江蘇省南京市秦淮區(qū)第一中心小學(xué) 李玉榮

六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)的總復(fù)習(xí)，是對(duì)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作全面的梳理、反饋、提高，既是對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的檢驗(yàn)與總結(jié)，又是對(duì)教與學(xué)不足的進(jìn)一步彌補(bǔ)，還是對(duì)今后學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的鋪墊、夯實(shí)，有著重要的意義。

“數(shù)的運(yùn)算”是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域板塊之一，既是重點(diǎn)，也是部分學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。這里“數(shù)”的領(lǐng)域主要是指整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)?！皵?shù)的運(yùn)算”也常在平時(shí)的練習(xí)與檢測(cè)中困惑著學(xué)生、教師和家長(zhǎng)：時(shí)而出錯(cuò)、達(dá)成率不高；又常被視作“輕微”的小問(wèn)題忽略，僥幸寄希望于下次計(jì)算中“注意或細(xì)心”。然而，這看似算不上的“問(wèn)題”，并非通過(guò)一兩次“點(diǎn)撥”或“注意”即可杜絕的，即便引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)錯(cuò)題的積累、歸類(lèi)、反饋，也常常難以百分百達(dá)成。

在教與學(xué)的實(shí)踐探究中，教師可從以下幾個(gè)方面關(guān)注、嘗試、引領(lǐng)學(xué)生自主梳理，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)“數(shù)的運(yùn)算”的建構(gòu)、深化。

一、數(shù)的意義

數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象。整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都與生活密切相關(guān)，從生活角度、實(shí)際情境中感悟并理解其意義，易產(chǎn)生興趣、加深印象。

整數(shù)是用來(lái)表示物體具體數(shù)量的，如0、1、2等，這樣的數(shù)屬于整數(shù)。當(dāng)整數(shù)不能表示事物的數(shù)量時(shí)，我們需要用小數(shù)來(lái)表示。如把某物體平均分成10份，取這樣的7份表示0.7，這樣的一位小數(shù)也表示一個(gè)數(shù)的十分之幾；把某物體平均分成100份，取這樣的17份表示0.17，這樣的兩位小數(shù)也表示一個(gè)數(shù)的百分之幾；以此類(lèi)推，小數(shù)的意義就不難理解了。

在小數(shù)的基礎(chǔ)上，我們也可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示事物的數(shù)量。如把1塊圓形蛋糕平均分給3個(gè)小朋友，1個(gè)小朋友分得的量，需要用分?jǐn)?shù)表示，即把單位“1”（整數(shù)“1”、1個(gè)物體、1個(gè)長(zhǎng)度、1個(gè)整體等的統(tǒng)稱(chēng)）平均分成若干份（不一定是10、100份），表示這樣的一份或幾份的數(shù)即為分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)可以看作小數(shù)解決問(wèn)題的補(bǔ)充與延伸，尤其解決了平均分中除不盡的問(wèn)題。學(xué)生可以結(jié)合具體情境感悟分?jǐn)?shù)。然而，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)三者并非獨(dú)立存在，而是有一定關(guān)聯(lián)，還可以相互轉(zhuǎn)化，如3=3.0=。

二、算的意義

算的重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法。先從“四則運(yùn)算”來(lái)看，即加法、減法、乘法、除法，即整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四種運(yùn)算。通常，減法可以視作加法的逆運(yùn)算，除法可以視作乘法的逆運(yùn)算。

加法意義是運(yùn)算的起點(diǎn)，將兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)或數(shù)量合并成一個(gè)數(shù)或數(shù)量的運(yùn)算。

既然減法為加法的逆運(yùn)算，就不難推出減法的意義，即已知兩個(gè)數(shù)或數(shù)量的和與其中一個(gè)加數(shù)（或數(shù)量），求另一個(gè)加數(shù)（或數(shù)量）的運(yùn)算。

乘法的意義中，整數(shù)乘法關(guān)聯(lián)著加法，表示相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，如“8×5”可以表示5個(gè)8相加或8個(gè)5相加。小數(shù)乘法是求一個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾，或幾倍是多少，如“5×0.4”或“5×1.4”。分?jǐn)?shù)乘法中，分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘（如）表示求幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算；一個(gè)數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘（如均可以表述：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。

根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的除法意義均可以表述：已知2個(gè)數(shù)積與其中1個(gè)因數(shù)，求另1個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，也可以根據(jù)不同問(wèn)題情境具體理解、闡述。

明確“算”的意義，可以幫助我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)，提供列式的依據(jù)。如求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，可以列式“一個(gè)數(shù)”ד幾分之幾”進(jìn)行解答；也為解方程、解比例時(shí)，提供了數(shù)量關(guān)系的依據(jù)。如可以把25%x看作減數(shù)，根據(jù)“減數(shù)=被減數(shù)- 差”進(jìn)行解方程；再如

三、算的方法

（一）一步計(jì)算

一步計(jì)算（豎式計(jì)算）是運(yùn)算基礎(chǔ)，關(guān)聯(lián)著兩、三步計(jì)算的達(dá)成率，十分重要！

首先，整、小數(shù)加、減法豎式計(jì)算中，要數(shù)位對(duì)齊（小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊），即計(jì)數(shù)單位相同時(shí)才能加減：從個(gè)位算起、滿十進(jìn)一（退一當(dāng)十）?！皩?duì)齊”還要體現(xiàn)于計(jì)算中步驟、結(jié)果的呈現(xiàn)，書(shū)寫(xiě)規(guī)范、工整之美關(guān)乎正確率。

其次，分?jǐn)?shù)加、減算法中，理解、轉(zhuǎn)化使分母相同，即分?jǐn)?shù)單位相同，再進(jìn)行計(jì)算；即需要把分母不同（異分母）利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)通分成分母相同，才能計(jì)算。

乘法中，整數(shù)乘法的每一步算理，將是小數(shù)乘法的基礎(chǔ)。豎式中，通常數(shù)位多的寫(xiě)首行，數(shù)位少的寫(xiě)第二行，末尾對(duì)齊（末尾有0可以先讓非0的數(shù)對(duì)齊，最后在積的末尾補(bǔ)上同個(gè)數(shù)0），從第二行數(shù)的個(gè)位起依次乘第一行從低位到高位的數(shù)，積寫(xiě)在第二行所乘數(shù)位的下方，最后將乘的積相加，須弄清每一步相乘所得積的含義。

小數(shù)乘法，根據(jù)積的變化規(guī)律，遷移成整數(shù)乘法，不難掌握。分?jǐn)?shù)乘法都可以統(tǒng)一為“分?jǐn)?shù)×分?jǐn)?shù)”的方法進(jìn)行計(jì)算。

除法中以整數(shù)除法為基礎(chǔ)、重點(diǎn)。步驟要點(diǎn)：①?gòu)母呶凰闫?，有余?shù)可以與低一位的數(shù)組合繼續(xù)除；②除到哪一位，商就寫(xiě)在那一位上面（表示有多少個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位）。

小數(shù)除法可以遷移為整數(shù)除法：其一，除數(shù)是整數(shù)，按照整數(shù)除法計(jì)算，商的小數(shù)點(diǎn)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；其二，除數(shù)是小數(shù)，利用商不變性質(zhì)，把除數(shù)變成整數(shù)（被除數(shù)需要同時(shí)變）再計(jì)算。如“19.8÷12”與“19.8÷1.2”，學(xué)生可以在豎式計(jì)算的過(guò)程中，體會(huì)其算理及算法。

只要把握好加法、減法、乘法、除法中各自的法則及對(duì)其能進(jìn)行有效遷移，算的方法就不難駕馭了。

（二）多步計(jì)算

一般包含：同級(jí)及連算、同級(jí)及混算、不同級(jí)混算（含四則混合運(yùn)算）。

整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)同級(jí)及連算或混算，均要按從左到右、依次計(jì)算。但分?jǐn)?shù)的連加、連減、加減混合，需要先統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位（通分），再計(jì)算；分?jǐn)?shù)連乘、連除或乘除混合，通常把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再約分，一次性計(jì)算（分子相乘作分子、分母相乘作分母）。這里需要強(qiáng)調(diào)“依次”與“一次”計(jì)算的不同，“一次性計(jì)算”只用于分?jǐn)?shù)乘除混合時(shí)，把除以一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)后，能約分的，先約分再計(jì)算。如

整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)不同級(jí)混算及四則混合運(yùn)算，順序易得：①先進(jìn)行乘除運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算；②有括號(hào)先算括號(hào)里的；③同一級(jí)的運(yùn)算，從左到右、依次計(jì)算。實(shí)踐易錯(cuò)，需要遞等步驟，準(zhǔn)確、規(guī)范呈現(xiàn)運(yùn)算順序，不要過(guò)多或過(guò)少。這里的“多”與“少”的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，需要教師引導(dǎo)及示范，通常遞等依次呈現(xiàn)：先算的那一步或同時(shí)計(jì)算的那兩步結(jié)果，其他步驟不變遞下來(lái)，也就是過(guò)程呈現(xiàn)與運(yùn)算的順序能對(duì)應(yīng)、同步。

（三）簡(jiǎn)便計(jì)算

根據(jù)教材及延展，簡(jiǎn)算類(lèi)型可歸納為“2 3 2”，即加法的交換律、結(jié)合律；乘法的交換律、結(jié)合律、分配律；減法性質(zhì)：“連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)”等于“減去兩個(gè)數(shù)的和”，“減兩個(gè)數(shù)的差”等于“先減第一個(gè)數(shù)再加第二個(gè)數(shù)”。如37.56-（12-2.44）=37.56-12+2.44=37.56+2.44-12=40-12=28；除法性質(zhì)：“連續(xù)除以?xún)蓚€(gè)數(shù)”等于“除以?xún)蓚€(gè)數(shù)的積”，“除以?xún)蓚€(gè)數(shù)的商”等于“先除以第一個(gè)數(shù)，再乘第二個(gè)數(shù)”。如12.5÷（20÷8）=12.5÷20×8=12.5×8÷20=100÷20=5。學(xué)生不僅要知道其分類(lèi)，還要知道其各類(lèi)型的含義，且能舉實(shí)例感悟其簡(jiǎn)便。

運(yùn)算定律運(yùn)用目的是讓計(jì)算變得簡(jiǎn)便，盡可能湊整或轉(zhuǎn)化成較小的數(shù)，不可以為了“簡(jiǎn)便”繞彎子，反而增加出現(xiàn)錯(cuò)誤的可能性。學(xué)生要學(xué)會(huì)觀察算式與運(yùn)算定律的互逆關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)特征。相對(duì)困難的運(yùn)算除了乘法分配律及“減法與除法”的兩個(gè)性質(zhì)，還有“變式”方面的簡(jiǎn)算。如，整數(shù)與分母相近（相差1），學(xué)生可以利用乘法分配律將整數(shù)轉(zhuǎn)化為“分母-1”或“分母+1”進(jìn)行簡(jiǎn)算；再如“0.13÷0.25”，可以根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)“×4”，將除數(shù)轉(zhuǎn)化成1使計(jì)算簡(jiǎn)便。

四、算的誤區(qū)

首先，想要實(shí)現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算較高的達(dá)成率，離不開(kāi)基礎(chǔ)運(yùn)算的理解與達(dá)成，離不開(kāi)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如書(shū)寫(xiě)、表達(dá)、草稿等。若能規(guī)范，我們會(huì)從中受益，也能避免計(jì)算過(guò)程中看錯(cuò)、算錯(cuò)的現(xiàn)象發(fā)生。

其次，平時(shí)的運(yùn)算積累，學(xué)生需要積累不同題型、算法，自主歸納、建構(gòu)，讓自己的運(yùn)算能力不斷進(jìn)階。如“17-4.8+5.2”區(qū)別于“17-（4.8+5.2）”；再如，如果理解透徹、方法得當(dāng)，我們就不會(huì)盲目地“=1”；再如，通過(guò)細(xì)致觀察與分析，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法，相等兩種數(shù)轉(zhuǎn)化成同一種數(shù)，簡(jiǎn)便計(jì)算不再困難。

總之，計(jì)算是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在基本知識(shí)、基本方法建構(gòu)的基礎(chǔ)上，沒(méi)有那么難與可怕。在教的方面，教師可以引導(dǎo)、幫助學(xué)生樹(shù)立信心，運(yùn)用梳理的計(jì)算知識(shí)、方法在平時(shí)的學(xué)習(xí)中適當(dāng)練習(xí)、檢驗(yàn)；在學(xué)的方面，學(xué)生可以通過(guò)平時(shí)的計(jì)算練習(xí)對(duì)梳理的知識(shí)及要點(diǎn)進(jìn)行歸納、建構(gòu)、固化，以實(shí)現(xiàn)計(jì)算百分百達(dá)成。