胡連成 (江蘇省豐縣梁寨鎮(zhèn)梁寨初級中學(xué) 221700)

1 基本情況

1.1 授課對象

施教對象為蘇北農(nóng)村初中七年級學(xué)生,學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般,具備一定的探究思考、交流合作的能力．

1.2 教材分析

本節(jié)課是蘇科版教科書七年級上冊“2.7有理數(shù)的乘方”第2課時(shí)內(nèi)容,這是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過有理數(shù)加、減、乘、除、乘方的內(nèi)容之后,安排的一節(jié)與現(xiàn)實(shí)生活中大數(shù)處理相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容．一方面讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)生活中客觀存在著各種大數(shù),另一方面揭示人們對大數(shù)讀寫時(shí)存在諸多困難,啟發(fā)學(xué)生思考簡便的表示方法．由于教科書中關(guān)于本課內(nèi)容僅限于用科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù),沒有體現(xiàn)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于10的負(fù)數(shù)內(nèi)容;而在七年級下冊“8.3 同底數(shù)冪的除法”第3課時(shí)(內(nèi)容為用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的數(shù))“練一練”環(huán)節(jié)出現(xiàn)了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的負(fù)數(shù)的習(xí)題．為體現(xiàn)科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的便利性、統(tǒng)一性和知識結(jié)構(gòu)、方法體系的完整性,本課對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了重組設(shè)計(jì),共分為三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié):(1)用科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù);(2)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于10的負(fù)數(shù);(3)思考小于1的數(shù)如何簡便表示．其目的在于通過系列問題思考,讓學(xué)生能從中體會相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和思考問題的一般策略,發(fā)展理性思維．

教學(xué)目標(biāo) (1)體會科學(xué)記數(shù)法的簡便性和必要性,能用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于10的數(shù),感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系;(2)能將一個(gè)科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原,在互逆的數(shù)字轉(zhuǎn)化中建立基于自我理解的知識結(jié)構(gòu)和方法體系,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),體會轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．

教學(xué)重點(diǎn) 會用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)．

教學(xué)難點(diǎn) 歸納基于自我理解的科學(xué)記數(shù)法中冪的指數(shù)與原數(shù)的內(nèi)部關(guān)聯(lián)．

教學(xué)策略 一方面通過現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)據(jù)引入,讓學(xué)生體會到大數(shù)存在的普遍性和用簡便方法表示的必要性;另一方面在從特殊到一般的問題思考中,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察猜想、探索驗(yàn)證、合作交流的過程,從中發(fā)展用數(shù)學(xué)的思維思考問題的意識．

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,引發(fā)思考

問題1(比一比)請比較下列兩組數(shù)的大小:

(1) 1.01,1,0.99;(2) 1.01365,1365,0.99365．

師:請說出第二組各數(shù)表示的含義,你認(rèn)為它們的結(jié)果差別大嗎?

生1:這三個(gè)數(shù)分別表示365個(gè)1.01相乘,365個(gè)1相乘,365個(gè)0.99相乘．因?yàn)?.01,1和0.99相差不大,我想這三個(gè)數(shù)的值也應(yīng)該相差不大．

師:實(shí)際上,1.01365≈37.78,1365=1,0.99365≈0.026,其差距是巨大的,對于問題我們既要大膽猜想,更須小心驗(yàn)證．?dāng)?shù)據(jù)比較告訴我們一個(gè)道理:積跬步以至千里,積懈怠以至深淵．每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn),一年后你進(jìn)步驚人;每天原地踏步走,一年后你還在原地;每天退步一點(diǎn)點(diǎn),一年后你退步很多．希望我們每節(jié)課都能有所收獲,每天都能前進(jìn)一步,堅(jiān)持下去,你會發(fā)現(xiàn)一個(gè)嶄新的自我．

問題2(讀一讀)世界上最大的海洋是太平洋,面積約是181 344 000 km2,世界上國土面積最大的國家是俄羅斯,面積約是17 098 200 km2．

讓學(xué)生讀出這段文字,出現(xiàn)了對數(shù)字“閱讀困難”甚至“讀不準(zhǔn)確”等情況．

師:生活中我們經(jīng)常遇到一些比較大的數(shù),像這樣的數(shù)據(jù),書寫和閱讀都有一定困難,有沒有比較簡便的方法呢?

教學(xué)分析考慮學(xué)生基礎(chǔ)一般,所以本節(jié)課設(shè)置了兩個(gè)情境．首先從猜測三個(gè)數(shù)的大小差異入手,一方面復(fù)習(xí)乘方的概念,另一方面通過對猜測結(jié)果的驗(yàn)證,達(dá)成對學(xué)生進(jìn)行方法指導(dǎo)和思想教育的目的,激勵學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和毅力．隨后,通過學(xué)生在讀出較大數(shù)據(jù)時(shí)出現(xiàn)的問題,直觀感知較大數(shù)存在著書寫和閱讀的困難,從而引發(fā)思考“是否有簡便的方法可以表示較大的數(shù)”,發(fā)展學(xué)生的問題意識,引領(lǐng)后續(xù)探究．

2.2 關(guān)聯(lián)舊知,特殊化探索

問題3(想一想)我們遇到新問題時(shí),常常退一步,從特殊情況開始探索．請思考下列數(shù)是否可以寫出較簡便的形式:1 000,10 000,100 000 000,10 000 000 000．

師:同一個(gè)數(shù)有了兩種不同的表示方法,你能發(fā)現(xiàn)冪指數(shù)的確定規(guī)律嗎?

生3:冪指數(shù)等于原數(shù)字的整數(shù)位數(shù)減1,也可表述為冪指數(shù)與原數(shù)字中0的個(gè)數(shù)相同．

師:你能說出其中的道理嗎?

生4:因?yàn)檫@些數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為10與10相乘的形式,所以可以寫成底數(shù)為10的冪的形式,冪的指數(shù)就是10的個(gè)數(shù),故可以解釋上面的兩種結(jié)論．

生5:是否所有的較大的數(shù)都可以寫成類似的簡便表示形式?

教學(xué)分析通過特殊化思考過程,在思考此類數(shù)字轉(zhuǎn)化為10n的過程中,引導(dǎo)學(xué)生主動分析其中蘊(yùn)含的數(shù)字規(guī)律,感受用冪的形式表示數(shù)的便利性,并通過自己的語言表達(dá)和說理的思維外顯過程,發(fā)展學(xué)生的歸納意識和有序表達(dá)的能力,為下一步用科學(xué)記數(shù)法表示一般大數(shù)積累活動經(jīng)驗(yàn)和知識儲備．

2.3 形成新知,一般化歸納

問題4(試一試)請把下列各數(shù)也寫成底數(shù)為10的冪的形式:30 000,32 000,302 000 000．

在我國的部分地區(qū)，開展的民俗旅游，都出現(xiàn)了同質(zhì)化現(xiàn)象，而造成這一現(xiàn)象的主要原因，則是開發(fā)者過度重視經(jīng)濟(jì)利益，而紛紛效仿別的地區(qū)的開發(fā)模式，并且將本地區(qū)原有的民俗文化活動摒棄，造成了本地區(qū)民俗文化的失真，而原本引進(jìn)過來的民俗文化，又因與當(dāng)?shù)貧v史背景不符，從而產(chǎn)生了徒有其形的旅游項(xiàng)目，讓慕名而來的旅者大失所望，影響了業(yè)界的口碑。

生6:30 000=3×10 000=3×104,32 000=32×1 000=32×103,302 000 000=302× 1000 000=302×106．

生7:我認(rèn)為應(yīng)該這樣寫,32 000=3.2× 10 000=3.2×104,302 000 000=3.02×100 000 000=3.02×108．這樣把較大的數(shù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為整數(shù)位數(shù)只有一位的形式較好,否則如1 234 567 890寫成123 456 789×101的形式,還是起不到簡便讀寫的目的．

師:同學(xué)們分析得很好,為了方便表示較大的數(shù),一般地,我們可以把大于10的數(shù)寫成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整數(shù),這種記數(shù)方法稱為科學(xué)記數(shù)法．請同學(xué)們思考,冪的指數(shù)n值的確定有什么規(guī)律?

生8:“冪指數(shù)與原數(shù)字中0的個(gè)數(shù)相同”的規(guī)律在這里就不符合,較大的數(shù)都可以寫出a×10…的形式,后面有幾個(gè)0就代表有幾個(gè)10相乘,冪的指數(shù)就等于幾,但原數(shù)中0的個(gè)數(shù)與指數(shù)間不存在這種數(shù)量關(guān)聯(lián),而“冪的指數(shù)等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1”的結(jié)論仍然成立．

問題5(練一練)請把下列各數(shù)寫成科學(xué)記數(shù)法的形式．(1)中國最長的河流是長江,長度約是6 397 km;世界最長的河流是尼羅河,長度約是6 670 km．(2)中國最大的湖是青海湖,面積約為4 625 km2;世界最大的湖是里海,面積約為386 400 km2．

教學(xué)分析借助對問題4的思考,實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的思維發(fā)展過程,通過把數(shù)字寫“a×10…”的形式,把新問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題．再通過進(jìn)一步追問,讓學(xué)生思考科學(xué)記數(shù)法中冪指數(shù)的確定規(guī)律,并解釋其合理性,完成知識的意義建構(gòu)．“問題5”是學(xué)以致用環(huán)節(jié),在鞏固知識的同時(shí),進(jìn)一步感知科學(xué)記數(shù)法的優(yōu)點(diǎn),體會數(shù)學(xué)源于生活而服務(wù)于生活、從問題中來到問題中去的旨?xì)w．

2.4 逆向思考,關(guān)聯(lián)知識

問題6(逆向思考)下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù),原來各是怎樣的數(shù)?(1) 2×102;(2) 9.5×105;(3) 2.01×106;(4) 5.201 3×103．

生9:2×102=2×100=200,…．

師:我們前面發(fā)現(xiàn)的冪指數(shù)與原數(shù)位數(shù)的關(guān)系是否仍然成立?你是否還有新的發(fā)現(xiàn)?

生10:前面我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論仍然成立,我還發(fā)現(xiàn)科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)和原數(shù)在互相轉(zhuǎn)化時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)和指數(shù)的值是相同的．

師:你能解釋其中的原因嗎?

生11:因?yàn)樗鼈冊谵D(zhuǎn)化過程中都需要轉(zhuǎn)化為“a×10…”的形式,較大數(shù)寫成科學(xué)記數(shù)法時(shí)小數(shù)點(diǎn)向左移動,反之向右移動,因?yàn)樾?shù)點(diǎn)移動的位數(shù)等于“10…”中“0”的個(gè)數(shù),所以小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)和冪指數(shù)的值是相同的．

師:這兩種方法源自對同一問題的不同觀察視角,結(jié)論都是正確的．我們平時(shí)學(xué)習(xí)就要善于從不同的角度發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律,并思考它們背后的數(shù)學(xué)道理．

教學(xué)分析通過從科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原為原數(shù)的過程,實(shí)現(xiàn)對問題的逆向思考,在正逆雙向運(yùn)用中進(jìn)一步總結(jié)冪指數(shù)與原數(shù)的內(nèi)部關(guān)聯(lián),并鼓勵學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上用自己的語言表達(dá)出來,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的歸納意識和有序的理性表達(dá)．

2.5 方法運(yùn)用,拓展提升

問題7(拓展運(yùn)用)(1)你能用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)嗎?世界上最深的海溝是馬里亞納海溝,海拔約為-11 034 m;中國海拔最低的地方是吐魯番盆地,海拔約為-154.3 m．(2)-5.2×105=．

生12:可以類比前面的方法,-11 034= -1.103 4×10 000=-1.103 4×104,….

師:前面我們總結(jié)的冪指數(shù)確定的規(guī)律是否還成立?科學(xué)記數(shù)法應(yīng)如何表述更合理?

生13:相關(guān)規(guī)律仍然成立,科學(xué)記數(shù)法應(yīng) 這樣表述,一般地,可以把絕對值大于10的數(shù)寫成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n是正整數(shù)．

教學(xué)分析考慮到學(xué)生思維方法的類比運(yùn)用和知識體系的完整建構(gòu),教學(xué)中進(jìn)行了知識重組拓展,引領(lǐng)學(xué)生類比前面的方法策略探索用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的負(fù)數(shù)的問題．并結(jié)合拓展內(nèi)容思考如何合理表述科學(xué)記數(shù)法的概念,完成知識體系的意義建構(gòu)．

2.6 鞏固練習(xí),解決問題

略.

2.7 反思建構(gòu),遷移運(yùn)用

師:請回顧本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識?我們是如何探索這些新知的?

生略．

師:你還遇到過哪些讀寫不便的數(shù)?你有什么想法嗎?

生14:一些絕對值較小的數(shù)也同樣存在難以讀寫的問題,如“新冠病毒的直徑平均約為100納米,即0.000 000 1 m”,我想,是否也可以用科學(xué)記數(shù)法的方式進(jìn)行簡便表示?

師:在現(xiàn)實(shí)生活中我們也會遇到絕對值較小的數(shù),它們是否也能用科學(xué)記數(shù)法的形式進(jìn)行簡便表示?請同學(xué)們類比今天思考問題的策略方法課后探索．

教學(xué)分析通過對探索過程的回顧與反思,使學(xué)生在鞏固知識的同時(shí),體會解決問題的一般策略(圖1),并結(jié)合生活中遇到的絕對值較小的數(shù),思考如何簡便表示.雖然學(xué)生解決此問題尚有困難,但這種問題意識養(yǎng)成和對解決問題的一般策略的思考,是教學(xué)中應(yīng)關(guān)注的重點(diǎn)．

圖1

3 教學(xué)反思

3.1 基于學(xué)情,關(guān)注思維的教學(xué)定位

有效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要準(zhǔn)確的教學(xué)定位,明確一節(jié)課教什么、為什么教、怎么教、教到什么程度等問題．這就需要基于學(xué)情分析,關(guān)注思維發(fā)展的教學(xué)定位.首先,要了解學(xué)生“已學(xué)習(xí)了什么”“平時(shí)是如何學(xué)習(xí)的”等知識基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)心理,并從整體系統(tǒng)觀的角度解讀教材內(nèi)容,明確相關(guān)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài),做到“知己知彼”．其次,數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識方法掌握,更要思考在問題解決中對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟,重視通過知識的學(xué)習(xí)體會數(shù)學(xué)地思考問題的策略．評價(jià)一節(jié)課的標(biāo)準(zhǔn)之一就是能否引發(fā)學(xué)生的思維共鳴,注重在經(jīng)歷“數(shù)學(xué)地思考問題”的過程中發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維,養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì),從而發(fā)展理性思維．最后,要思考怎么教、教到什么程度的問題,通過何種方式可以實(shí)現(xiàn)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)的順利轉(zhuǎn)化,并從中發(fā)展學(xué)生的理性思維．基于“情境—問題—思維”視角的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一種實(shí)踐途徑,正如本節(jié)課,教學(xué)從真實(shí)情境入手,在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)發(fā)展問題意識,通過問題鏈教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生深度探索．借助特殊化思考和一般化歸納,在方法的運(yùn)用、遷移、拓展中,從對問題的思考升華到數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟、從孤立到聯(lián)系、從簡單到深刻,達(dá)成問題引領(lǐng)下的思維發(fā)展,實(shí)現(xiàn)基于學(xué)情、關(guān)注思維的“低起點(diǎn)、高立意”的數(shù)學(xué)教學(xué)．

3.2 面向問題生成的情境設(shè)計(jì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出了能引發(fā)學(xué)生思考的三條教學(xué)建議,其一就是要“強(qiáng)化情境設(shè)計(jì)與問題提出”,即注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境,在情境中引導(dǎo)學(xué)生主動提出能引發(fā)思考的數(shù)學(xué)問題,通過數(shù)學(xué)地觀察、思考和表達(dá)的過程,體會數(shù)學(xué)是認(rèn)識、理解、闡述現(xiàn)實(shí)世界的工具．情境設(shè)計(jì)合適與否,取決于情境所形成的問題能否激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)部動機(jī)、指向數(shù)學(xué)本質(zhì)、引領(lǐng)思維發(fā)展．要實(shí)現(xiàn)這一目的,情境設(shè)計(jì)需要遵循如下要求:(1)情境設(shè)計(jì)的前提是了解學(xué)生學(xué)情,明確學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū),進(jìn)行準(zhǔn)確的教學(xué)定位;(2)情境設(shè)計(jì)的目的是通過提供中等難度的真實(shí)情境,學(xué)生用已有的知識方法無法順利解讀情境中的信息時(shí),產(chǎn)生思維困境和認(rèn)知沖突,從而生成數(shù)學(xué)問題,在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)實(shí)現(xiàn)思維的定向;(3)情境的設(shè)計(jì)還要體現(xiàn)思想性和趣味性的融合,在注重情境思維內(nèi)涵的同時(shí)兼顧“真、趣、美、簡”[1]的特點(diǎn),力求實(shí)現(xiàn)問題與思維相融、形式與內(nèi)涵統(tǒng)一．

3.3 指向思維發(fā)展的問題鏈教學(xué)

指向思維發(fā)展的問題鏈教學(xué)首先要讓學(xué)生的思維聚焦到核心問題上.核心問題是一節(jié)課的“課眼”,它指向情境問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),整合課堂教學(xué)的重難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn),并由此生成整節(jié)課(單元)的教學(xué)探索活動,具有統(tǒng)領(lǐng)性、生成性、建構(gòu)性的特點(diǎn)．教學(xué)中通過情境的謀勢,引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突,形成需要解決的問題,教師順勢而為,從中抽取出核心數(shù)學(xué)問題,引領(lǐng)后續(xù)探究．如本課中通過展現(xiàn)生活中的較大數(shù)據(jù),學(xué)生發(fā)現(xiàn)存在讀寫困難時(shí),自然就形成了“能否尋找一種較為簡便的表示較大數(shù)的方法”的核心問題．其次,指向思維發(fā)展的問題鏈教學(xué)要在基于核心問題的前提下,通過遞進(jìn)、變式、類比、引申、逆變等方式,形成具有邏輯關(guān)聯(lián)和開放度、生長性的問題鏈,實(shí)現(xiàn)問題的深度探究．問題鏈?zhǔn)且院诵膯栴}為定位,以數(shù)學(xué)思維為指導(dǎo),指向數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部關(guān)聯(lián),體現(xiàn)一定數(shù)學(xué)思想方法的序列問題串．問題鏈可分為以下四種類型:數(shù)學(xué)一般化思維指導(dǎo)下的問題歸納鏈、數(shù)學(xué)類比思維指導(dǎo)下的問題類比鏈、數(shù)學(xué)演繹思維指導(dǎo)下的問題演繹鏈和數(shù)學(xué)逆向思維引領(lǐng)下的問題逆向鏈．具體教學(xué)中,常常是多種類型的問題鏈相互融合,共同引領(lǐng)問題探索．如本節(jié)課的問題鏈教學(xué),既有從特殊到一般的問題歸納鏈,也有從“較大正數(shù)”到“絕對值較大的負(fù)數(shù)”再到“較小數(shù)”的方法類比鏈．最后,指向思維發(fā)展的問題鏈教學(xué)要注重學(xué)生的積極思考和主動建構(gòu),在經(jīng)歷“思維定向、思維內(nèi)化和思維外顯”[2]的過程中,重視對探究過程的審視與回顧,在反思中形成思維的自覺(圖2),實(shí)現(xiàn)由具體數(shù)學(xué)知識方法的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向一般性思維策略的學(xué)習(xí),經(jīng)歷“數(shù)學(xué)地思維”,達(dá)成“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”的目的[3]．

圖2