蔣飛翔

（南京鐵道職業(yè)技術(shù)學院 運輸管理學院，江蘇 南京 210031）

衡量專任教師的教學效果的優(yōu)與劣通常做法是以學生的期末考試成績作為評價教師教學效果的依據(jù)。顯然，用這樣的標準去評價教師的教學效果是片面的，也缺乏相應(yīng)的公平性。實際上，高等院校各個專業(yè)學生的入學成績相差比較大，如果單以某學科的期末考試成績來考量該學科教師的教學水平顯然是不合理的?？紤]到高考的入學成績與所考察成績的相關(guān)性，既應(yīng)看到學生現(xiàn)在的成績又要注意到以前的學習基礎(chǔ)，著眼于現(xiàn)在，期望于未來，即：衡量教師的教學效果要以全體學生的學習進步程度作為基準。

近年來，關(guān)于教學效果評價的學者頗多。宋曉麗等構(gòu)建了基于學生滿意度的高校線上教學模式評價體系[1]，傅麗容等從培養(yǎng)學生的實踐技能、科學思維和創(chuàng)新能力等方面構(gòu)建了“三平臺、三階段、三層次”的實驗教學評價體系[2]，任源等提供了環(huán)境工程微生物學全英課程的教改探索及評價體系[3]，白曉東提供了評價模型的理論依據(jù)[4]，郭智蓮等給出了應(yīng)用馬爾科夫鏈評價教學質(zhì)量的基本方法[5]，楊玉華提出了“進步度”的概念，在此基礎(chǔ)上采用一步轉(zhuǎn)移概率矩陣給出了一種有效的評價方法[6]，裴鈺鑫等提出了“懲罰因子”的概念[7]，明確了轉(zhuǎn)移概率矩陣中的區(qū)分度，提升了評價教學效果的科學性。

考慮到高等院校學生的每一次課程都是一次知識的積累，每一次課程都視為一次狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，這一現(xiàn)狀符合馬爾科夫鏈的極限狀態(tài)要求，因此可利用馬爾科夫模型來確定學生的最終學習效果，結(jié)合教學效率期望及加權(quán)教學效率期望，科學地構(gòu)建教學效果評價體系以便評價專任教師教學效果的優(yōu)與劣。

1 馬爾科夫過程的原理

1.1 馬爾科夫鏈的定義

過去只影響現(xiàn)在，過去不會影響將來，這種隨機過程稱為馬爾科夫過程。狀態(tài)離散的馬爾科夫過程被稱為馬爾科夫鏈[8]。

定義1 設(shè){Xn,n≥0}是定義在概率空間上的隨機過程，狀態(tài)空間為S,若對于任意的n≥1及任意的整數(shù)0 ≤t1

則稱{Xn,n≥0}為馬爾科夫鏈，簡稱馬氏鏈。顯然，馬氏鏈具有無后效性。

定理1 隨機過程{Xn,n≥0}是馬爾科夫鏈的充要條件，是對任意的n≥1及任意的i1,i2,…,in,j∈S,有

1.2 轉(zhuǎn)移概率

定義2 設(shè){Xn,n≥0}是狀態(tài)空間S的馬爾科夫鏈，稱

為系統(tǒng)在時刻m處于狀態(tài)i的條件下經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到j(luò)的n步轉(zhuǎn)移概率，顯然，對于轉(zhuǎn)移概率(m)具有：

定理2 設(shè)是馬爾科夫鏈{Xn,n≥0}的n步轉(zhuǎn)移概率，則任意的i,j∈S,m,n≥0,有

定理3 馬爾科夫鏈{Xn,n≥0}的一步轉(zhuǎn)移概率pij可以確定所有的n步轉(zhuǎn)移概率p(n)ij。

定理4 設(shè){Xn,n≥0}是馬爾科夫鏈，則其任意有限維概率分布完全由初始分布和一步轉(zhuǎn)移概率決定[9]。

2 馬爾科夫模型

2.1 建立合理的指標體系

選取考察樣本，將樣本按照一定的規(guī)則排序后分為n個等級，算出所有等級在所選樣本中的比例，得到初始狀態(tài)向量，即

2.2 構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣

2.3 求出穩(wěn)態(tài)概率向量

經(jīng)過若干次的狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，每一等級的總數(shù)量在樣本中的比例趨于穩(wěn)定[10]。設(shè)穩(wěn)態(tài)概率向量為，則有，即

3 馬爾科夫模型教學效果評價體系構(gòu)建

3.1 懲罰因子

學生期末考試成績的變化，涉及到“進步”與“退步”兩種作相反的結(jié)果。學生成績進步一個等級與學生成績進步兩個等級所產(chǎn)生的效果有顯著不同。為區(qū)分這些結(jié)果，本文將原有轉(zhuǎn)移概率矩陣p轉(zhuǎn)加以修正：將每一元素都乘以“2(i-j)”作為懲罰因子[11]。令

顯然，當i

3.2 教學效果期望值

由本文的2.3部分求出穩(wěn)態(tài)概率向量后，引入教學效果期望概念。

定義3 設(shè)，則

稱為教學效果期望值[12]。其中，Xi為第i等級學生的平均成績。之后，比較不同班級的E(π穩(wěn))的大小，當E(π穩(wěn))較大時，表明該班教師的教學效果較好。

3.3 關(guān)于馬爾科夫模型教學效果評價體系的說明

（1）模型評價體系的條件

該模型評價體系是以學生的期末考試成績作為指標向量，則模型中的最初成績及最終成績均應(yīng)服從正態(tài)分布[13]。

（2）模型評價體系的優(yōu)點及缺點

優(yōu)點：排除了因?qū)W生的學習基礎(chǔ)差異而對教學效果評價造成的不公正影響，也排除了因試卷難度的差異而對教學效果評價造成的不公正影響，較為客觀地反映出教師的教學效果。

缺點：影響學生學習成績的因素比較多且錯綜復(fù)雜，但該模型評價體系只考察了教師的教學效果這一因素對學生學習成績的影響，具有一定的局限性。

4 實例分析

為了較為清晰地闡釋馬爾科夫模型教學效果評價體系的應(yīng)用，引例如下：

2021年9月，南京市某高校運輸管理學院開設(shè)8個班的城市軌道交通運營管理專業(yè)，共計368名學生。我們選取城軌交通2101班（記為甲班，共計46名學生）、城軌交通2102班（記為乙班，共計38名學生）、城軌交通2103班（記為丙班，共計40名學生）和城軌交通2104班（記為丁班，共計42名學生）這4個班級的學生群體在2021～2022學年度《高等數(shù)學》課程的考試成績作為研究對象來考察這4個班級的高等數(shù)學任課教師的教學效果（表1、表2）。

表1 第一學期末《高等數(shù)學》考試成績各等級人數(shù)Table 1 Number of students in each level of Higher Mathematics examination at the end of the first semester

表2 第二學期末《高等數(shù)學》考試成績各等級人數(shù)Table 2 Number of students in each level of Higher Mathematics examination at the end of the second semester

為排除因試卷難度的差異而對教學效果評價造成不公正影響，現(xiàn)處理如下：（1）成績排序 將城市軌道交通運營管理專業(yè)全體8個班級學生第一學期末的《高等數(shù)學》考試成績按照由高到底的順序排列；（2）確定成績等級 將城市軌道交通運營管理專業(yè)全體368名學生第一學期末的《高等數(shù)學》考試成績排名前10%（含10%）視為等級1，排名前10%（不含10%）至排名前32%（含32%）視為等級2，排名前32%（不含32%）至排名前68%（含68%）視為等級3，排名前68%（不含68%）至排名前90%（含90%）視為等級4，排名前90%（不含90%）至排名前100%（含100%）視為等級5，此時各個成績的等級人數(shù)完全服從狀態(tài)分布；（3）確定第一學期末各班的各等級人數(shù) 將第一學期末甲班、乙班、丙班和丁班《高等數(shù)學》考試成績按照步驟（2）的要求來確定各班的等級1～等級5的具體人數(shù)（詳見表1）；（4）確定第二學期末各班的各等級人數(shù) 依照步驟（1）至（3）的順序，確定第二學期末各班的等級1～等級5的具體人數(shù)（詳見表2）；（5）確定轉(zhuǎn)移概率矩陣 依據(jù)步驟（3）和（4），確定甲班、乙班、丙班和丁班《高等數(shù)學》考試成績的各個等級的轉(zhuǎn)移概率矩陣，具體如下：

設(shè)最終甲班的穩(wěn)態(tài)概率向量為π穩(wěn)(甲班) =,由本文的2.3 部分知：π穩(wěn)(甲班)*P轉(zhuǎn)(甲班) =π穩(wěn)(甲班)，即：

同理可得

4.1 基于穩(wěn)態(tài)概率向量的教學效果期望

將等級1至等級5的成績分別取各自等級的中位數(shù)（在全體368名學生中），即：95.21,84.14,78.02,63.22,53.23，參照穩(wěn)態(tài)概率向量，這4個班級的教學效果期望分別為

顯然，丙班的教學效果最好，乙班的教學效果次之，丁班的教學效果再次，甲班的教學效果最差。

4.2 基于懲罰因子的教學效果期望

將原有轉(zhuǎn)移概率矩陣p轉(zhuǎn)的每一元素都乘以懲罰因子“2(i-j)”，則

顯然，丙班的教學效果最好，乙班的教學效果次之，丁班的教學效果再次，甲班的教學效果最差。由上述分析可知，基于穩(wěn)態(tài)概率向量的教學效果期望與基于懲罰因子的教學效果期望的評定結(jié)果相同。

5 結(jié)語

基于馬爾科夫模型的教學效果評價體系是一種立足于動態(tài)的評價體系，更加注重不同成績等級的學生在各個成績等級之間的轉(zhuǎn)移情況，排除了不同學生因?qū)W習基礎(chǔ)的差異以及因試卷難度的差異而對教學效果評價造成的不公正影響。該評價體系比慣常的以學生考試分數(shù)平均分及考試合格率為標準的教學評價模式具有更高的科學性和實用性。