廣東省惠州市教育科學(xué)研究院 (516001) 李曉波

2023 年的高考已落下帷幕,今年的新課標(biāo)Ⅰ卷第17 題題目簡(jiǎn)明而清新,突出考查學(xué)生的三角函數(shù)知識(shí)與數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,要求學(xué)生能深刻理解三角形的本質(zhì),三角形中邊與角的關(guān)系. 它看起來(lái)難度不大,但答題情況并不理想,筆者按自己的解答撰文評(píng)析,并對(duì)此題進(jìn)行了拓展改編,供讀者參考.

題目(2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第17 題)在ΔABC 中,A+B =3C,2 sin(A-C)=sin B.

(1)求sin A;(2)設(shè)AB =5,求AB 邊上的高.

一、試題分析

從試題自身來(lái)看,主要考察了正余弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)值,同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式等. 本試題構(gòu)建了一個(gè)銳角三角形模型,通過(guò)預(yù)設(shè)一些邊角關(guān)系,求線段與角的值.

從思想方法來(lái)看, 主要考察化歸思想與數(shù)形結(jié)合思想.從核心素養(yǎng)來(lái)看,主要考察邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),從關(guān)鍵能力來(lái)看,主要考察了邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.

從命題思路來(lái)看,在第(1)問(wèn)中,命題者通過(guò)構(gòu)建三角形中的2 個(gè)角的關(guān)系,需要解題者利用三角形內(nèi)角和這一隱形條件, 也是考查三角形的本質(zhì), 解出一個(gè)角C, 再構(gòu)建一個(gè)2 sin(A-C) = sin B,即三個(gè)角的三角函數(shù)關(guān)系,考查學(xué)生化歸的能力,通過(guò)公式和∠C 的值,最終把三個(gè)角關(guān)系,化為一個(gè)角的三角函數(shù),即求解sin A 的值.為

第(2)問(wèn)中,命題者通過(guò)構(gòu)建一個(gè)面積是確定的三角形,來(lái)求一邊上的高. 學(xué)生需要利用第(1)問(wèn)的結(jié)論,即角的值,結(jié)合第(2)問(wèn)條件AB的值,通過(guò)正弦定理或余弦定理,確定三角形的邊,從而求出AB邊上的高,當(dāng)然也可以用等面積法來(lái)求高.

還可以看出,命題者為了降低難度,構(gòu)建了一個(gè)銳角三角形,減少了學(xué)生分類(lèi)的困難.

二、解法分析

首先,考慮第(1)問(wèn)的4 種解法.

圖1

圖2

三、試題的改編

原題的模型是一個(gè)靜態(tài)的問(wèn)題,只涉及三角形的內(nèi)部特征,筆者嘗試在不改變?cè)紬l件的情況下,把靜態(tài)問(wèn)題變成動(dòng)態(tài)問(wèn)題,由三角形內(nèi)部擴(kuò)展到外部.

改編題已知在ΔABC中,A+B= 3C,2 sin(A-C) =sinB.

(1)求sinA;

圖3

(2)設(shè)AB=5,若D為三角形ABC的外接圓上的一點(diǎn),且點(diǎn)D在劣弧AC上,求SΔACD

解法2(幾何法)記ΔABC的外接圓圓心為O.

如圖4,作OM⊥AC,則M為AC的中點(diǎn), 延長(zhǎng)OM至與交于E, 當(dāng)D與E重合,SΔACD的面積最大, 2R=此時(shí)則

圖4

評(píng)析此改編方式把一個(gè)靜態(tài)的三角形變成了一個(gè)動(dòng)態(tài)的三角形,由只分析三角形內(nèi)部到三角形外部.