苑濤 戴漢寧? 陳宇翱

1) (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),合肥微尺度物質(zhì)科學(xué)國家研究中心和物理學(xué)院,合肥 230026)

2) (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),上海量子科學(xué)研究中心和中國科學(xué)院量子信息與量子科技創(chuàng)新研究院,上海 201315)

3) (合肥國家實(shí)驗(yàn)室,合肥 230088)

在拓?fù)湎到y(tǒng)中,探索相互作用引起的新奇的拓?fù)浔闷脂F(xiàn)象日益受到人們的關(guān)注,其中包括由相互作用誘導(dǎo)的非線性拓?fù)浔闷?本文提出可以利用超冷原子動量光晶格系統(tǒng),有效地模擬一維非線性的非對角Aubry-André-Harper (AAH) 模型,研究非線性拓?fù)浔闷值膶?shí)驗(yàn)方案.首先,通過數(shù)值方法計(jì)算了一維非對角AAH模型的非線性能帶結(jié)構(gòu)隨相互作用強(qiáng)度的變化,得到了非線性系統(tǒng)的孤子態(tài)解.然后,分析了不同相互作用強(qiáng)度下孤子態(tài)的拓?fù)漭斶\(yùn),發(fā)現(xiàn)其質(zhì)心的移動距離具有量子化的輸運(yùn)特征,由所占據(jù)能帶的陳數(shù)決定,并討論了非線性拓?fù)浔闷謱ο嗷プ饔梅柕囊蕾囆?同時還計(jì)算了在不同相互作用強(qiáng)度下,系統(tǒng)最低能帶和最高能帶對應(yīng)陳數(shù)的分布.最后,基于 7 Li 原子的動量光晶格實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),提出了一個非線性拓?fù)浔闷址桨?本文構(gòu)造了一種近似于孤子態(tài)分布的初始態(tài)并演示了其動力學(xué)演化過程,并分析了絕熱演化條件對泵浦過程的影響.結(jié)果表明,在動量晶格系統(tǒng)中演示非線性拓?fù)浔闷志哂锌尚行?本文的工作為在超冷原子系統(tǒng)中研究非線性拓?fù)浔闷痔峁┝艘粋€可行的途徑,有助于進(jìn)一步探測非線性引起的拓?fù)湎嘧兒瓦吔缧?yīng).

1 引言

拓?fù)浔闷諿1]是一種在絕熱調(diào)制的周期性勢阱中的量子化輸運(yùn)現(xiàn)象,在實(shí)現(xiàn)粒子的量子化傳輸[2]、糾纏態(tài)產(chǎn)生[3]和探索高維拓?fù)湎到y(tǒng)性質(zhì)[4]方面有重要的應(yīng)用.因此,人們對其進(jìn)行了大量的研究[5?7],并在超冷原子[8]、自旋[9]、光波導(dǎo)[10]以及聲波波導(dǎo)[11]等實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中觀測到了量子化的拓?fù)浔闷脂F(xiàn)象.最近,在拓?fù)湎到y(tǒng)中,探索相互作用引起的新奇的泵浦現(xiàn)象日益受到人們的關(guān)注.例如由相互作用誘導(dǎo)的非線性拓?fù)浔闷?其特征為中等強(qiáng)度的非線性支持孤子態(tài)的量子化輸運(yùn),而強(qiáng)非線性使得孤子態(tài)呈現(xiàn)局域特性.通過理論研究,人們提出可以利用液晶[12]、超冷原子[13,14]和光波導(dǎo)[15]系統(tǒng)具有的非線性效應(yīng),實(shí)現(xiàn)對非線性拓?fù)浔闷值奶剿?到目前為止,人們僅在光波導(dǎo)系統(tǒng)中通過引入克爾型吸引非線性觀測到了量子化的整數(shù)[15]和分?jǐn)?shù)拓?fù)浔闷脂F(xiàn)象[16].所以,在不同的系統(tǒng)中開展進(jìn)一步的研究工作仍然是有必要的,可以更深入地理解非線性拓?fù)浔闷脂F(xiàn)象并探索其應(yīng)用前景.

在超冷原子系統(tǒng)中,人們可以利用光晶格[17]和Feshbach 共振[18]技術(shù)對原子之間的相互作用進(jìn)行精確的調(diào)控,這使其成為研究由相互作用誘導(dǎo)的非線性效應(yīng)的理想平臺.例如人們已經(jīng)研究了物質(zhì)波孤子[19]和非線性局域化[20]等現(xiàn)象.特別是,隨著超冷原子動量晶格技術(shù)的發(fā)展[21],可以利用其具有的晶格參數(shù)和系統(tǒng)相互作用可獨(dú)立精確調(diào)制的特性,來研究非線性動力學(xué)和拓?fù)湮锢?并在實(shí)驗(yàn)上觀測到了相互作用導(dǎo)致的自陷俘效應(yīng)[22]以及對遷移率邊的影響[23].值得注意的是,在超冷原子系統(tǒng)關(guān)于拓?fù)浔闷值难芯恐?相對于線性拓?fù)浔闷侄?對于非線性拓?fù)浔闷值难芯咳匀缓苌?因此,本文提出可以利用超冷原子動量晶格系統(tǒng)來演示非線性拓?fù)浔闷?為進(jìn)一步探索非線性拓?fù)漭斶\(yùn)提供了一定的指導(dǎo).

本文用數(shù)值求解方法計(jì)算一維非對角Aubry-André-Harper (AAH)模型的非線性能帶結(jié)構(gòu)隨相互作用強(qiáng)度的變化,并分析了孤子態(tài)的非線性拓?fù)浔闷志哂辛孔踊妮斶\(yùn)特征.進(jìn)一步,基于7Li 原子的動量晶格系統(tǒng),提出了一個演示非線性拓?fù)浔闷值姆桨?并分析了絕熱演化條件對泵浦過程的影響.結(jié)果表明,在動量晶格系統(tǒng)中演示非線性拓?fù)浔闷志哂锌尚行?本文為在超冷原子系統(tǒng)中研究非線性拓?fù)浔闷痔峁┝艘粋€可行的途徑,可進(jìn)一步擴(kuò)展對非線性拓?fù)洮F(xiàn)象的研究.

全文結(jié)構(gòu)安排如下: 第2 節(jié)對一維非對角AAH模型的非線性能帶和孤子態(tài)進(jìn)行分析;第3 節(jié)對不同相互作用系統(tǒng)中非線性泵浦過程進(jìn)行了分析;第4 節(jié)基于7Li 原子的動量晶格系統(tǒng),提出了一個具體的非線性拓?fù)浔闷址桨?第5 節(jié)是對非線性拓?fù)浔闷值目偨Y(jié)與展望.

2 理論模型

本方案研究的是一維非對角AAH 模型[24?26]的非線性拓?fù)浔闷?如圖1(a)所示,在一維非對角AAH 模型中,每個原胞包含3 個格點(diǎn)(分別表示為A,B和C),最近鄰格點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度分別為Jab(t) ,Jbc(t) 和Jca(t),且每個格點(diǎn)上的能量均為零.在緊束縛近似下,一維非對角AAH模型的有效哈密頓量表示為

圖1 (a)一維非對角AAH 模型示意圖,每個晶格原胞有3 個格點(diǎn)(A,B,C),最近鄰格點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度(Jab,Jbc,Jca)隨時間變化,每個格點(diǎn)上的能量設(shè)置為零;(b)在一個泵浦周期內(nèi),耦合強(qiáng)度的周期性調(diào)制函數(shù) (由(2)式定義);(c)在 Ω t=0 時刻,非對 角AAH 模型非線性能帶結(jié)構(gòu)在不同相互作用強(qiáng)度 g=0,1.5,2.0 下的分布.圖中的物理量均以 Jmax 為單位,耦合強(qiáng)度值Jab=0.77,Jbc=0.10 和Jca=0.77Fig.1.(a) Schematic illustration of 1D off-diagonal AAH model with three sites (A,B,C) per unit cell and time-dependent couplings (Jab,Jbc,Jca) between neighbouring sites;(b) variation of the couplings during one pumping cycle defined by Eq.(2);(c) energy bands of nonlinear off-diagonal AAH model vs.interaction strength g.All quantities shown in the pictures are given in units of Jmax,with coupling strength values Jab=0.77,Jbc=0.10 and Jca=0.77 .

其中,j=0,1,2 分別對應(yīng)的是Jab(t),Jbc(t) 和Jca(t)耦合項(xiàng);Jmax表示系統(tǒng)的最大耦合躍遷強(qiáng)度,設(shè)定Jmax=1 作為能量單位;Ω為耦合強(qiáng)度的調(diào)制頻率,要求調(diào)制頻率盡可能低,以滿足絕熱演化條件.在一個調(diào)制周期內(nèi)(Ωt=2π),耦合強(qiáng)度的調(diào)制曲線如圖1(b)所示.同時,根據(jù)不同的J/K比值,一維非對角AAH 模型具有不同的拓?fù)涮卣鱗27].本文選擇J=0.55 和K=0.45,那么系統(tǒng)3 個能帶的陳數(shù)分別為C={-1,2,-1}.

進(jìn)一步,在一維非對角AAH 模型的基礎(chǔ)上,考慮到平均場相互作用帶來的格點(diǎn)上的非線性項(xiàng),那么,第n個原胞中A,B和C格點(diǎn)的波函數(shù)演化將由一組離散的非線性薛定諤方程決定,具體如下:

其中,φn,a(t),φn,b(t),φn,c(t) 分別表示在t時刻原胞n中3 個格點(diǎn)上的波函數(shù)振幅;g＞0 (或g＜0)表示相互作用強(qiáng)度.

之后,通過求解定態(tài)薛定諤方程H(k,Φ(k))Φ(k)=EΦ(k),就可以得到非線性系統(tǒng)的本征值(E)和本征態(tài)(Φ(k)).具體而言,采用的求解過程如下所示.將定態(tài)薛定諤方程H(k,Φ(k))Φ(k)=EΦ(k) 展開后,可以得到:

該方程組是一個6 元目標(biāo)函數(shù)F(X)=(F0,F1,F2,F3,F4,F5)T,其中X=(E,a,b,c,u,v) 為變量.對每個方程均求一階偏導(dǎo)數(shù)后,可以得到目標(biāo)函數(shù)F(X) 的雅可比矩陣J(X) .之后,通過牛頓迭代法,利用泰勒展開式對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行局部近似,并通過求解近似函數(shù)的根來逐步逼近方程的真實(shí)解,得到E,a,b,c,u,v這6 個變量的解,從而得到能量E和波函數(shù)Φ(k)=(?a,?b,?c)T.

利用上述數(shù)值計(jì)算方法,計(jì)算了在相互作用強(qiáng)度g＞0 的情況下,非對角AAH 模型的非線性能帶結(jié)構(gòu),結(jié)果如圖1(c)所示.這里設(shè)定的是Ωt=0時刻的耦合強(qiáng)度值,即Jab=0.77,Jbc=0.10 和Jca=0.77.從圖中可以看出,能帶結(jié)構(gòu)因相互作用的存在產(chǎn)生了改變.隨著g強(qiáng)度的增加,第二能帶和最高能帶的能量發(fā)生了偏移,但其能帶的色散關(guān)系沒有發(fā)生變化.相比之下,最低能帶除了發(fā)生了能量偏移,其能帶色散關(guān)系也出現(xiàn)了調(diào)制,從具有色散特征的能帶逐漸變成了平帶結(jié)構(gòu).對于一個無色散的平帶系統(tǒng)而言,系統(tǒng)的群速度為零,波包可以作為一個整體在晶格中進(jìn)行演化,表現(xiàn)為物質(zhì)波孤子態(tài)[28].

圖2(a)是在相互作用g＞0 情況下,最低能帶的孤子態(tài)分布.該孤子態(tài)主要分布在單個原胞3 個格點(diǎn)上,且φn,a,φn,c和φn,b之間存在著π 相位.如圖2(b)所示,將這種孤子態(tài)作為初始注入態(tài),在g ＞0的非線性系統(tǒng)中進(jìn)行淬火動力學(xué)演化,可以發(fā)現(xiàn)孤子態(tài)表現(xiàn)出局域化效應(yīng).采用同樣的方法,也可以計(jì)算出相互作用g＜0 非線性的非對角AAH 模型的能帶結(jié)構(gòu)隨g的變化,如圖2(d)所示.可以看出,g＜0 的相互作用主要是對最高能帶的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生調(diào)制,使其從具有色散特征的能帶逐漸變?yōu)槠綆ЫY(jié)構(gòu).如圖2(c)所示,其本征態(tài)同樣具有孤子態(tài)的分布特征,且3 個格點(diǎn)上的波函數(shù)是同相位的.這些結(jié)果為進(jìn)一步探索非線性系統(tǒng)中的拓?fù)浔闷脂F(xiàn)象提供了基礎(chǔ).

圖2 (a),(b)在 g ＞0 的 系統(tǒng)中,計(jì)算得到的最低能帶的孤子態(tài)的波函數(shù)分布,在淬火動力學(xué)演化過程中是嚴(yán)格局域化的;(c),(d)在 g ＜0 的系統(tǒng)中,最高能帶的孤子態(tài)波函數(shù)分布和能帶結(jié)構(gòu)的分布Fig.2.(a),(b) In the system of g ＞0,the wave function distribution of soliton state for the lowest energy band is strictly localized in the process of the quench dynamics;(c),(d) in the system of g ＜0,the wave function distribution of soliton state for the highest band and the energy band structure.

3 結(jié)果分析

接下來,對非線性系統(tǒng)中的孤子態(tài)的拓?fù)浔闷诌^程進(jìn)行了分析.分別在g＞0 和g＜0 區(qū)間選取了一個典型的相互作用強(qiáng)度值,對孤子態(tài)的演化過程進(jìn)行了數(shù)值求解.圖3(a)給出的是在無相互作用系統(tǒng)中的線性拓?fù)浔闷诌^程.這里選擇的初始態(tài)為占據(jù)最低能帶(C0=-1)的瓦尼爾態(tài),且耦合強(qiáng)度的調(diào)制頻率為Ω/Jmax=0.02,滿足絕熱演化條件.在這種情況下,物質(zhì)波包的衍射效應(yīng)呈主要作用,波包在演化過程中存在著明顯的色散.在一個泵浦周期內(nèi),波包質(zhì)心向左移動了3 個晶格格點(diǎn)的距離,具有量子化泵浦的特征,受所占據(jù)能帶的陳數(shù)決定.隨著相互作用的增強(qiáng),系統(tǒng)會產(chǎn)生穩(wěn)定的非線性拓?fù)涔伦討B(tài),波包作為整體在晶格中進(jìn)行移動,此時相互作用起到了將波包局域化的效果.圖3(b)給出的是g=1.5 情況下的非線性拓?fù)浔闷?選擇的初始態(tài)和圖2(a)所示的波函數(shù)分布形式一致,是處在最低能帶上的孤子態(tài)分布,耦合強(qiáng)度的調(diào)制頻率為Ω/Jmax=0.01,滿足絕熱演化條件.在每個泵浦周期內(nèi),質(zhì)心仍遵循向左移動3 個晶格格點(diǎn)的距離,仍由最低能帶的陳數(shù)決定.利用同樣的方法,計(jì)算了在g=-1.5 的系統(tǒng)中,對于占據(jù)最高能帶的孤子態(tài)(圖2(c)),同樣表現(xiàn)為具有量子化的非線性拓?fù)浔闷诌^程,結(jié)果如圖3(c)所示.

圖3 非線性拓?fù)浔闷?(a) g=0 系統(tǒng)中,最低能帶上分布的瓦尼爾態(tài)的線性泵浦演化;(b) g=1.5 系統(tǒng)中,最低能帶的孤子態(tài)的非線性演化;(c) g=-1.5 系統(tǒng)中,最高能帶的孤子態(tài)的非線性演化;(d) 在兩個泵浦周期內(nèi),系統(tǒng)的質(zhì)心位移結(jié)果.上述結(jié)果均是對(3)式進(jìn)行數(shù)值求解所得,所用參數(shù): (a)耦合強(qiáng)度 Jmax=1,調(diào)制頻率 Ω/Jmax=0.02,原胞數(shù) Nc=101 ;(b),(c)耦合強(qiáng)度Jmax=1,調(diào)制頻率 Ω/Jmax=0.01,原胞數(shù)Nc=21Fig.3.Interaction induced nonlinear propagation in topological pumps: (a) At g=0,the linear pump evolution of uniformly distributed Wanier states at the lowest band;(b) at g=1.5,the nonlinear evolution of the soliton state for the lowest occupancy band;(c) at the g=-1.5,the nonlinear evolution of the soliton state for the highest occupancy band;(d) displacement of the centre of mass for the cases shown in a to c.The results are obtained by numerically solving Eq.(3) with parameters: (a) Jmax=1,Ω/Jmax=0.02,Nc=101 ;(b),(c) Jmax=1,Ω/Jmax=0.01,Nc=21 .

通過對非線性拓?fù)浔闷诌^程的數(shù)值分析可以得到,在較弱的相互作用強(qiáng)度條件下,系統(tǒng)存在的孤子態(tài)的演化過程滿足量子化的輸運(yùn)特征.同時,利用本文提到的數(shù)值求解方法對系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解H(k)|Φn(k)〉=En(k)|Φn(k)〉,得到了能帶和波函數(shù).那么第n個能帶對應(yīng)的陳數(shù)為[29]

其中,Fn=〈?tΦn|?kΦn〉-〈?kΦn|?tΦn〉 為貝里曲率.這里,采用數(shù)值方法[30]對能帶陳數(shù)進(jìn)行計(jì)算,具體結(jié)果如圖4 所示,在g＞0 的弱相互作用區(qū)間,最低能帶的陳數(shù)保持為C0=-1 ;在g＜0 的弱相互作用區(qū)間,最高能帶的陳數(shù)保持為C2=-1 .同樣,Jürgensen 等[15]通過一種自定義的間接方法,在弱相互作用區(qū)間對最低能帶的陳數(shù)進(jìn)行了計(jì)算,陳數(shù)也為C0=-1 .

圖4 在 g ＞0 和 g ＜0 的弱相互作用系統(tǒng)中,分別計(jì)算最低能帶的陳數(shù) C0 和最高能帶的陳數(shù)C2Fig.4.Chern number associated with the energy band are calculated for g ＞0 and g ＜0 in the regime of weak interaction strengths,respectively.

4 實(shí)驗(yàn)方案

本節(jié)基于玻色子7Li 原子的動量晶格系統(tǒng),提出了一個演示非線性拓?fù)浔闷值膶?shí)驗(yàn)方案.圖5(a)簡要描述了動量晶格的實(shí)現(xiàn)原理[21].將一對對射晶格光(波長為λ)照射到BEC 原子團(tuán)上,其中向右傳播的晶格光包含單一頻率(E+cos(kx-ω++?+)),而向左傳播的晶格光中包含多個頻率成分.通過雙光子布拉格躍遷,每對光場 (ω+和) 都會對相鄰的動量態(tài)(|n〉 和|n+1〉)之間的耦合躍遷產(chǎn)生影響.這里,晶格光的波長為λ=1064 nm,遠(yuǎn) 失諧 于7Li 原子 的能級躍遷線(671 nm).同時,對于處在基態(tài)原子團(tuán)的色散關(guān)系可以近似處理為自由粒子的色散關(guān)系,那么相鄰動量態(tài)|n〉 和|n+1〉 之間的能級差為ΔE=4Er(2n+1),其中,原子的反沖能 量Er=?2k2/(2M) (M是原子質(zhì)量),對于λ=1064 nm 的晶格光,Er=2π× 25 kHz.并且,每對光場 (ω+和) 之間的頻率差滿足 4Er(2l+1)/?,相位差滿足.那么,描述動量晶格系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

圖5 利用動量晶格系統(tǒng)演示非線性拓?fù)浔闷址桨?(a) 動量晶格示意圖;(b) 初態(tài)制備過程;(c) 在兩個泵浦周期內(nèi),調(diào)制頻率為 Ω/Jmax=0.5 時孤子態(tài)的動力學(xué)演化;(d) 在兩個泵浦周期內(nèi)質(zhì)心移動的晶格距離(紅線為動量晶格的實(shí)際哈密頓量計(jì)算的結(jié)果,藍(lán)線為理想哈密頓量計(jì)算的結(jié)果);(e) 絕熱演化條件分析,不同 Ω/Jmax 對應(yīng)的每個泵浦周期質(zhì)心位置的移動距離.設(shè)置參數(shù)為: Jmax=2π×10.0 kHz,U/Jmax=1.5,Nc=21Fig.5.Implementatial proposal of nonlinear topological pumping based on the momentum lattice: (a) Schematic diagram of the momentum lattice;(b) preparation of initial state;(c) dynamics evolution of soliton state in two pumping periods,with modulation frequency of Ω/Jmax=0.5 ;(d) lattice displacement of the center-of-mass during two pumping periods (The red line is the result calculated from actual Hamiltonian of the momentum lattice,and the blue line is the result of the ideal Hamiltonian);(e) analysis of adiabatic evolution conditions.The shift of center-of-mass for each pumping period corresponding to different values of Ω/Jmax .Parameters are: Jmax=2π×10.0 kHz,U/Jmax=1.5,Nc=21 .

在平均場近似和Hartree-Fock 近似處理下,每個動量態(tài)波函數(shù)的動力學(xué)演化均由Gross-Pitaevskii (GP) 方程決定,其表達(dá)式與(3)式類似,即

其中,相互作用強(qiáng)度項(xiàng)為U=4π?2asρN/M(ρN是BEC 原子團(tuán)密度,as是s 波散射長度).通過Feshbach 共振[18]技術(shù)調(diào)節(jié)原子間的散射長度as,可實(shí)現(xiàn)對相互作用的精確調(diào)節(jié).同時,在不同演化時刻下,系統(tǒng)波函數(shù)的分布均需滿足歸一化條件,即

在動量晶格系統(tǒng)中演示非線性拓?fù)浔闷址桨?表征原子團(tuán)輸運(yùn)特征的觀測量可以定義為在一個泵浦周期內(nèi)原子團(tuán)的平均動量的變化量,即

其中,n為動量態(tài) |n〉 對應(yīng)的晶格格點(diǎn)坐標(biāo);|φn(t)|2表示原子分布在動量態(tài) |n〉 的概率;動量態(tài)質(zhì)心移動的距離單位是 2 ?k.實(shí)驗(yàn)中可以通過時間飛行測量來探測所有動量態(tài)的原子團(tuán)的密度分布,從而得到不同演化時刻下的所有動量態(tài)分布情況,即|φn(t)|2.通過(10)式可計(jì)算出原子團(tuán)的平均動量移動的距離.

下面對演示方案進(jìn)行具體描述.由文獻(xiàn)[31,32]可得,對于|F=1,mF=1〉 內(nèi)態(tài)的7Li 原子系統(tǒng),可以利用Feshbach 共振技術(shù)精確調(diào)控原子間的相互作用.當(dāng)囚禁BEC 原子團(tuán)的勢阱頻率為(ωx,ωy,ωz)=2π×(70,800,800) Hz,并在偏置磁場強(qiáng)度調(diào)節(jié)到710 G 左右,即散射長度達(dá)到約 200a0(a0表示玻爾半徑)時,可以得到原子數(shù)為N=3.0×105的BEC 原子團(tuán).在動量晶格中,設(shè)定最大耦合強(qiáng)度為Jmax=2π×10 kHz,且滿足Jmax?8Er的條件.同時設(shè)定偏置磁場為B=731.548 G左右,使得s 波散射長度為as≈1000a0,可調(diào)控相互作用強(qiáng)度為U/Jmax=1.5 .

為了在動量晶格系統(tǒng)上更方便地制備初態(tài)并演示非線性拓?fù)浔闷诌^程,將初態(tài)構(gòu)造成近似滿足孤子態(tài)的形式,即將波函數(shù)全部分布在中間原胞的格點(diǎn)上,而其他原胞格點(diǎn)上的分布忽略不計(jì).圖5(b)是初態(tài)制備的示意圖.這里選擇將|-1〉,|0〉,|+1〉3 個動量態(tài)組成初態(tài)所占據(jù)的原胞.在t=0 時刻,系統(tǒng)處在零動量的BEC 狀態(tài),此時波函數(shù)為Ψ0=(0,1,0)T.之后,同時打開|-1〉,|0〉 和|0〉,|+1〉動量態(tài)之間的耦合躍遷項(xiàng),分別設(shè)置為Je-iθ和Jeiθ,原子會在3 個動量態(tài)格點(diǎn)之間進(jìn)行拉比振蕩.經(jīng)過時間t的演化,得到的目標(biāo)初始態(tài)為Ψini=這樣,通過選擇合適的耦合項(xiàng)參數(shù)J,θ和時間t,就可以制備所需要的初始態(tài).如當(dāng)選擇參數(shù)J=2π×4.0 kHz,θ=π/2 和t=18.1μs 時,初 始態(tài)分布為Ψini=(-0.424,0 .800,-0.424)T,滿足相互作用為U/Jmax=1.5 的系統(tǒng)對孤子態(tài)分布的要求.

圖5(c)給出了在相互作用強(qiáng)度為U/Jmax=1.5的系統(tǒng)中,上文所示初始態(tài)的非線性泵浦過程.這里,相鄰動量態(tài)之間的耦合強(qiáng)度按照(2)式進(jìn)行調(diào)制,設(shè)定的最大耦合強(qiáng)度為Jmax=2π×10.0 kHz,調(diào)制頻率為Ω/Jmax=0.5,系統(tǒng)原胞數(shù)為Nc=21 .從圖5(d)所示的質(zhì)心位移結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),計(jì)算得到的質(zhì)心位移值基本上體現(xiàn)出了量子化的輸運(yùn)特征,但其與理想值 〈pc〉=-3.0 之間仍有一定偏離,主要是受到實(shí)際動量晶格中的非共振的多頻率光帶來的能級失諧和系統(tǒng)絕熱演化條件等因素的影響.

通過數(shù)值分析,評估了演化過程中的絕熱條件對非線性泵浦效果的影響,如圖5(e)所示.計(jì)算了在不同的調(diào)制頻率Ω/Jmax情況下,單個泵浦周期內(nèi)原子動量態(tài)質(zhì)心 (〈pc〉) 移動的晶格距離.從圖中可以看出,調(diào)制速率越慢,即Ω/Jmax越小,〈pc〉越接近理想的移動距離 〈pc〉=-3.0 .隨著Ω/Jmax的增加,逐漸破壞演化過程所需要的絕熱條件,〈pc〉 會逐漸偏離理想值.當(dāng)Ω/Jmax=0.5 的時候,〈pc〉≈2.8,基本也能夠體現(xiàn)出非線性拓?fù)浔闷值闹饕卣?并且,在此調(diào)制頻率下,每個調(diào)制周期所需的時間為T=2π/Ω=0.2 ms,這樣的參數(shù)在實(shí)驗(yàn)上具有一定的可行性.同時,考慮到囚禁BEC 原子團(tuán)的外勢阱形狀對原子團(tuán)分布和相干演化時間的影響,動量晶格系統(tǒng)演化的相干時間在1 ms 以內(nèi).這樣,基本上可以從3 個調(diào)制周期內(nèi)的動力學(xué)演化結(jié)果中得到能帶的陳數(shù).

5 結(jié)論

本文使用數(shù)值求解方法計(jì)算了一維非對角AAH 模型的非線性能帶和孤子態(tài)解,并分析了在g ＞0 和g＜0 的相互作用系統(tǒng)中,存在著處于最低能帶和最高能帶的孤子態(tài)的量子化的輸運(yùn)現(xiàn)象.此外,基于7Li 原子的動量晶格系統(tǒng),還提出了一個演示非線性拓?fù)浔闷值膶?shí)驗(yàn)方案,并分析了其在動量晶格實(shí)驗(yàn)上的可行性.本文為在超冷原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)非線性拓?fù)浔闷痔峁┝艘粋€新穎且可行的途徑,可進(jìn)一步用于研究非線性系統(tǒng)的拓?fù)漭斶\(yùn)現(xiàn)象,例如邊界態(tài)在相互作用系統(tǒng)中的拓?fù)漭斶\(yùn)[33?35].

感謝中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)鄭煒教授和羅祎帆博士的有益討論.