殷木森

(深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院 518010)

新課標(biāo)提出“三會(huì)”,其中一會(huì)是“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去思考現(xiàn)實(shí)世界[1]”,還指出“高考命題中應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成,關(guān)注學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力[1]”.那么,何為數(shù)學(xué)思維?數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維品質(zhì)又是如何形成的?這是每位教師都應(yīng)該弄清楚的問題.數(shù)學(xué)是思維的體操,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,而數(shù)學(xué)思維主要包括邏輯思維、形象思維和直覺思維,其中最核心的是邏輯思維,它是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力的源泉.新課標(biāo)中,數(shù)學(xué)思維就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn),它實(shí)質(zhì)上是人的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的個(gè)性特征,不同的人經(jīng)過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后,數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是有個(gè)性差異的.

衡量一個(gè)人的思維品質(zhì)主要包括批判性、獨(dú)創(chuàng)性、深刻性、廣闊性、靈活性和敏捷性等六個(gè)維度,它體現(xiàn)在解決一個(gè)具體問題的過程當(dāng)中.其中,批判性與獨(dú)創(chuàng)性是衡量思考問題層面的維度,深刻性與廣闊性是衡量分析問題層面的維度,靈活性與敏捷性是衡量解決問題層面的維度,如下圖所示:

顯然,日常教學(xué)中要選擇恰當(dāng)?shù)膯栴}載體,在思考、分析與解決問題的過程中有意識(shí)地從這六個(gè)維度出發(fā)去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,逐漸提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

1 問題的選擇

典型問題的選擇是先決條件,它決定了思維品質(zhì)的培養(yǎng)深度,也體現(xiàn)了教師發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.筆者認(rèn)為,問題的選擇應(yīng)該主要包括以下兩個(gè)特點(diǎn):

(1)易于發(fā)散

發(fā)現(xiàn)和提出的初始問題,不一定是最難的,但一定是典型的、易于拓展和延伸的,通過它能由淺到深地發(fā)現(xiàn)和提出一系列問題,形成問題串、構(gòu)建思維塊.在這個(gè)過程中,學(xué)生不斷地經(jīng)歷思考、分析和解決問題的過程.下面以2021年新高考一卷第7題(單選題)為例.

題1若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則.

A.eb

C.0

分析已知過曲線y=ex上一點(diǎn)可以作它的一條切線,現(xiàn)在能作兩條,那這個(gè)點(diǎn)能在哪呢?單是解決這道題來(lái)說(shuō),有幾種方法,但不能就此算數(shù),應(yīng)該進(jìn)一步深入地思考:

(1)對(duì)于一般的指數(shù)函數(shù)曲線y=ax(a>0且a≠1)呢?

(2)把指數(shù)函數(shù)換成對(duì)數(shù)函數(shù)、三次函數(shù)、正余弦函數(shù)會(huì)怎樣呢?特別是三次函數(shù),還會(huì)出現(xiàn)三條切線的情況,可以從特殊到一般進(jìn)行研究.

(3)相切其實(shí)是相交的一種特殊情況,如果改成探究“指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的交點(diǎn)情況”,或者“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)情況”呢?

(4)再往下思考,還可以考慮兩條曲線的公切線問題.

過程中要不斷地經(jīng)歷由猜想、質(zhì)疑,到歸納、總結(jié),再到反思、提升的全過程,并且在過程中不斷地經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、修正錯(cuò)誤,找到正確的解決思路.

(2)易于總結(jié)

通過解決一個(gè)、一類問題,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般的認(rèn)知規(guī)律,以后再碰到類似的問題,就能從這個(gè)角度進(jìn)行深入思考,通過不斷試誤,找到解決問題的一般方法.如從2022年新高考一卷第7題(單選題)開始,去總結(jié)解決“指、對(duì)、冪比較大小”問題的一般處理辦法.

A.a

C.c

分析要解決這個(gè)問題,可以從最簡(jiǎn)單的方法入手:0,1是它們的“中間量”嗎?但很快發(fā)現(xiàn),三數(shù)均在(0,1)之間.再細(xì)看,感覺能用作差法或作商法,先比較哪兩個(gè)呢?先從簡(jiǎn)單能比較的入手,顯然a,b與b,c容易比較一些.

第一步,比較a,b,作差還是作商呢?因?yàn)閮烧邲]有公因式,試試作商.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1-x)ex,

因?yàn)楫?dāng)0

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

即f(0.1)

第二步,比較b,c,看不出作差與作商哪個(gè)好,先嘗試作差.

因?yàn)楫?dāng)0

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

第三步,前兩步只能排除A,B,看來(lái)命題人是執(zhí)意要比較a,c的大小.因?yàn)樽魃毯髽?gòu)造的函數(shù)會(huì)更復(fù)雜一些,還是先嘗試作差吧.

由a-c=0.1e0.1+ln0.9=0.1e0.1+ln(1-0.1)構(gòu)造函數(shù)h(x)=xex+ln(1-x),令0

顯然無(wú)法求解出h′(x)>0的解集,再次求導(dǎo)也不行,需要及時(shí)轉(zhuǎn)換思路.稍為仔細(xì)一點(diǎn)會(huì)發(fā)現(xiàn),只需要比較(x2-1)ex+1的正負(fù)就行,x所在的范圍只要能包含0.1就行了.

設(shè)p(x)=(x2-1)ex+1,

則p′(x)=(x2+2x-1)ex,

而h′(x)>0,

即h(0.1)>h(0)=0,即a>c,排除D選C.

細(xì)細(xì)觀察還發(fā)現(xiàn),其實(shí)用不著比較b,c,因?yàn)楸容^a,b后能排除B,比較a,c后能排除A、D,當(dāng)然這是后話,要解決“指、對(duì)、冪比較大小”的問題,就應(yīng)該先從找中間量入手,作差與作商法是其最基本的方法,然后通過構(gòu)造函數(shù)與0進(jìn)行比較.本題之所以難,是因?yàn)闃?gòu)造函數(shù)后,通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性比較大小時(shí)不能一蹴而就,特別是比較a,c時(shí).當(dāng)然,此題還有很多解決方法,但這是最直接和一般的方法.也有老師認(rèn)為,學(xué)生一開始就應(yīng)該想到把b,c轉(zhuǎn)化成跟0.1相關(guān)的表達(dá)式,然后直接構(gòu)造函數(shù)解決,其實(shí)就是上面解法中的第一、三步.

2 養(yǎng)成思考問題的良好習(xí)慣

思考是分析和解決問題的前提,站在思維的最前端.對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,思考問題最需要的思維品質(zhì)是批判性與獨(dú)創(chuàng)性,即一個(gè)人首先要能夠獨(dú)立思考問題,并且善于質(zhì)疑、及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤,這是批判性,是思維過程中自我意識(shí)作用的結(jié)果;其次,要能夠求同存異,有區(qū)別于常人思考問題的方法,這就是獨(dú)創(chuàng)性,是擺脫了一般意義上的學(xué)習(xí)后體現(xiàn)出來(lái)的思維的個(gè)性化特征.這就是人們常說(shuō)的批判性思維與創(chuàng)造性思維.日常教學(xué)中,教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的批判精神和獨(dú)創(chuàng)意識(shí),并逐漸形成良好的思考習(xí)慣.

2.1 通過質(zhì)疑性問答培養(yǎng)批判性思維

一線教學(xué)中,很多教師采用題型教學(xué)法,方法先行、題型在后,學(xué)生一看課題就能明白本節(jié)課用這種方法解題肯定沒錯(cuò),殊不知高考考場(chǎng)上,是不會(huì)有人告訴你哪道題用哪種方法的,學(xué)生要通過思考、嘗試,才能得出正確的思路.因此,教學(xué)中教師要經(jīng)常用到質(zhì)疑性的問答,在解答過程中不斷進(jìn)行反思、及時(shí)調(diào)整策略,這樣才能培養(yǎng)好批判性思維.下面以2022年全國(guó)乙卷理科第11題為例.

首先,要求學(xué)生根據(jù)題意繪出示意圖(如下),教師可以提出質(zhì)疑“為什么M在左,N在右”,因?yàn)閏os ∠F1NF2>0,否則會(huì)有兩種情況.

上述解決問題的過程中,師生間的質(zhì)疑性問答起到很關(guān)鍵作用,不僅讓學(xué)生更全面地了解直線與雙曲線的相交問題,而且更清楚地認(rèn)識(shí)到了思考問題需要嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)密,避免了就題解題帶來(lái)的尷尬.

2.2 重視過程性教學(xué)才能發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃光點(diǎn)

有些教師不夠重視問題解決的過程,要知道過程中學(xué)生的思維閃光點(diǎn),就是那種超出了預(yù)設(shè)的生成,才是課堂中最寶貴的財(cái)富,也是思維獨(dú)特性的表現(xiàn).下面以2021年全國(guó)乙卷理科第12題(單選題)為例,此題與題2一脈相承,甚至難度更大.

A.a

C.b

想一想構(gòu)造函數(shù)的目的是什么?是為了跟0比較,而f1(0)=0,而f2(x)與f3(x)是很難找到零點(diǎn)比較的.所以,過程中學(xué)會(huì)比較是很重要的.還有別的方法嗎?因?yàn)閍,c的值非常接近,可以采用放縮法進(jìn)行估算,估算也是一種能力.

放縮法是估算的一個(gè)重要方法,但是放縮的不等式有很多,有時(shí)未必能馬上成功,需要不斷嘗試才行,相信還會(huì)有其它的方法.

3 分析問題必須全面與透徹

有了思考問題的能力,還要學(xué)會(huì)分析問題.人們常說(shuō),要透過問題看本質(zhì),這是思維的深刻性;還說(shuō)要全面考慮和分析問題,這是思維的廣闊性.因此,分析問題不能僅停留在表層,而是要全面與透徹.下面通過解答2022年新高考二卷第12題(多選題)去說(shuō)明問題.

題5若x,y滿足x2+y2-xy=1,則.

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析已知x,y的關(guān)系,要求x+y與x2+y2的取值范圍,從式子的構(gòu)造來(lái)說(shuō),運(yùn)用基本不等式即可解決.

由上可見,若不能通過一道題去發(fā)現(xiàn)它的本質(zhì),或者分析得不夠全面,學(xué)生能吸取到的營(yíng)養(yǎng)是有限的.其實(shí),此題若由x+y=μ得y=μ-x,由x2+y2=ν2得x=νcosθ,y=νsinθ,分別代入原式也可求得μ,ν2的取值范圍,只是參數(shù)方程已不作要求.

4 拓寬解決問題的視野

分析問題是為了解決問題,解決問題是思維的最末端.評(píng)判一個(gè)人解決問題能力的高低,常用靈活性與敏捷性.這個(gè)不難理解,靈活性是指能根據(jù)具體情況及時(shí)轉(zhuǎn)向,變通思路以克服思維定勢(shì);而敏捷性是指能迅速地發(fā)現(xiàn)和解決問題.下面還是通過兩道比較大小的問題進(jìn)行說(shuō)明,先是2022年全國(guó)甲卷理科第12題(單選題).

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

以上我們發(fā)現(xiàn),若學(xué)生碰到不熟悉的背景就放棄解答是十分可惜的.此時(shí),應(yīng)該靈活地調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí),拓寬解決問題的視野,多方嘗試,不輕言放棄,相信一定能找到解決問題的路徑.再看2020年全國(guó)丙卷理科第12題(單選題):

題7已知55<84,134<85,設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則.

A.a

C.b

顯然,要培養(yǎng)學(xué)生的靈活性與敏捷性,日常教學(xué)中一定要對(duì)問題進(jìn)行深入的挖掘,并在其本質(zhì)特征上進(jìn)行“一題多變”與“一題多解”.學(xué)生只有積累了足夠多的經(jīng)驗(yàn),才會(huì)有足夠多的信心去解決那種看似并不那么常規(guī)的問題.

5 反思與建議

要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),課堂教學(xué)仍是主陣地.

5.1 要有適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)容量

對(duì)數(shù)學(xué)課而言,教學(xué)容量不是指知識(shí)容量,而是通過教學(xué)活動(dòng)體現(xiàn)出來(lái)的思維含量,課堂容量太小,教學(xué)效率就低;課堂容量太大,學(xué)生就會(huì)吃不消.只有針對(duì)學(xué)情,設(shè)置適量的思維活動(dòng),遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,才能使學(xué)生的本事一天天見長(zhǎng).

5.2 要注重整體性教學(xué)

沒有人告訴你,解決哪個(gè)問題要用哪個(gè)方法,方法要靠學(xué)生自己去尋找.如果課堂上教師沒有注重整體性教學(xué),學(xué)生的認(rèn)知就會(huì)很片面,很容易造成思維定勢(shì).上述幾個(gè)比較大小的問題中,可能用到的方法包括:尋找中間量、作差作商、構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性,借用基本不等式等,但不同的問題要用到的方法是有區(qū)別的.對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生而言,適當(dāng)拓寬知識(shí)面是有利于學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)問題的,如泰勒展開式,不等式放縮技巧等.

5.3 要注重規(guī)范化表達(dá)

規(guī)范表達(dá),也是思維能力的一種體現(xiàn).課堂上,有些教師只注重思考與分析,不重視學(xué)生的規(guī)范表達(dá),這就沒有發(fā)揮問題教學(xué)的最大價(jià)值.學(xué)生通過規(guī)范表達(dá),真正地把所思所想寫出來(lái),進(jìn)一步厘清為什么與怎么樣,才能更大程度上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).