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        素養(yǎng)導(dǎo)向下的“多邊形的面積”單元整合教學(xué)實踐

        2023-09-01 08:34:04韓夢婷
        關(guān)鍵詞:教學(xué)學(xué)生

        文|韓夢婷

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》指出:“在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系?!倍鴨卧虒W(xué)可以聚焦學(xué)習(xí)困惑,并利用整合的方式,調(diào)整教學(xué)序列,將碎片化的知識連點(diǎn)成線、織線成網(wǎng),讓學(xué)生對知識內(nèi)涵能有一個整體認(rèn)知和深度把握,并發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,拓展數(shù)學(xué)思維。接下來筆者就以“多邊形的面積”單元為例,闡述一下自己的思考。

        一、聚焦困惑,明確單元教學(xué)內(nèi)容

        學(xué)生在學(xué)習(xí)“多邊形的面積”過程中會有怎樣的困惑呢?教師如何基于學(xué)情展開適合的單元整合教學(xué)呢?基于以上思考,筆者進(jìn)行了相關(guān)的教學(xué)實踐研究。

        (一)“多邊形的面積”的單元起始課該從何開啟?

        在“多邊形的面積”單元教學(xué)時,人教版的教材是按照“平行四邊形的面積——三角形的面積——梯形的面積”的順序進(jìn)行推導(dǎo)學(xué)習(xí)的?!捌叫兴倪呅蔚拿娣e”因其教學(xué)起點(diǎn)低,轉(zhuǎn)化方便的特點(diǎn)常常作為本單元的起始課。但在長期的教學(xué)實踐中我們發(fā)現(xiàn),平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化用的是剪拼法,而三角形的面積轉(zhuǎn)化用的是倍拼法,這兩種方法切換跨度大,經(jīng)常讓學(xué)生難以理解。并且平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化方法單一,反而不利于學(xué)生體驗多樣的轉(zhuǎn)化方法,容易造成學(xué)生思維上的定勢。基于以上,筆者思考“平行四邊形的面積”作為單元起始課是否真的利于學(xué)生對于面積的理解呢?

        對比不同版本的教材我們發(fā)現(xiàn),蘇教版和北師大版都不約而同地將“方格圖中的圖形”作為單元起始課,之后再進(jìn)行其他基本圖形的學(xué)習(xí)。這樣的呈現(xiàn)給了筆者新的啟發(fā)。方格圖作為面積度量媒介,不僅能讓學(xué)生體會面積單位的密鋪,更能從不同圖形中揭示面積的本質(zhì)就是面積單位的累加,實現(xiàn)直觀到抽象的轉(zhuǎn)化。學(xué)生可以通過不同圖形的轉(zhuǎn)化,體驗多樣的轉(zhuǎn)化方法,積累不同的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗,讓思維更開放,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。因此,筆者認(rèn)為將“面積單位的度量”作為單元起始課是可行的。

        (二)平面圖形的面積公式需要相互聯(lián)通嗎?

        以往的教學(xué)實踐中,我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于面積公式的運(yùn)用總是會有搞錯搞混的現(xiàn)象。當(dāng)然通過一定程度的記憶和背誦,這樣的現(xiàn)象會逐漸減少,但學(xué)生是否真的明白這些面積公式間的聯(lián)系呢?其實面積的教學(xué)是有很多共通之處的。從學(xué)習(xí)本質(zhì)上,所有圖形面積的本質(zhì)都是面積單位的累加。從思想方式上,這三種圖形都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想,可以將未知的圖形轉(zhuǎn)化成已知的圖形。比如,平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為長方形,三角形可以轉(zhuǎn)化為長方形、平行四邊形,梯形也可以轉(zhuǎn)化為長方形、平行四邊形。甚至,這三種圖形都可以以長方形為依托進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化。從學(xué)習(xí)方法上,它們都可以用切割、拼貼的方法進(jìn)行探究。從教學(xué)工具上,都可以選擇方格圖,因為方格圖不僅是學(xué)生們熟悉的面積度量工具,更是聯(lián)通不同圖形面積關(guān)系的重要媒介。在擁有如此多共同性的情況下,學(xué)生如果要準(zhǔn)確把握平面圖形的面積本質(zhì),形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知,面積公式間的聯(lián)通非常有必要。有了這樣的思考,筆者將五年級下冊“多邊形的面積”單元進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化整合(如下表)。

        整合前整合后教學(xué)內(nèi)容調(diào)整后的教學(xué)目標(biāo)平行四邊形的面積面積單位的度量利用方格圖,掌握不同的轉(zhuǎn)化方法,積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗,并通過探索、歸納,深入理解面積的本質(zhì),培養(yǎng)空間觀念。三角形的面積自主探索平行四邊形、三角形、梯形的面積計算,理解面積公式的含義。體會圖形間的聯(lián)系,進(jìn)一步發(fā)展推理能力和空間觀念。梯形的面積平行四邊形、三角形、梯形的面積三角形、平行四邊形、梯形的面積練習(xí)溝通三角形、平行四邊形、梯形的面積公式間的聯(lián)系,加深理解面積公式,并能靈活運(yùn)用公式,解決相關(guān)的實際問題。

        筆者通過重組序列,調(diào)整了教學(xué)內(nèi)容,但總課時依然不變。筆者希望能在結(jié)構(gòu)化整合后進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑,提升學(xué)生在探索面積公式時的自主性和進(jìn)階性,讓學(xué)生在激活轉(zhuǎn)化、提煉面積公式后溝通平面圖形面積間的聯(lián)系,讓學(xué)生能夠深入面積的本質(zhì),達(dá)到學(xué)生知識和技能方面的提升,更培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、探究能力,形成系統(tǒng)性、深刻性、靈活性的多元思維,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。接下來就以“多邊形的面積”為例具體闡述筆者是如何實施單元教學(xué)的。

        二、調(diào)整序列,定位教學(xué)實施策略

        (一)激活:探索中積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗

        1.等積變形,感悟面積度量本質(zhì)

        數(shù)學(xué)上常常會用任務(wù)驅(qū)動,結(jié)合結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)素材驅(qū)動學(xué)生展開想象,使學(xué)習(xí)能力不同的學(xué)生能有不同的學(xué)習(xí)收獲。以“面積單位的度量”為例,為了達(dá)成“深入理解面積本質(zhì)”“掌握不同轉(zhuǎn)化方法”的學(xué)習(xí)目標(biāo),筆者作了如下設(shè)計(如下表)。

        結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)素材目標(biāo)指向下面圖形的面積哪個最大?哪個最???請說明你的理由。(每個小方格的面積是1cm2)②①④③⑥⑤⑧⑦⑨①不規(guī)則圖形的面積計算,將不完整方格轉(zhuǎn)化成完整方格,并進(jìn)行疊加。②割補(bǔ)法,感悟面積是面積單位的累加。③⑥等底同高,可以重看比較。且底和高都為奇數(shù),體現(xiàn)割補(bǔ)法的局限性,突顯倍拼法。④與③⑥同為等底的直角三角形,但高是偶數(shù)。⑤是圖形比較的基礎(chǔ)。⑦⑧⑨割補(bǔ)法和倍拼法,實現(xiàn)靈活轉(zhuǎn)化。

        這些圖形之間既有關(guān)聯(lián)又有區(qū)別,有利于學(xué)生的對比和分析。通過一個開放性和挑戰(zhàn)性的任務(wù),有些學(xué)生會犯難不規(guī)則的圖形面積怎么比;看上去差不多大的面積如何比;怎樣比才最方便;割補(bǔ)完之后發(fā)現(xiàn)面積不準(zhǔn)確又怎么辦?在完成任務(wù)時,不斷的疑惑驅(qū)動學(xué)生主動思考,引發(fā)了學(xué)生的求知欲,并在不斷的“問題——解決”中,讓學(xué)生感悟到面積的本質(zhì),優(yōu)化了面積單位的數(shù)法。

        2.化零為整,體驗多樣轉(zhuǎn)化方法

        學(xué)生的生成資源是寶貴的財富,教師只有用好這些學(xué)習(xí)素材,才能讓學(xué)生更易理解、更易接受。就如“面積單位的度量”的任務(wù)中,學(xué)生的反饋也是有層次的。從觀察法到重疊法,當(dāng)兩種方法都沒法比的時候,就出現(xiàn)了數(shù)格法。又從一個一個拼這樣零散的數(shù),到之后學(xué)生認(rèn)為這樣的方法太麻煩,產(chǎn)生了學(xué)習(xí)沖突,從而優(yōu)化到整塊的割補(bǔ)。再到直角三角形,學(xué)生發(fā)現(xiàn)不論零散的拼、割補(bǔ)的拼都不夠精確時,感受到割補(bǔ)法也是有局限的,迫使學(xué)生創(chuàng)造出翻倍的拼。這樣的優(yōu)化、創(chuàng)造正是學(xué)生在不斷地認(rèn)知矛盾中,化零為整,逐步完善的過程。而之后的每個圖形,學(xué)生通過類比、推理等方式,出現(xiàn)了多樣的轉(zhuǎn)化方法。甚至學(xué)生在理解之后發(fā)現(xiàn)等底不同高也能比,出現(xiàn)了更多的比法。這是學(xué)生在積累之后的應(yīng)用,更是學(xué)生思路開闊的體現(xiàn)。

        3.問題驅(qū)動,領(lǐng)悟面積關(guān)鍵要素

        “轉(zhuǎn)化之后的圖形與原來的圖形有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎?”這一問題驅(qū)動了學(xué)生對面積的深入思考,讓學(xué)生帶著目的重新去看這些圖形,會給學(xué)生不一樣的感受。通過交流思辨,學(xué)生發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化方法是不同的,一開始是一個一個拼,又因為“拼起來麻煩”,變成了“整塊割整塊補(bǔ)”,之后發(fā)現(xiàn)整塊割補(bǔ)不夠準(zhǔn)確,出現(xiàn)了“倍拼”。但在不同中又有相同,首先轉(zhuǎn)化前后的面積是相同的,并且不論如何轉(zhuǎn)化都是為了將“不完整的格子”變成“完整的格子”,方便數(shù)數(shù)。這里的指向就是面積的本質(zhì)——面積單位的累加。其次學(xué)生發(fā)現(xiàn)不論如何轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為長方形是最方便數(shù)的。之后再追問,“變成長方形后,什么沒變?”學(xué)生通過一一對比知道,長方形的長就是底,而寬就是高。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了直角三角形等底不同高的秘密,有了新的感悟。至此,面積計算的關(guān)鍵要素——底和高,也在交流與思辨中被學(xué)生領(lǐng)悟。

        (二)內(nèi)化:化歸中提煉面積公式

        1.選取,基于思辨之后的取舍

        方格圖是學(xué)生測量面積的重要依托,但是脫離方格圖之后,學(xué)生能否選擇合適的度量工具以及合適的數(shù)據(jù)進(jìn)行面積的計算,這對于學(xué)生來講又是一個挑戰(zhàn)。因此,筆者設(shè)計了以下學(xué)習(xí)任務(wù)。

        面對這樣的任務(wù),學(xué)生的第一反應(yīng)就是量。那么量什么呢?有些學(xué)生將每條邊的邊長量了出來,有些學(xué)生量了所有的底和高,有些學(xué)生只量了一組底和高。對比不同的量法,引導(dǎo)學(xué)生針對以下問題進(jìn)行思考:計算面積需要量出所有的邊嗎?為什么要量出底和高呢?每一組的底和高都要量嗎?學(xué)生們的回答令人欣喜,在這樣的思辨當(dāng)中他們將如何選取數(shù)據(jù)、如何轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)化前后的關(guān)系越辨越明了。選取背后是學(xué)生對于面積的理解。通過思辨,明晰了面積轉(zhuǎn)化的過程,加深了底和高對于面積計算的重要性,正確地取舍更是學(xué)生在深入理解后產(chǎn)生的自然結(jié)果。

        2.規(guī)范,基于分析之后的明晰

        面積公式是數(shù)學(xué)上的規(guī)定,我們常常需要告知學(xué)生這些規(guī)定,但有時規(guī)定是在自然而然中形成的。就像特級教師俞正強(qiáng)曾說:“數(shù)學(xué)上有許多規(guī)定,這些規(guī)定似乎是硬邦邦的,需要被重復(fù)、被強(qiáng)化。事實上,數(shù)學(xué)的許多規(guī)定是有道理的,而且道理是十分有意思的。”我們只要給足時間讓學(xué)生充分探索、互相交流,明晰其中的道理,規(guī)定自然會出現(xiàn)在學(xué)生的心里。

        在知道底和高的重要性之后,學(xué)生需要的就是根據(jù)圖形的特征和轉(zhuǎn)化的過程進(jìn)行面積的計算。而三角形和梯形的面積計算中出現(xiàn)了“÷2”,根據(jù)不同的轉(zhuǎn)化方法,學(xué)生知道了,有時除以2 是高折半,有時除以2是底折半,有時除以2 是面積折半,但不管是哪種情況造成的結(jié)果都是“底×高÷2”。在如此分析之后,學(xué)生對于面積公式的產(chǎn)生有了深刻的感悟,面積公式的規(guī)范就是對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的明晰。

        (三)聯(lián)通:比較中聯(lián)通內(nèi)在聯(lián)系

        1.在橫向聯(lián)系中完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

        經(jīng)歷多種圖形的轉(zhuǎn)化后,學(xué)生需要利用多個素材的異同對比,激發(fā)深層次的思考。通過幾個面積公式比較,學(xué)生發(fā)現(xiàn)“面積都與底和高相關(guān)”“面積都可以通過翻倍和割補(bǔ)將原圖形轉(zhuǎn)化成長方形”“三角形和梯形的面積要除以2,而平行四邊形的面積不需要除以2”。其實不管怎么拼,都是為了方便面積單位的“數(shù)”。既然有這么多關(guān)聯(lián),這些面積公式能否用同一個公式來替代呢?學(xué)生的選擇是(上底+下底)×高÷2,因為長方形、正方形、平行四邊形的上底和下底是相等的,三角形的上底為0。

        教師的對比質(zhì)疑、反思總結(jié)是互聯(lián)的手段,用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行分析思考、引領(lǐng)點(diǎn)撥,可以加深學(xué)生對面積公式的理解,促進(jìn)學(xué)生主動思考、深入研究,幫助學(xué)生找到知識間的關(guān)聯(lián),明晰知識背后的內(nèi)在規(guī)律,建立起結(jié)構(gòu)化的知識體系。

        2.在拓展延伸中打破思維定勢

        知識間的聯(lián)系不僅在反思總結(jié)中存在,也可以在練習(xí)拓展中進(jìn)行延伸,因此筆者設(shè)計了以下練習(xí)。

        練習(xí)拓展:佩奇一家要去采桃子,有下面四塊菜地,怎樣才能最快找出最大的菜地呢?

        這個練習(xí)的關(guān)鍵在于“比”。如何比?以往學(xué)生會選擇“算”,因為算最簡單,只需機(jī)械重復(fù)的應(yīng)用公式就可以了。但是這里的比是需要學(xué)生進(jìn)行分析與思考的,在理解知識的本質(zhì)與關(guān)聯(lián)后才能找到同高的“秘密”,且下底也是相同的,那只要比較上底就好了,而上底最大是6,最小是0,這就是對于面積同一公式的靈活運(yùn)用。練習(xí)的意義在于提升和拓展,學(xué)生從“算”到“不算”其實就是打破思維的慣性,明晰內(nèi)在的規(guī)律,學(xué)會應(yīng)用的體現(xiàn)。

        綜上所述,單元教學(xué)是在充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑后,利用知識間的關(guān)聯(lián)重新整合,調(diào)整教學(xué)序列,通過激活學(xué)生的原有經(jīng)驗,內(nèi)化學(xué)生的度量方法,聯(lián)通知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu),使學(xué)生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系,讓數(shù)學(xué)變得更有道理!

        【本文為“第十五屆全國小學(xué)教學(xué)特色設(shè)計論文大賽”獲獎作品】

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