江西省九江市第三中學(xué)(332000) 盧恩良

1 模型總結(jié)

問(wèn)題模型對(duì)于x1,x2,x3,···,xn∈D,有k(≥k,≤k),證明:.

解法歸納令設(shè)函數(shù)f(x)在處的切線為y=kx+b.根據(jù)函數(shù)的凹凸性,確定f(x)≤kx+b(或f(x)≥kx+b)在區(qū)間D上恒成立,再證的成立.

2 模型應(yīng)用

類(lèi)型一 直接套用模型

例1若a≥0,b≥0,c≥0,a+b+c=1,求證:.

簡(jiǎn)析設(shè)因?yàn)樗詅(x)在處切線方程為因?yàn)樵趚∈[0,1]上恒成立,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上是上凸函數(shù),對(duì)x∈[0,1]恒成立.因?yàn)閍,b,c∈[0,1],所以即成立.

評(píng)注本題屬于問(wèn)題模型的標(biāo)準(zhǔn)形式,主要是熟悉模型,掌握方法.由待證結(jié)論中各項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造相應(yīng)函數(shù),再根據(jù)二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),判斷函數(shù)凹凸性,從而得出切線不等式,最后三式相加證得結(jié)論.

類(lèi)型二 變形后構(gòu)造模型

例2(2004年新加坡國(guó)家隊(duì)選拔試題)已知a,b,c∈(0,1),且ab+bc+ac=1,求證:.

有些人不解：為什么要費(fèi)那么多時(shí)間和精力，去復(fù)原沒(méi)有多少實(shí)穿價(jià)值的服裝？楚艷說(shuō)：“這不僅僅是一件衣服，更是拾起了千百年的文化自信，彌補(bǔ)了斷層的文化殘缺。將每一個(gè)細(xì)節(jié)做到極致，不僅是對(duì)人和衣服最基本的尊敬，更是對(duì)衣服背后所承載文化的虔誠(chéng)與敬畏！”

簡(jiǎn)析設(shè)函數(shù)因?yàn)樗詅(x)在.因?yàn)閒′′(x)=處切線方程為在x∈(0,1)上恒成立,所以f(x)在區(qū)間對(duì)x∈(0,1)恒成立.因?yàn)閍,b,c∈(0,1),所以(0,1)上是下凸函數(shù),

因?yàn)閍2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac),得,即成立.

評(píng)注本題中條件不符合模型中單變量求和的形式,需要將條件ab+bc+ac=1 推理得到轉(zhuǎn)化到問(wèn)題模型的標(biāo)準(zhǔn)形式再進(jìn)行證明.運(yùn)用切線法證明不等式時(shí),需要注意模型中的條件與待證不等式均是單變量的和.

同類(lèi)題目[3]設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足yz+zx+xy=1,求證:.

類(lèi)型三 換元后構(gòu)造模型

例3已知a,b,c是正數(shù),a+b+c≤abc,求證.

簡(jiǎn)析由a+b+c≤abc得則x,y,z均為正數(shù),且x+y+z <1.設(shè).因?yàn)?所以f(x)在處切線方程為.因?yàn)閒′′(x)<0 在x∈(0,1)上恒成立,f(x)在區(qū)間(0,1)上是上凸函數(shù),f(x)≤對(duì)x∈(0,1)恒成立.因?yàn)閤,y,z∈(0,1),所以,即.

評(píng)注本題條件和待證不等式都不屬于模型中單變量和的形式,因此破解問(wèn)題關(guān)鍵是通過(guò)換元手段將條件和待證不等式化為單變量和的形式.

例4(數(shù)學(xué)通訊問(wèn)題征解514)已知a,b,c是正數(shù),求證:.

分析將不等式化為

左邊各項(xiàng)分子分母同除以(a+b+c)3,化為

已知x,y,z是正數(shù),且x+y+z=1,求證:.

證明設(shè)則f′(x)=容易求得f(x)在處的切線為y=因?yàn)樵趚∈(0,1)上恒成立,所以f(x)在區(qū)間(0,1)上是下凸函數(shù),因此在x∈(0,1)恒成立.根據(jù)題意知x,y,z∈(0,1),所以成立.即得證.

評(píng)注本題中沒(méi)有出現(xiàn)模型中的條件k(≥k,≤k),待證不等式也不屬于單變量求和形式.因此,破解問(wèn)題關(guān)鍵在于巧妙變形,然后換元后轉(zhuǎn)化到問(wèn)題模型的標(biāo)準(zhǔn)形式.

同類(lèi)題目已知a,b,c均為正數(shù)且互不相等,求證:.

提示將待證不等式化為

類(lèi)型四 放縮后構(gòu)造模型

例5已知a,b,c是三角形的三邊,求證:

分析將待證問(wèn)題化為

由基本不等式知,

令

則問(wèn)題可化為:

已知x,y,z是正數(shù),x+y+z=3,任意兩數(shù)之和大于另一數(shù),求證:.

證明設(shè)則.因?yàn)閒(1)=1,f′(1)=1,所以f(x)在x=1 處切線方程為y=x.因?yàn)樵谏虾愠闪?所以f(x)在區(qū)間上是下凸函數(shù),因此f(x)≥x對(duì)上恒成立.

因?yàn)閤,y,z是正數(shù),x+y+z=3,且任意兩數(shù)之和大于另一數(shù),所以x+y+z=3 成立.

綜上所述,待證不等式成立.

評(píng)注本題不屬于問(wèn)題模型中的類(lèi)型,是無(wú)條件不等式的證明.通過(guò)先放縮的方法,將待證不等式放縮到符合問(wèn)題模型的結(jié)構(gòu),再巧妙換元,把無(wú)條件不等式化為問(wèn)題模型中的條件不等式.此處需要注意原題中“a,b,c是三角形的三邊”這個(gè)條件,結(jié)合任意兩邊之和大于第三邊,得出.

3 小結(jié)

運(yùn)用切線法證明符合上文模型的不等式時(shí),需要注意條件與待證不等式均為單變量和的形式.當(dāng)發(fā)現(xiàn)條件或待證不等式形式不符合時(shí),需要合理進(jìn)行變換.尤其是在證明無(wú)條件不等式時(shí),如何變形與換元更是具有極高的技巧,將其化成模型中的形式后可嘗試采用切線法進(jìn)行證明.最后需要注意的是,切線法僅是解決此類(lèi)不等式的一種方法,不是唯一的方法,也不是一定有效的方法.