張澤璽，熊根良，張華，許寶陽，包俊陽

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 上海市大型構(gòu)件智能制造機(jī)器人技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心）

0 引言

串聯(lián)機(jī)械臂在工業(yè)領(lǐng)域逐漸大放異彩，特別是以六自由度機(jī)械臂為代表的非冗余機(jī)械臂技術(shù)已漸趨成熟。隨著工業(yè)技術(shù)的高速發(fā)展，機(jī)械臂的工作場(chǎng)景變得愈加復(fù)雜，人們對(duì)機(jī)械臂的工作性能也有了更高的要求。傳統(tǒng)的低自由度非冗余機(jī)械臂漸漸難以勝任，因此需要加強(qiáng)對(duì)以七自由度機(jī)械臂為代表的冗余機(jī)械臂的研究。冗余機(jī)械臂最大的優(yōu)勢(shì)在于其具有多余的自由度，因而相較于非冗余機(jī)械臂有著更高的靈活性、容錯(cuò)性與可靠性，且利用其自運(yùn)動(dòng)的特性可以實(shí)現(xiàn)避障[1]、避奇異點(diǎn)[2]、避免關(guān)節(jié)限位、優(yōu)化關(guān)節(jié)力矩[3]、適應(yīng)人類動(dòng)作[4]等性能指標(biāo)，但隨著機(jī)械臂的自由度數(shù)目的增加，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)求解的難度也隨之提高[5]，因此對(duì)冗余機(jī)械臂進(jìn)行深入的研究是非常必要的。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)七自由度冗余機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)研究取得許多進(jìn)展。Shimizu 等[6]對(duì)七自由度機(jī)械臂進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)研究，證明將臂形角作為冗余參數(shù)可完全反應(yīng)機(jī)械臂的冗余性，該方法的幾何意義明顯，缺點(diǎn)在于其普適性低，僅適用于機(jī)械臂肩部和腕部均為等效球關(guān)節(jié)的構(gòu)型；趙京等[7]基于臂形角參數(shù)化方法，以最小勢(shì)能指標(biāo)為理論依據(jù)可以確定機(jī)械臂唯一的肘部位置，繼而完成了七自由度機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解；徐俊虎等[8]對(duì)“骨科手術(shù)輔助機(jī)器人系統(tǒng)”中的無偏置七自由度冗余機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解時(shí)，提出了一種以減小最大關(guān)節(jié)位移為控制優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化方法，利用該方法可顯著提升機(jī)械臂的作業(yè)效率；祖迪等[9]將梯度投影法與關(guān)節(jié)角參數(shù)化方法相結(jié)合求解冗余機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，在梯度投影法得到一個(gè)優(yōu)化近似解的基礎(chǔ)上，再利用關(guān)節(jié)角參數(shù)化方法得到一個(gè)更為精確的解；Fei 等[10]提出將加權(quán)最小范數(shù)法與梯度投影法相結(jié)合的思路，與僅使用加權(quán)最小范數(shù)法相比，關(guān)節(jié)速度變化更加平穩(wěn)，求解更加可靠；馮玉倩等[11]基于拉格朗日方法對(duì)七軸機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析與仿真，驗(yàn)證了其建立模型的合理性，但其不足在于仿真沒有建立在實(shí)際工況環(huán)境中；劉壯壯[12]采用牛頓-歐拉方法對(duì)冗余機(jī)械臂進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)求解及仿真，并基于慣性橢球原理對(duì)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行了分析；陳罡等[13]基于ADAMS 與MATLAB 對(duì)七自由度機(jī)械臂進(jìn)行聯(lián)合仿真，分析了各關(guān)節(jié)之間控制參數(shù)的耦合性，仿真結(jié)果驗(yàn)證了機(jī)械臂末端執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)可以滿足實(shí)際工況的需求。

本文針對(duì)七自由度機(jī)械臂Diana V2 的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)建模的正確性問題分別進(jìn)行分析與驗(yàn)證。針對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，首先基于D-H 方法建立機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，再采用梯度投影法對(duì)機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題進(jìn)行求解，利用MATLAB 機(jī)器人工具箱驗(yàn)證結(jié)果；針對(duì)動(dòng)力學(xué)問題，在SolidWorks中建立該冗余機(jī)械臂的三維模型，采用拉格朗日方法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)理論建模，然后將模型導(dǎo)入ADAMS 中，將機(jī)械臂按照規(guī)劃路徑進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，得出機(jī)械臂七個(gè)關(guān)節(jié)力矩隨時(shí)間變化的仿真曲線，并將仿真得到的輸出信息作為MATLAB 中動(dòng)力學(xué)方程的輸入，MATLAB 數(shù)值分析后繪制出的力矩曲線與ADAMS 仿真曲線進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的可靠性。

1 七自由度機(jī)械臂構(gòu)型分析

冗余機(jī)械臂最顯著的構(gòu)型特點(diǎn)在于其“自運(yùn)動(dòng)”特性，也就是在末端位姿固定的情況下可以有無數(shù)組關(guān)節(jié)角度與之對(duì)應(yīng)。如今已經(jīng)有很多學(xué)者對(duì)七自由度機(jī)械臂的構(gòu)型問題進(jìn)行了大量的研究與分析，本文所使用的Diana V2 機(jī)械臂是思靈公司生產(chǎn)的一款輕量化協(xié)作機(jī)械臂，其構(gòu)型為帶有偏置的SRS 型，具備反應(yīng)快、自適應(yīng)、靈敏度高等優(yōu)點(diǎn)，適合精密裝配與在狹窄空間中作業(yè)。在建立機(jī)械臂坐標(biāo)系的各種方法中，D-H 方法的應(yīng)用是最為廣泛的，本文采用改進(jìn)后的D-H 方法描述機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并建立各個(gè)連桿的坐標(biāo)系，該機(jī)械手臂的模型及DH 坐標(biāo)系如圖1 所示，機(jī)械臂D-H 參數(shù)值如表1 所示。

表1 冗余機(jī)械臂D-H 參數(shù)值Tab.1 D-H parameter value of manipulator

圖1 機(jī)械臂模型及連桿坐標(biāo)系Fig.1 Manipulator model and linkage coordinate system

2 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)

2.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)與正運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解過程相反，相對(duì)更為困難，是已知末端位姿求解機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的角度值。但是由于冗余機(jī)械臂自身的冗余特性，使得同一個(gè)末端位姿可以反解出無數(shù)組解，因此需要補(bǔ)充相應(yīng)的約束條件求得唯一解。本文采用梯度投影法求運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，該方法求得的解由特解和齊次解2 部分組成，由于特解與齊次解是正交關(guān)系，因此梯度投影法在不影響完成首要任務(wù)的同時(shí)，能對(duì)次要任務(wù)進(jìn)行優(yōu)化。梯度投影法的公式為

式中：——逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程=的解，可以保證機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；k(I-J+J)——=0的齊次解，是H? 在零空間的投影，該部分的作用是在不影響機(jī)械臂末端位姿的前提下，通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)變量的最優(yōu)化；k——梯度系數(shù)，其大小與優(yōu)化速度呈正相關(guān)；H?——優(yōu)化目標(biāo)H的梯度。

在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，梯度系數(shù)k的取值是難點(diǎn)，k取值過大易引發(fā)震蕩，k取值較小則對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的約束作用不明顯，可能造成關(guān)節(jié)變量超出關(guān)節(jié)極限范圍。

利用MATLAB 機(jī)器人工具箱對(duì)機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法進(jìn)行驗(yàn)證，圖2 為機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角度分別為pi/2，-pi/4，-pi/2，pi/3，pi/2，3/4pi，-3/4pi 時(shí) 的仿真模型，將關(guān)節(jié)角度代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算出對(duì)應(yīng)的末端位姿矩陣，并將該位姿矩陣作為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的輸入，計(jì)算得到各關(guān)節(jié)角度與初始值誤差很小，且由圖3 可知逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解算出的關(guān)節(jié)角連續(xù)且平滑，而且角度變化范圍也在各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍之內(nèi)，因此驗(yàn)證了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的正確性。

圖2 機(jī)械臂仿真模型Fig.2 Simulation model of manipulator

圖3 各關(guān)節(jié)角度變化曲線Fig.3 Joint angle change curve

2.3 工作空間求解

蒙特卡洛法是基于概率統(tǒng)計(jì)論對(duì)隨機(jī)性問題進(jìn)行仿真，機(jī)械臂末端的理論工作位置并不屬于隨機(jī)性問題，因此先將機(jī)械臂工作空間的解設(shè)計(jì)為統(tǒng)計(jì)參量，再利用該方法可在MATLAB 中求解得到該七自由度機(jī)械臂的工作空間。此次定義隨機(jī)采樣點(diǎn)數(shù)為5 000。隨機(jī)采樣點(diǎn)數(shù)越大，呈現(xiàn)出的工作空間范圍則越接近真實(shí)的工作空間，可得到該機(jī)械臂的工作空間范圍接近一個(gè)橢球體，機(jī)械臂工作空間云圖如圖4 所示。

圖4 機(jī)械臂工作空間云圖Fig.4 Cloud map of manipulator workspace

3 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)分析

3.1 動(dòng)力學(xué)建模

動(dòng)力學(xué)主要研究的是物體運(yùn)動(dòng)與力之間的關(guān)系，該機(jī)械臂所有關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，故對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)和關(guān)節(jié)力矩分析時(shí)，需要考慮各個(gè)連桿的慣性張量I。將機(jī)械臂各個(gè)連桿的質(zhì)心C作為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則相對(duì)此坐標(biāo)系慣性張量I 為

其中對(duì)角線元素為剛體繞坐標(biāo)軸的質(zhì)量慣性矩，其余元素為慣性積。機(jī)械臂各連桿的質(zhì)量、質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等參數(shù)如表2 所示。

表2 機(jī)械臂屬性參數(shù)Tab.2 Mechanical arm attribute parameters

研究機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)的方法有牛頓-歐拉法、拉格朗日法、旋量方法及凱恩方法等，鑒于Diana七自由度機(jī)械臂構(gòu)型的復(fù)雜性，采用拉格朗日方法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。拉格朗日方法本質(zhì)上是基于系統(tǒng)能量對(duì)時(shí)間采用微分的動(dòng)力學(xué)方法，該方法基于能量平衡方程，更適合于分析同一系統(tǒng)中的多個(gè)連桿運(yùn)動(dòng)。

定義拉格朗日函數(shù)為L=K-P，其中：L——拉格朗日函數(shù)，K——機(jī)械臂系統(tǒng)總動(dòng)能，P——系統(tǒng)總勢(shì)能。對(duì)于Diana 七自由度機(jī)械臂而言，系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能分別為

連桿i的質(zhì)心在連桿i局部坐標(biāo)系中的位置為

機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)力矩的推導(dǎo)方程為

式中：τi——機(jī)械臂廣義力或力矩；θi——廣義坐標(biāo)；——廣義坐標(biāo)的1 階導(dǎo)數(shù)。計(jì)算上述拉格朗日方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可得新的各關(guān)節(jié)力矩表達(dá)式為

式（9）中的第1 部分代表機(jī)械臂廣義加速度產(chǎn)生的慣性力對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響，第2 部分為科氏力和離心力項(xiàng)，第3 部分表示重力對(duì)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩的影響。

本文以Diana 七自由度機(jī)械臂為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，將其動(dòng)力學(xué)方程展開為

在七自由度冗余機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)過程中，科氏力與向心力對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響與轉(zhuǎn)速呈正相關(guān)。通常大臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速較慢，故可以忽略對(duì)動(dòng)力學(xué)影響很小的科氏力與向心力，但同時(shí)小臂及腕部關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)速相對(duì)較高，因此在求解動(dòng)力學(xué)的過程中不可忽略。另外，角加速度與重力對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與精度有著較大的影響。故應(yīng)當(dāng)綜合分析對(duì)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生影響的因素并相應(yīng)地做出簡(jiǎn)化，以得到各個(gè)關(guān)節(jié)的力矩推導(dǎo)公式。

3.2 動(dòng)力學(xué)仿真

采用ADAMS 作為仿真平臺(tái)對(duì)七自由度冗余機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。首先基于SolidWorks 建立了冗余機(jī)械臂的三維模型，并將模型保存為Parasolid格式并導(dǎo)入ADAMS，需注意建立的模型應(yīng)盡量簡(jiǎn)化，滿足虛擬樣機(jī)仿真性能的同時(shí)，構(gòu)件數(shù)量盡可能少。在SolidWorks 中建立的簡(jiǎn)化模型如圖5 所示。

圖5 機(jī)械臂簡(jiǎn)化模型Fig.5 Simplified model of robotic arm

首先需要根據(jù)機(jī)械臂的實(shí)際需要設(shè)置仿真參數(shù)，從而預(yù)測(cè)機(jī)械臂的力矩值。將上述建立的機(jī)械臂模型導(dǎo)入到ADAMS 中，導(dǎo)入后對(duì)機(jī)械臂的屬性進(jìn)行定義，包括顏色、位置、名稱和材料等，特別是質(zhì)量信息，以確保仿真模型的質(zhì)心與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與三維模型保持一致，然后再對(duì)機(jī)械臂添加約束，由于Diana 機(jī)械臂有7 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因此在機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)處添加一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，并在基座與大地之間添加一個(gè)固定副。設(shè)置完成后的模型如圖6 所示。

圖6 機(jī)械臂約束與驅(qū)動(dòng)Fig.6 Constraint and drive of manipulator

為了使機(jī)械臂按照預(yù)定軌跡運(yùn)動(dòng)，需要對(duì)每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副設(shè)置相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)，設(shè)置完成后的各關(guān)節(jié)初始關(guān)節(jié)角度均為0，目標(biāo)關(guān)節(jié)角度依次為60，30，45，30，90，45，120。規(guī)劃仿真時(shí)間為5 s，仿真步長設(shè)置為300。此時(shí)便可以求解系統(tǒng)中的反約束力，根據(jù)運(yùn)動(dòng)求作用力就是逆動(dòng)力學(xué)問題。通過ADAMS 完成對(duì)機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)仿真后，從后處理模塊中得到各關(guān)節(jié)仿真力矩隨時(shí)間變化曲線。

另外，機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)求解包含大量的矩陣運(yùn)算，因此需要在MATLAB 中對(duì)動(dòng)力學(xué)理論模型進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化，將仿真得到的機(jī)械臂各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)物理量（角度、角速度、角加速度）作為動(dòng)力學(xué)方程的輸入，求出各個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩值并擬合成相應(yīng)的曲線，最后與上述仿真得到的力矩曲線進(jìn)行對(duì)比。圖7 為機(jī)械臂各關(guān)節(jié)理論力矩曲線和仿真力矩曲線的對(duì)比。

圖7 各關(guān)節(jié)理論力矩曲線與仿真力矩曲線對(duì)比圖Fig.7 Comparison diagram of theoretical torque curve and simulation torque curve of each joint

由圖7 可知，相較其他關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)7 的驅(qū)動(dòng)力矩最小，這是因?yàn)殛P(guān)節(jié)7 運(yùn)動(dòng)過程中僅有很小的負(fù)載，且負(fù)載集中在其關(guān)節(jié)軸線附近，因此即使有較大的角加速度，對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩的影響也很小；關(guān)節(jié)2的驅(qū)動(dòng)力矩逐漸增大且幅值遠(yuǎn)大于其他關(guān)節(jié)，這是因?yàn)闄C(jī)械臂按照預(yù)定路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)節(jié)2 處所受的負(fù)載逐漸變大，且需要承受上部關(guān)節(jié)的重力和運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的向心力及科氏力。通過觀察各關(guān)節(jié)的力矩變化，總體可以看出各關(guān)節(jié)力矩受其余關(guān)節(jié)的耦合影響。通過機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的力矩仿真曲線，分析各關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)特性，為進(jìn)一步研究機(jī)械臂控制及設(shè)備性能可靠性提供參考。

綜上，七自由度機(jī)械臂按照規(guī)劃路徑運(yùn)行時(shí)的理論與仿真力矩?cái)?shù)據(jù)基本吻合，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)建模的準(zhǔn)確性，因此上述建立的動(dòng)力學(xué)方程可應(yīng)用于后續(xù)的算法研究中，也為機(jī)械臂后續(xù)控制提供了試驗(yàn)基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

（1）采用改進(jìn)D-H 法建立了冗余機(jī)械臂的連桿坐標(biāo)系，推導(dǎo)出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，基于梯度投影法求解其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，并利用MATLAB 機(jī)器人工具箱驗(yàn)證了算法的可靠性；（2）以拉格朗日方法為理論基礎(chǔ)，建立了冗余機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，當(dāng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)時(shí)，可通過動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算出機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的理論力矩；（3）在SolidWorks 中建立了冗余機(jī)械臂的三維模型，將模型導(dǎo)入ADAMS 進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真并繪制出仿真力矩曲線，將ADAMS仿真得到的運(yùn)動(dòng)信息作為MATLAB 動(dòng)力學(xué)方程的輸入，繪制理論力矩曲線。將兩者進(jìn)行對(duì)比，判斷擬合程度，結(jié)果證明了動(dòng)力學(xué)建模的可靠性。

本文對(duì)冗余機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的分析研究為后續(xù)控制研究和運(yùn)動(dòng)優(yōu)化提供了試驗(yàn)依據(jù)和理論基礎(chǔ)。