向 艷, 蔣國(guó)璋,3, 張 嚴(yán),3, 徐曼曼,3

(1. 武漢科技大學(xué) 冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430081;2. 武漢科技大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430081;3. 武漢科技大學(xué) 精密制造研究院,武漢 430081)

桁架類點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是一種由規(guī)則點(diǎn)陣單胞在空間陣列組合形成的周期性結(jié)構(gòu),具有質(zhì)量輕、比強(qiáng)度/比剛度高、減振吸能性好,且拓?fù)錁?gòu)型簡(jiǎn)單、增材成型可靠性高等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于航天器各關(guān)鍵承載部件設(shè)計(jì)[1-4]。作為最具應(yīng)用前景的新一代輕質(zhì)強(qiáng)韌結(jié)構(gòu),點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)為實(shí)現(xiàn)超輕質(zhì)多功能一體化設(shè)計(jì)提供了新途徑,通過對(duì)點(diǎn)陣單胞進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可以獲得具有優(yōu)異宏觀性能的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。

現(xiàn)有點(diǎn)陣構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)大多基于等截面形狀的設(shè)計(jì)約束展開。近年來,隨著增材制造技術(shù)的迅猛發(fā)展,變截面點(diǎn)陣的制造成為可能。相比等截面點(diǎn)陣,變截面點(diǎn)陣具有可拓設(shè)計(jì)空間,其力學(xué)性能也更具優(yōu)勢(shì)。冀賓等[5]基于解析計(jì)算和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)3D Kagome點(diǎn)陣通過變截面設(shè)計(jì),其壓縮強(qiáng)度提高了30%。朱凌雪等[6]的研究也表明芯體截面梯度變化的點(diǎn)陣夾層結(jié)構(gòu)吸能效率要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)等截面點(diǎn)陣夾層結(jié)構(gòu)。Cao等[7]通過有限元模擬和準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)十二面體點(diǎn)陣通過變截面設(shè)計(jì),其抗壓強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度分別提高了79%和55%。雷鵬福等[8]提出了一種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)化技術(shù),通過在點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)處實(shí)現(xiàn)自然圓角過渡的方法,改善其力學(xué)性能。Ren等[9]為了減小點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中并進(jìn)一步提高其剛度性能,設(shè)計(jì)了一種節(jié)點(diǎn)球形增強(qiáng)的體心立方點(diǎn)陣。汪飛雪等[10]考慮變截面梁和連接球體的幾何構(gòu)型,實(shí)現(xiàn)球型增強(qiáng)變截面四棱錐點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的幾何拓?fù)浞治?并進(jìn)行了基于SLM工藝的變截面四棱錐點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的形變特性和力學(xué)性能分析,結(jié)果表明較傳統(tǒng)等截面體心立方點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)有顯著提升。上述研究工作通過對(duì)變截面點(diǎn)陣單胞進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),獲得了點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)性能的進(jìn)一步提升,對(duì)點(diǎn)陣單胞構(gòu)型的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有積極的指導(dǎo)意義。但現(xiàn)有點(diǎn)陣構(gòu)型的優(yōu)化設(shè)計(jì)大多缺乏變截面點(diǎn)陣構(gòu)型的參數(shù)化描述模型及其普適性的力學(xué)分析方法,導(dǎo)致點(diǎn)陣構(gòu)型的優(yōu)化難以有效開展。

現(xiàn)有點(diǎn)陣的幾何模型主要采用CAD軟件建模和幾何隱式模型表達(dá)等方式,難以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)陣截面形狀的參數(shù)化描述,同時(shí)其等效力學(xué)性能分析方法與其幾何模型描述方式密切相關(guān),主要有解析法、試驗(yàn)法以及代表體元法等[11-15]。例如,基于解析法的點(diǎn)陣等效力學(xué)性能分析,需根據(jù)點(diǎn)陣的不同構(gòu)型形式選擇不同的解析分析方法,且對(duì)于復(fù)雜的點(diǎn)陣構(gòu)型,推導(dǎo)過程繁瑣復(fù)雜,難以與后續(xù)的點(diǎn)陣構(gòu)型優(yōu)化實(shí)現(xiàn)有效銜接。

針對(duì)點(diǎn)陣形狀的參數(shù)化描述問題,本文采用基于水平集的顯式拓?fù)涿枋龊瘮?shù)構(gòu)建變截面點(diǎn)陣的顯式幾何描述模型,實(shí)現(xiàn)變截面點(diǎn)陣幾何形狀的自由描述,為后續(xù)的點(diǎn)陣構(gòu)型優(yōu)化提供充分尋優(yōu)空間。針對(duì)點(diǎn)陣的等效力學(xué)性能計(jì)算復(fù)雜,基于變截面點(diǎn)陣的顯式拓?fù)涿枋龊瘮?shù),采用能量均勻化構(gòu)建具有普適性的變截面點(diǎn)陣等效力學(xué)性能表征模型。隨后,建立截面點(diǎn)陣幾何描述參數(shù)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,并采用基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行高效求解。最后,結(jié)合數(shù)值算例驗(yàn)證本文所提方法對(duì)變截面點(diǎn)陣設(shè)計(jì)的有效性,通過與等截面點(diǎn)陣進(jìn)行對(duì)比,以顯示變截面點(diǎn)陣設(shè)計(jì)的性能優(yōu)勢(shì)。

1 變截面點(diǎn)陣的顯式幾何描述

水平集方法是一種結(jié)構(gòu)幾何邊界的隱式描述方法,其核心思想是將研究的曲線或曲面表示為高一維水平集函數(shù)的零等值線或面[16]。與傳統(tǒng)水平集方法以自由函數(shù)或徑向基函數(shù)隱式表達(dá)結(jié)構(gòu)幾何邊界的方式不同,本文通過定義水平集函數(shù)的顯式數(shù)學(xué)關(guān)系,建立結(jié)構(gòu)幾何的顯式拓?fù)涿枋龊瘮?shù),實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)幾何邊界的顯式描述,達(dá)到通過調(diào)控水平集函數(shù)參數(shù)以精確控制結(jié)構(gòu)幾何的目的。以如圖1(a)所示的變截面點(diǎn)陣桿件為例,采用如式(1)所示的基于水平集的顯式拓?fù)涿枋龊瘮?shù)實(shí)現(xiàn)單根變截面桿件的顯式幾何描述(如圖1(b)所示),其中方程t(x)是點(diǎn)陣桿件的截面形狀控制方程,通過調(diào)控截面形狀控制參數(shù)t1,t2,t3可實(shí)現(xiàn)桿件截面形狀的精確控制,圖1(c)是由變截面桿件組成的體心立方點(diǎn)陣構(gòu)型。特別地,當(dāng)各桿件的截面形狀控制方程參數(shù)t1,t2,t3均相等時(shí),可獲得等截面點(diǎn)陣構(gòu)型。

圖1 變截面點(diǎn)陣單胞示意圖Fig.1 Schematic diagram of variable cross-section lattice unit cell

基于水平集函數(shù)的變截面點(diǎn)陣顯式幾何描述模型可表達(dá)為

(1)

其中,

φi(x)=max[φi,cylinder(x,y,z),φi,sphere1(x,y,z),φi,sphere2(x,y,z)]

φi,cylinder(x,y,z)=[t(x)/2]2-(sinθi·Ld)2,

φi,sphere1(x,y,z)=(t1/2)2-(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2,

φi,sphere2(x,y,z)=(t2/2)2-(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2

式中:D為整個(gè)設(shè)計(jì)域;Ω為實(shí)體材料區(qū)域;?Ω為結(jié)構(gòu)的邊界;桿件部分由一個(gè)變截面柱體和兩個(gè)球體組成,其水平及函數(shù)分別為φi,cylinder(x,y,z),φi,sphere1(x,y,z),φi,sphere2(x,y,z);變截面柱體的兩端分別以(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)為中心,這兩點(diǎn)也是兩個(gè)球體的球心;(x0,y0,z0)和L分別為桿件的中心點(diǎn)坐標(biāo)和桿件長(zhǎng)度;t(x)為桿件的截面形狀控制方程;t1,t2,t3為截面形狀控制方程參數(shù)。

2 變截面點(diǎn)陣的等效彈性張量計(jì)算

(2)

傳統(tǒng)均勻化方法的理論推導(dǎo)復(fù)雜,計(jì)算效率較低。為進(jìn)一步簡(jiǎn)化點(diǎn)陣單胞等效力學(xué)屬性的實(shí)施過程,提高其計(jì)算效率,基于單元應(yīng)變能等效,式(2)可轉(zhuǎn)化成另一種新形式

(3)

3 變截面點(diǎn)陣的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

為實(shí)現(xiàn)變截面點(diǎn)陣的幾何形狀參數(shù)優(yōu)化,以變截面點(diǎn)陣的幾何描述參數(shù)為設(shè)計(jì)變量,材料用量為約束條件,最大體積模量或最大剪切模量為目標(biāo)函數(shù),建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

(4)

(5)

當(dāng)以變截面點(diǎn)陣的體積模量最大為優(yōu)化目標(biāo)時(shí),目標(biāo)函數(shù)可定義為

(6)

4 基于近似模型輔助粒子群優(yōu)化算法的求解策略

由于變截面點(diǎn)陣優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量較多,變量維數(shù)較高,為提升高維設(shè)計(jì)問題的優(yōu)化效率[20-21],本文采用基于徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)的近似模型輔助粒子群優(yōu)化算法,以實(shí)現(xiàn)變截面點(diǎn)陣優(yōu)化模型的高效求解。

4.1 RBF近似模型

RBF模型在高維建模中具有更高的建模精度和更快的建模速度,因此在近似模型輔助的粒子群優(yōu)化(efficient surrogate-assisted particle swarm optimization,ESPSO)算法中,引入RBF近似模型用于粒子群優(yōu)化算法中的全局和局部近似模型建模,本文使用的RBF模型定義如下:假定有n個(gè)樣本點(diǎn)x1,x2,…,xn∈RD,對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分別為f(x1),f(x2),…,f(xn),則由這n個(gè)樣本點(diǎn)建立的RBF近似模型可以表示為

(7)

4.2 近似模型輔助的粒子群算法

作為粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)的關(guān)鍵組成部分,粒子速度的更新方法對(duì)PSO算法的優(yōu)化效率有很大影響。為了進(jìn)一步提升近似模型輔助PSO算法的優(yōu)化效率,ESPSO算法使用了一種新的策略更新粒子的速度,其更新方式如下

(8)

其中,

(9)

(10)

相對(duì)于傳統(tǒng)的PSO方法,ESPSO方法改變了粒子的搜索方向。如圖2所示,在PSO中,粒子朝著當(dāng)前全局最優(yōu)位置和當(dāng)前粒子的歷史最優(yōu)位置即線0和1的方向搜索。而在ESPSO中,它通過由全局和局部近似模型獲得的全局最優(yōu)和局部最優(yōu)位置即線0*和1*方向搜索,同時(shí)添加了全局和局部近似模型的最優(yōu)點(diǎn)信息,平衡了模型的預(yù)測(cè)能力和PSO算法的全局搜索能力使其更高效。

圖2 ESPSO算法的搜索原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of search principle of ESPSO algorithm

在ESPSO算法中,個(gè)體歷史最優(yōu)粒子pi(t),i=1,2,…,N的鄰域空間劃分是一個(gè)重要的策略。這種空間劃分策略使得ESPSO利用在鄰域內(nèi)獲得的局部近似模型最優(yōu)點(diǎn)來引導(dǎo)PSO加速搜索。此外,這種空間劃分策略還考慮到了個(gè)體歷史最優(yōu)粒子pi(t),i=1,2,…,N的多樣性,從而保證了ESPSO的全局優(yōu)化效率。在ESPSO方法中,確定合適的粒子xi(t)鄰域大小是非常重要的,領(lǐng)域空間過大粒子群會(huì)很快集中,使得ESPSO算法會(huì)陷入局部搜索。然而如果該區(qū)域太小的話模型的預(yù)測(cè)能力沒能得到最大的發(fā)揮,使得ESPSO算法收斂緩慢。

因此,由Kitayama等[22]提出的計(jì)算徑向基函數(shù)半徑的方法被用于確定個(gè)體歷史最優(yōu)粒子的鄰域大小。粒子pi(t)的鄰域半徑ri可以表示為

(11)

5 數(shù)值算例

為充分說明本文方法的有效性,分別選取BCC,FCC,BCC+FCC三種點(diǎn)陣構(gòu)型作為代表性研究對(duì)象,采用前述構(gòu)建的優(yōu)化模型和ESPSO算法求解策略,實(shí)現(xiàn)最大體積模量或最大剪切模量的變截面點(diǎn)陣優(yōu)化設(shè)計(jì)。同時(shí),將變截面點(diǎn)陣設(shè)計(jì)結(jié)果與相應(yīng)構(gòu)型的等截面點(diǎn)陣進(jìn)行對(duì)比,以驗(yàn)證本文方法在點(diǎn)陣力學(xué)性能設(shè)計(jì)上的優(yōu)勢(shì)。為不失一般性,在所有算例中均采用無量綱化處理,彈性模量E=1,泊松比μ=0.3,采用20×20×20=8 000個(gè)八節(jié)點(diǎn)六面體單元對(duì)點(diǎn)陣單胞設(shè)計(jì)域進(jìn)行有限元離散。在每個(gè)算例中,ESPSO算法的種群大小設(shè)為N=30,在建立ESPSO的局部近似模型時(shí),BCC,FCC,BCC+FCC三種變截面點(diǎn)陣構(gòu)型的局部近似模型的樣本點(diǎn)數(shù)目分別設(shè)置為大于60,180,240。

5.1 體積模量最大化的變截面點(diǎn)陣優(yōu)化

如表1所示,是材料用量約束分別為0.1和0.3時(shí),體積模量最大化的變截面點(diǎn)陣優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果,包括優(yōu)化后的變截面點(diǎn)陣構(gòu)型、等效彈性張量、體積模量以及與相應(yīng)幾何構(gòu)型的等截面點(diǎn)陣相比的性能提升率。從表1中的優(yōu)化結(jié)果可知,在材料用量約束為0.1或0.3時(shí),優(yōu)化后的變截面點(diǎn)陣單胞的體積模量較相同幾何構(gòu)型的等截面點(diǎn)陣均有顯著提升。如表2所示,是材料用量約束為0.3時(shí),FCC點(diǎn)陣優(yōu)化后的各桿件幾何形狀參數(shù)的最優(yōu)值。雖然優(yōu)化后的各桿徑形狀控制參數(shù)(t1,t2,t3)相差不大,但其對(duì)應(yīng)變截面點(diǎn)陣的體積模量較相同幾何構(gòu)型的等截面點(diǎn)陣提升了7.30%。如圖3所示,是其目標(biāo)函數(shù)的迭代收斂曲線,整個(gè)優(yōu)化迭代過程收斂平穩(wěn),目標(biāo)函數(shù)最終收斂于0.665 62。

表1 體積模量最大化的變截面點(diǎn)陣優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Optimization results of variable cross-section lattice for maximizing bulk modulus

表2 變截面FCC點(diǎn)陣桿件截面幾何形狀參數(shù)最優(yōu)值(f=0.3)Tab.2 Optimum values of cross-section geometric parameters of FCC lattice bar with variable cross-section (f=0.3)

圖3 材料用量約束為0.3時(shí),變截面FCC點(diǎn)陣的目標(biāo)函數(shù)收斂曲線Fig.3 Convergence curve of objective function of FCC lattice with variable cross-section when the material dosage constraint is 0.3

5.2 剪切模量最大化的變截面點(diǎn)陣優(yōu)化

如表3所示,是材料用量約束分別為0.1和0.3時(shí),剪切模量最大化的變截面點(diǎn)陣優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果,包括優(yōu)化后的變截面點(diǎn)陣構(gòu)型、等效彈性張量、剪切模量以及與相應(yīng)幾何構(gòu)型的等截面點(diǎn)陣相比的性能提升率。其中,材料用量約束為0.1時(shí),變截面FCC點(diǎn)陣優(yōu)化后的各桿件截面幾何形狀參數(shù)的最優(yōu)值如表4所示,圖4是目標(biāo)函數(shù)的迭代收斂曲線。根據(jù)表3的優(yōu)化結(jié)果可知,當(dāng)以最大化剪切模量為優(yōu)化目標(biāo)時(shí),在不同材料用量約束下,優(yōu)化后的變截面點(diǎn)陣的剪切模量均優(yōu)于相應(yīng)幾何構(gòu)型的等截面點(diǎn)陣。其中,當(dāng)材料用量約束為0.1時(shí),優(yōu)化后的變截面FCC點(diǎn)陣桿件的幾何形狀最優(yōu)參數(shù)值如表4所示,其對(duì)應(yīng)的變截面FCC點(diǎn)陣的剪切模量較相應(yīng)的等截面點(diǎn)陣提升了9.62%。如圖4所示,是目標(biāo)函數(shù)的迭代收斂曲線,整個(gè)優(yōu)化迭代過程收斂平穩(wěn),目標(biāo)函數(shù)最終收斂于0.037 11。

表3 剪切模量最大化的變截面點(diǎn)陣優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results of variable cross-section lattice for maximizing shear modulus

表4 變截面FCC點(diǎn)陣桿件截面幾何形狀最優(yōu)參數(shù)值 (f=0.1)Tab.4 Optimum parameter values of cross-section geometry of FCC lattice bar with variable cross-section (f=0.1)

圖4 材料用量約束為0.1時(shí),變截面FCC點(diǎn)陣的目標(biāo)函數(shù)收斂曲線Fig.4 Convergence curve of objective function of FCC lattice with variable cross-section when the material dosage constraint is 0.1

上述數(shù)值算例結(jié)果表明,相較于等截面點(diǎn)陣,在相同材料用量下,優(yōu)化后的變截面點(diǎn)陣的體積模量或剪切模量可獲得5% ～ 8%的力學(xué)性能提升效果。這主要得益于構(gòu)建的變截面點(diǎn)陣幾何顯式描述模型,突破了傳統(tǒng)點(diǎn)陣的等截面形狀約束,實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)陣幾何形狀的自由描述,擴(kuò)大了基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法的尋優(yōu)空間。上述結(jié)果和分析也進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提的變截面點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié) 論

(1)本文基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法提出了一種變截面點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法,基于顯式拓?fù)涿枋瞿Ｐ?實(shí)現(xiàn)了變截面點(diǎn)陣幾何形狀的自由描述,基于能量均勻化方法建立了變截面點(diǎn)陣宏觀等效彈性張量關(guān)于其幾何描述參數(shù)的近似響應(yīng)模型,并建立了變截面點(diǎn)陣幾何描述參數(shù)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,采用基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)上述優(yōu)化模型的高效求解。數(shù)值算例表明,相較于等截面點(diǎn)陣,在相同材料用量下,優(yōu)化后的變截面點(diǎn)陣具有更優(yōu)異的力學(xué)性能。

(2)構(gòu)建了基于顯式拓?fù)涿枋龊瘮?shù)的變截面幾何描述模型,突破了傳統(tǒng)點(diǎn)陣的等截面形狀約束,實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)陣幾何形狀的自由描述,為后續(xù)的智能優(yōu)化算法提供了充分的尋優(yōu)空間。

(3)建立了變截面點(diǎn)陣幾何描述參數(shù)關(guān)于其宏觀等效彈性張量的近似響應(yīng)模型,并以此構(gòu)建了變截面點(diǎn)陣幾何描述參數(shù)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,引入基于近似模型輔助的粒子群優(yōu)化算法,進(jìn)一步提高了優(yōu)化求解效率。

(4)本文以BCC,FCC,BCC+FCC三種代表性點(diǎn)陣構(gòu)型驗(yàn)證了所提方法的有效性,但所提方法同樣適用于其他任意構(gòu)型的變截面點(diǎn)陣設(shè)計(jì);同時(shí)本文僅研究了變截面點(diǎn)陣單胞的固有力學(xué)屬性,可在本文研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮結(jié)構(gòu)高承載、強(qiáng)減/隔振等多功能屬性的變截面點(diǎn)陣單胞設(shè)計(jì)。