■江蘇省靖江市斜橋中學(xué) 周琳娟

柯西不等式是不等式選講部分中的重要不等式之一,是該選修部分的主要內(nèi)容之一,也是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的重要考點(diǎn)與熱點(diǎn)之一,題目創(chuàng)新新穎,?？汲Ｐ?形式多樣,變化多端。在高考數(shù)學(xué)試卷中,經(jīng)常借助柯西不等式來求解相關(guān)代數(shù)式的最值問題,以及對應(yīng)不等式的證明問題等。

一、最值求解問題

應(yīng)用柯西不等式求解最值問題時(shí),其關(guān)鍵是構(gòu)建條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,通過合理的恒等變形與配湊轉(zhuǎn)化,使之符合柯西不等式的結(jié)構(gòu),利用柯西不等式來轉(zhuǎn)化所求的代數(shù)關(guān)系式,聯(lián)系條件來確定對應(yīng)的最值問題。

例1已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|。

(1)求不等式f(x)≥3的解集;

(2)記函數(shù)f(x)的最小值為m,若a,b,c均為正實(shí)數(shù),且,求a2+b2+c2的最小值。

分析：根據(jù)絕對值不等式得出函數(shù)f(x)的分段函數(shù)表達(dá)式。(1)根據(jù)分段函數(shù)進(jìn)行分類討論就能求出不等式f(x)≥3的解集;(2)利用分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定f(x)的最小值,進(jìn)而確定參數(shù)m的值,即得到對應(yīng)關(guān)系式,利用柯西不等式的轉(zhuǎn)化來確定相關(guān)代數(shù)式的最小值。

點(diǎn)評:涉及代數(shù)式的最值求解問題,關(guān)鍵是合理構(gòu)建已知條件與所求代數(shù)式之間的聯(lián)系,合理配湊符合柯西不等式應(yīng)用的結(jié)構(gòu)特征,從系數(shù)、參數(shù)等不同視角加以合理變形與轉(zhuǎn)化,進(jìn)而利用柯西不等式來確定相關(guān)代數(shù)式的最值問題。

二、不等式證明問題

應(yīng)用柯西不等式來證明不等式問題時(shí),其關(guān)鍵是恰當(dāng)變形,化為符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式,當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí),就可應(yīng)用柯西不等式對這個(gè)式子進(jìn)行縮小或放大,從而證得對應(yīng)的不等式成立。

例2(創(chuàng)新題)已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1。求證:

分析：(1)結(jié)合所要證明的不等式,引入一次線性關(guān)系式進(jìn)行配湊,利用柯西不等式加以轉(zhuǎn)化,并利用不等式的性質(zhì)與恒等變形來證明對應(yīng)的不等式成立;(2)通過巧妙引入(x2+y2+z2)2,利用柯西不等式的轉(zhuǎn)化,并結(jié)合基本不等式的應(yīng)用加以綜合,進(jìn)而合理巧妙證明對應(yīng)的不等式成立。

點(diǎn)評:涉及不等式的證明問題,關(guān)鍵是厘清不等式兩邊的關(guān)系,認(rèn)清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征,以及所要證明不等式的適當(dāng)變形與轉(zhuǎn)化,借助常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等形式,合理配湊運(yùn)用柯西不等式的條件,進(jìn)而加以合理證明不等式成立。

三、綜合應(yīng)用問題

應(yīng)用柯西不等式來解決一些綜合應(yīng)用問題時(shí),涉及最值求解、不等式證明,以及多個(gè)知識點(diǎn)之間的交匯與融合等,其關(guān)鍵還是厘清柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征及所要求解問題之間的聯(lián)系,合理轉(zhuǎn)化,巧妙配湊。

(1)求m的值;

(2)對于任意的x∈D,求證:f(x)≤g(a,b,c)。

分析：(1)先求出函數(shù)的定義域,借助柯西不等式進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化,確定函數(shù)的最大值,進(jìn)而得以確定參數(shù)m的值;(2)借助換元處理,令b+c=x,c+a=y,a+b=z,將函數(shù)g(a,b,c)加以恒等變形與轉(zhuǎn)化,利用基本不等式確定對應(yīng)的最小值,并結(jié)合f(x)的最大值,得以證明對應(yīng)的不等式成立。

點(diǎn)評:涉及綜合應(yīng)用問題,同樣是適當(dāng)改變一些相關(guān)條件中的多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)構(gòu)特征,對比柯西不等式的應(yīng)用形式進(jìn)行適當(dāng)放縮與變形處理,并會(huì)結(jié)合條件進(jìn)行必要的恒等變形與巧妙轉(zhuǎn)化,綜合其他相關(guān)知識,來達(dá)到利用柯西不等式解決綜合應(yīng)用問題的目的。

作為不等式選講中的基本知識點(diǎn)之一的柯西不等式,是高考的基本考點(diǎn)之一,是重要不等式中一個(gè)比較常用的不等式。在實(shí)際利用柯西不等式求解相關(guān)代數(shù)式的最值、不等式的證明及綜合應(yīng)用等問題中,經(jīng)常要進(jìn)行結(jié)構(gòu)特征的對比與關(guān)系式的巧妙處理,合理應(yīng)用湊項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合等技巧策略,確保不等式成立時(shí)等號成立的條件,進(jìn)而利用柯西不等式來解決相關(guān)的問題。