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟。四是讓學(xué)生回首細(xì)品“能否圍成”的延伸意義，用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)形結(jié)合思想直觀想象面積是否無(wú)限大，通過(guò)方程建模、數(shù)學(xué)推理、計(jì)算得出面積最大不能超過(guò)100 平方米，為后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)最值暗埋伏筆。