彭 斌, 劉慧鑫, 陶耀輝

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730050)

渦旋壓縮機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、噪聲低、效率高等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于制冷、醫(yī)療、食品等行業(yè)[1].傳統(tǒng)由基圓漸開線構(gòu)成的渦旋壓縮機(jī)在幾何理論、熱動(dòng)力學(xué)模型及優(yōu)化等方面的研究已經(jīng)趨于成熟[2].而變徑基圓渦旋壓縮機(jī)較高的齒頭強(qiáng)度、較低的齒高、較小的渦旋齒質(zhì)量使得其具有更好的綜合性能[3-4].

目前,對(duì)變徑基圓渦旋壓縮機(jī)的研究主要集中在型線設(shè)計(jì)及幾何模型推導(dǎo)層面,田亞永[5]利用微分幾何共軛曲面理論,證明了變徑基圓漸開線作為渦旋型線的可行性;丁佳男等[6]推導(dǎo)了漸開線發(fā)生角是否在X軸起始位置的兩種變基圓渦旋型線的雙圓弧齒頭修正幾何模型;王吉岱等[7]構(gòu)建了變基圓渦旋膨脹機(jī)的幾何模型并推導(dǎo)了各膨脹腔的容積計(jì)算公式;唐景春等[8]推導(dǎo)了變徑基圓型線齒頭雙圓弧加直線修正幾何模型,研究了修正角度對(duì)修正齒軸向投影面積及內(nèi)壓比的影響.

對(duì)渦旋壓縮機(jī)的優(yōu)化主要集中在幾何參數(shù)的研究,采用的方法主要為線性加權(quán)法、pareto支配法.陳進(jìn)等[9]首次提出了利用多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化渦旋型線參數(shù)的方法;彭斌等[10]推導(dǎo)了單渦圈雙圓弧及雙圓弧加直線修正齒頭的幾何模型,借助多目標(biāo)遺傳算法對(duì)各參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化分析;Peng等[11]利用改進(jìn)的遺傳算法對(duì)低壓比的雙渦圈渦旋壓縮機(jī)的比功率及型線參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化選取;劉濤等[12]基于自適應(yīng)的NSGA-II算法,以軸向力與內(nèi)容積比為優(yōu)化目標(biāo),對(duì)變截面渦旋壓縮機(jī)性能進(jìn)行了優(yōu)化研究.

以上對(duì)渦旋壓縮機(jī)的研究主要集中在等壁厚圓漸開線渦旋類型且關(guān)于變徑基圓渦旋壓縮機(jī)幾何模型的研究,存在著模型不完善、不精確等問題.同時(shí)對(duì)變徑基圓渦旋壓縮機(jī)的優(yōu)化研究考慮的約束較少[13].因此,本文在完善變徑基圓渦旋壓縮機(jī)幾何模型的基礎(chǔ)上,嘗試構(gòu)建一種考慮約束條件的多目標(biāo)優(yōu)化分析模型,為變徑基圓渦旋壓縮機(jī)的優(yōu)化研究及定量分析提供進(jìn)一步的理論參考.

1 變徑基圓渦旋壓縮機(jī)的幾何模型

1.1 變徑基圓渦旋壓縮機(jī)渦旋齒的幾何模型

變徑基圓渦旋壓縮機(jī)渦旋齒結(jié)構(gòu)是由相位差為π的動(dòng)靜渦旋齒構(gòu)成,其基本幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示,根據(jù)法向等距原理[14]推導(dǎo)其動(dòng)渦旋齒型線方程如下.

表1 基本幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Basic geometric parameters

動(dòng)渦旋齒外側(cè)型線方程:

(1)

式中:c=δ0/a0.

動(dòng)渦旋齒內(nèi)側(cè)型線方程:

(2)

Rob=a0(π-αin-αou)+

(3)

根據(jù)表1所示基本幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)構(gòu)建的齒頭修正變徑基圓渦旋壓縮機(jī)在吸氣結(jié)束時(shí)刻的動(dòng)、靜渦旋齒嚙合幾何模型如圖1(a)所示,工作腔從外到內(nèi)依次為第3壓縮腔、第2壓縮腔及中心腔, 嚙合三維模型如圖1(b)所示.

圖1 動(dòng)靜渦旋齒幾何模型Fig.1 Schematic diagram of geometrical model of orbiting and fixed scroll teeth

由于變徑基圓渦旋齒在不同展角處的基圓半徑及齒厚都不相同,其齒頭修正方法與普通圓漸開線渦旋齒齒頭雙圓弧修正有一定的差異,文獻(xiàn)[3]中給出了其修正原理示意如圖2(a)所示.圖中:t1,t2,t3為齒頭部分3處齒厚的大小;Rin,Rou為修正圓弧及連接圓弧半徑;aou為漸開線展角Φ處對(duì)應(yīng)的基圓半徑;ρou為外型線的曲率半徑;γ,β,λ,d1為修正角度及距離參數(shù).在此基礎(chǔ)上,利用面積分塊法推導(dǎo)其修正齒面積如圖2(b)所示.圖中,Sbj為單個(gè)完整渦旋齒未修正部分面積.

圖2 雙圓弧齒頭修正原理及齒頭面積計(jì)算模型Fig.2 Modification principle and teeth head area calculation model of double-arc modification

修正齒軸向投影面積為

Sm=S1+S2-S3+S4

(4)

式中:S1為扇形BEC的面積;S3為扇形A′FB的面積;S2為漸開線扇形EHC面積;S4為漸開線扇形OHPO與三角形POF的面積和.

1.2 變徑基圓渦旋壓縮機(jī)3種工作腔容積求解方法比較分析

準(zhǔn)確且簡(jiǎn)便的渦旋壓縮機(jī)工作腔容積變化規(guī)律是其幾何模型及熱動(dòng)力學(xué)模型建立與求解的關(guān)鍵,目前常用的求解方法有法向等距法[15]、圖解法以及格林定理法[16].利用格林定理不難推導(dǎo)封閉壓縮工作腔的軸向投影面積為

(5)

式中:xf,in,yf,in為靜渦旋齒內(nèi)側(cè)型線方程.

當(dāng)φou=φe時(shí)有:

(6)

因此,單個(gè)吸氣腔軸向投影面積計(jì)算公式為

As=A(φe)

(7)

壓縮腔投影面積隨主軸轉(zhuǎn)角θ的變化規(guī)律為

A(θ)=A(φe-θ)

(8)

對(duì)表1所示渦旋壓縮機(jī)的基本幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)利用3種求解方法進(jìn)行求解比較分析,其示意如圖3所示.

圖3 不同容積求解方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of calculation results of different working chamber volume solving methods

由圖3可見,利用3種方法求解的壓縮腔軸向投影面積變化規(guī)律高度一致.對(duì)3個(gè)不同轉(zhuǎn)角位置(如圖3中1, 2, 3)所示的曲線放大觀察,格林定理法與圖解法的誤差較小而法向等距與其兩者的誤差相對(duì)較大,在這3個(gè)位置處格林定理法與圖解法的誤差分別為 0.036%、0.055%及 0.042 3%,主要原因是作圖時(shí)的測(cè)量誤差;法向等距法與圖解法的誤差分別為0.106%、0.128%及 0.078 4%.兩者產(chǎn)生差異的原因是格林定理法的計(jì)算過程是直接利用生成變徑基圓渦旋齒的型線參數(shù)方程進(jìn)行代入求解,因此,誤差相對(duì)較小;而法向等距法進(jìn)行了幾何等效處理,在平移組成封閉工作腔的內(nèi)外型線時(shí)會(huì)造成微小的面積偏移誤差,格林定理法雖然精度較高,但由于組成封閉工作腔的型線類型在不斷變化,對(duì)于吸氣過程及后續(xù)壓縮過程面積的推導(dǎo)極其抽象復(fù)雜[17].相反,法向等距法由于其簡(jiǎn)單易懂且精度滿足要求,廣泛應(yīng)用于變壁厚渦旋壓縮機(jī)的幾何模型快速建立中.

對(duì)3組不同幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)的變徑基圓渦旋壓縮機(jī)進(jìn)行計(jì)算分析,研究其吸氣結(jié)束時(shí)刻的單腔軸向投影面積的大小,計(jì)算結(jié)果如表2所示.表中幾何參數(shù)1來源于表1,幾何參數(shù)2和3分別來源于文獻(xiàn)[18]和[19].

表2 單腔軸向投影面積

從表2可知,3組不同幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)的變徑基圓渦旋壓縮機(jī)的吸氣終了軸向投影面積大小滿足圖3所示的變化規(guī)律,再次證明了以上關(guān)于幾何分析的正確性及通用性.

1.3 完整工作腔容積的變化規(guī)律

文獻(xiàn)[15]中利用法向等距法給出了變徑基圓渦旋壓縮機(jī)壓縮腔及排氣腔容積的計(jì)算公式,對(duì)相應(yīng)公式進(jìn)行坐標(biāo)變換及利用法向等距法推導(dǎo)出吸氣腔的容積V0,計(jì)算公式如下.

當(dāng)0≤θ≤2π時(shí),

V0=2HRob{L0+δ0[(φe-π-θ)δ1-

(φe-π)δ1-54.789 1sinθ]}

(9)

式中:H為齒高;L0為基線長(zhǎng),

L0=

(10)

行程容積為

Vs=2HAs=V0(2π)

(11)

式中:V0(2π)為θ=2π時(shí)V0的函數(shù)值.

理論內(nèi)壓縮比為

(12)

式中:θd為開始排氣角;V(θd)為θ=θd時(shí)完整工作腔容積V的函數(shù)值;k為絕熱指數(shù).

由于渦旋壓縮機(jī)的實(shí)際動(dòng)、靜渦旋盤是沿著齒高(軸向)方向進(jìn)行拉伸生成的,所以工作腔容積及渦旋齒體積的計(jì)算為相應(yīng)幾何體的軸向投影面積與齒高的乘積,為了使得計(jì)算量減小,令H取值為 1 mm,但不影響變徑基圓渦旋壓縮機(jī)工作腔容積及相應(yīng)幾何模型變化規(guī)律的趨勢(shì)及精確程度.利用MATLAB數(shù)值計(jì)算軟件對(duì)表1所示參數(shù)的變徑基圓渦旋壓縮機(jī)進(jìn)行編程計(jì)算,得到其從吸氣開始到排氣結(jié)束的完整工作腔容積V變化規(guī)律如圖4所示.

圖4 工作腔容積及其變化率變化規(guī)律Fig.4 Evolution and derivative of working chamber volume with orbiting angle

圖4(a)所示為變徑基圓渦旋壓縮機(jī)完整工作腔容積隨主軸轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律.同其他類型渦旋壓縮機(jī)一致,在吸氣階段,工作腔容積逐漸增大至峰值然后小幅度的減小直到吸氣腔完全閉合,隨著壓縮階段的逐漸進(jìn)行,工作腔容積持續(xù)減小直到動(dòng)靜渦旋齒達(dá)到最終嚙合點(diǎn)即主軸轉(zhuǎn)角為θd時(shí),第2壓縮腔與中心腔相連通進(jìn)入排氣階段,持續(xù)到排氣腔容積減小為0,排氣過程結(jié)束.圖4(b)所示為工作腔容積的變化率隨著主軸轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律.由圖可知,各個(gè)階段工作腔容積的變化速率存在明顯差異,吸氣階段,工作腔容積先增加較快,當(dāng)dV/dθ=0時(shí),吸氣腔容積達(dá)到最大,隨后,dV/dθ<0,工作腔容積逐漸減小一直到排氣過程結(jié)束.

1.4 齒面積利用率計(jì)算模型

由于變徑基圓渦旋壓縮機(jī)的渦旋齒壁厚逐漸變化,屬于漸變壁厚渦旋類型,且渦旋齒的面積利用率能夠衡量其材料的使用率[20-21],同時(shí)也能間接反映工作腔軸向投影面積的大小及汽車空調(diào)用渦旋壓縮機(jī)輕量化的要求,齒面積利用率越小,耗材越少,質(zhì)量越小.定義齒面積利用率ζ為動(dòng)靜渦旋齒的齒面積和占兩者嚙合所需最小盤面積的大小,計(jì)算示意如圖5所示.

圖5 齒面積利用率計(jì)算模型Fig.5 Calculation model of area utilization rate

動(dòng)、靜渦旋齒嚙合所需最小盤徑[3]:

(13)

動(dòng)、靜渦旋齒面積:

So=Sf=Sx

(14)

Sx=Sbj+Sm

(15)

式中:Sm為齒頭采用雙圓弧修正的修正齒軸向投影面積.

因此,齒面積利用率為

不同初始基圓半徑a0對(duì)應(yīng)的齒面積利用率隨基圓半徑變化系數(shù)δ0的變化如圖5(b)所示.從圖中可知,隨著δ0的增大,齒面積利用率均呈非線性的增大趨勢(shì),且增大速率越來越慢.不同基圓半徑對(duì)應(yīng)的變化規(guī)律曲線匯聚于δ0=0點(diǎn),δ0<0時(shí),ζ與a0成正比;δ0>0時(shí),ζ與a0成反比.同理,隨著αin的增大,ζ也相應(yīng)增大.因此,合理地選擇型線參數(shù)對(duì)齒面積利用率指標(biāo)有著重要影響.

2 型線參數(shù)對(duì)齒面積利用率及行程容積的影響

為了研究各型線參數(shù)對(duì)變徑基圓渦旋壓縮機(jī)幾何性能的影響程度大小,為后續(xù)的優(yōu)化分析確定最佳的決策變量,定義行程容積與齒面積利用率的靈敏度模型為

(16)

(17)

式中:Xi=[x1x2x3x4x5x6]T=[a0δ0αinΦφeH]T.

行程容積及齒面積利用率的靈敏度模型如圖6所示,從圖6(a)可知,a0,δ0,φe,H與行程容積之間為正比關(guān)系,αin與其為反比關(guān)系,修正展角Φ對(duì)其幾乎沒有影響;從圖6(b)可知,a0,δ0,αin與齒面積利用率之間為正比關(guān)系,而Φ,φe,H對(duì)其幾乎不產(chǎn)生影響,δ0,αin對(duì)兩種幾何性能的影響遠(yuǎn)大于其他參數(shù),且基圓半徑變化系數(shù)的影響最大.

圖6 靈敏度分析模型Fig.6 Model of sensitivity analysis

3 多目標(biāo)優(yōu)化分析模型的建立與求解

基于建立的變徑基圓渦旋壓縮機(jī)幾何模型,對(duì)某款汽車空調(diào)用變基圓半徑漸開線渦旋壓縮機(jī)[18]幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)及性能進(jìn)行優(yōu)化分析,比較不同優(yōu)化算法求解性能指標(biāo)的差異.

3.1 目標(biāo)函數(shù)及決策變量的確定

從上述分析知,δ0,αin對(duì)行程容積及齒面積利用率的影響尤其顯著,且Vs與ζ之間不能同時(shí)取得最優(yōu),存在明顯的沖突關(guān)系.因此,選取Vs與ζ為優(yōu)化目標(biāo),δ0,αin為優(yōu)化決策變量.

3.2 約束條件的確定

(1) 變徑基圓渦旋壓縮機(jī)常用于汽車空調(diào)等領(lǐng)域[11].因此,動(dòng)靜渦旋齒的最小嚙合盤徑定為

80 mm≤Dmin≤150 mm

(18)

(2) 采用法向等距法生成渦旋齒,回轉(zhuǎn)半徑大小會(huì)影響齒厚大小及內(nèi)外型線位置.因此,將其定為

a0≤Rob≤2a0

(19)

(3) 為了使得優(yōu)化分析有意義,須保證優(yōu)化分析之后的內(nèi)壓縮比不小于優(yōu)化前的內(nèi)壓縮比.因此,將其定為

ε0≥ε

(20)

(4) 考慮到變徑基圓渦旋壓縮機(jī)在φe處渦旋齒的強(qiáng)度及剛度,將該處齒厚t(φe)定為

1 mm≤t(φe)=[(xm,in(φe-π)-

xm,ou(φe))2+(ym,in(φe-π)-

ym,ou(φe))2]1/2≤3 mm

(21)

(5) 為了使得渦旋壓縮機(jī)的壁厚變化規(guī)律適應(yīng)工質(zhì)在工作腔內(nèi)壓力、溫度向中心腔靠近逐漸增大的變化規(guī)律,將基圓半徑變化系數(shù)定為

-1≤δ0≤0

(22)

3.3 求解結(jié)果及比較分析

多目標(biāo)優(yōu)化算法與傳統(tǒng)的線性加權(quán)法相比,能夠把可供決策者選取的多組解以非劣解集的形式可視化,更具優(yōu)勢(shì).多目標(biāo)遺傳算法(NSGA-II)及多目標(biāo)粒子群(MOPSO)算法是在傳統(tǒng)遺傳算法及粒子群算法的基礎(chǔ)上,加入了非支配排序算子,超體積(HV)、反世代距離(IGD)、計(jì)算時(shí)間(T)能夠衡量算法的優(yōu)劣,HV值越大,IGD值越小,時(shí)間越短,算法越優(yōu)秀.表3所示為以上兩種算法求解標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)BT1的相關(guān)性能指標(biāo)對(duì)比.從表3可知,在相同種群數(shù)量及迭代次數(shù)的條件下,NSGA-II在計(jì)算時(shí)間、HV及IGD指標(biāo)均優(yōu)于MOPSO.圖7所示為多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA-II及MOPSO求解標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)BT1(f1,f2為其兩個(gè)目標(biāo)函數(shù))的結(jié)果.由圖可見,MOPSO求解[22]獲得的pareto前沿均勻性及準(zhǔn)確性均差于NSGA-II對(duì)應(yīng)的求解結(jié)果.因此,對(duì)于測(cè)試函數(shù)BT1, NSGA-II更具優(yōu)勢(shì).圖8(a)所示為只考慮δ0,αin上下邊界約束條件的求解結(jié)果,由圖可知,對(duì)于較少的決策變量,MOPSO與NSGA-II能解得差異極小的非劣解集,但MOPSO對(duì)應(yīng)解的分布均勻性弱于NSGA-II, 且計(jì)算時(shí)間為12.70 s,多于11.11 s.圖8(b)為考慮非線性約束條件的求解結(jié)果,其計(jì)算時(shí)間為25.56 s,雖計(jì)算效率弱于圖8(a)中的結(jié)果,但求解的非劣解集更精確,范圍更小,決策者選取優(yōu)秀的解也更容易.從圖8(b)中選取一組非劣解及其對(duì)應(yīng)的型線參數(shù)與優(yōu)化前作對(duì)比,如表4所示.

圖7 測(cè)試函數(shù)求解結(jié)果Fig.7 Solutions to test function

圖8 優(yōu)化分析模型求解結(jié)果Fig.8 Solutions to optimization analysis model

表3 性能指標(biāo)對(duì)比 Tab.3 Comparison of performance indicators

表4 優(yōu)化型與優(yōu)化前幾何性能對(duì)比

由表4可知,優(yōu)化分析之后的優(yōu)化型在滿足內(nèi)壓比的條件下,較優(yōu)化前,行程容積增大了6.95%,齒面積利用率下降了4.26%,證明了本優(yōu)化分析模型的實(shí)用性.同時(shí),在本優(yōu)化分析模型及測(cè)試函數(shù)上,NSGA-II綜合性能均優(yōu)于MOPSO.

4 結(jié)語

完善了變徑基圓渦旋壓縮機(jī)的幾何模型,給出了其完整工作過程的容積變化規(guī)律,討論了格林定理法、圖解法及法向等距法計(jì)算結(jié)果的差異性,3種方法的計(jì)算結(jié)果誤差小,均可用于變徑基圓渦旋壓縮機(jī)幾何模型的求解,但法向等距法更簡(jiǎn)單易懂.建立了變徑基圓渦旋壓縮機(jī)齒面積利用率的計(jì)算模型,分析了各幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)行程容積及齒面積利用率的影響程度,發(fā)現(xiàn)基圓半徑變化系數(shù)及內(nèi)側(cè)型線發(fā)生角的影響尤為顯著.構(gòu)建了一種以Vs與ζ為優(yōu)化目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化分析模型,優(yōu)化分析之后的性能均優(yōu)于優(yōu)化前,且優(yōu)化算法NSGA-II較MOPSO更具優(yōu)勢(shì),該模型能為變徑基圓渦旋壓縮機(jī)的優(yōu)化研究提供進(jìn)一步的理論參考.