郭 亮 牛一斐

1（蘭州大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 蘭州 730000）

2（蘭州大學(xué) 稀有同位素前沿科學(xué)中心 蘭州 730000）

在多體關(guān)聯(lián)體系中，配對(duì)是一種普遍存在的現(xiàn)象。對(duì)于由質(zhì)子和中子通過強(qiáng)相互作用［1-2］組成的原子核體系，核子之間的對(duì)相互作用可分為同位旋矢量（T= 1）與同位旋標(biāo)量（T= 0）道。同位旋矢量對(duì)相互作用存在于質(zhì)子-質(zhì)子、中子-中子與質(zhì)子-中子之間，其中，質(zhì)子-質(zhì)子與中子-中子間的對(duì)相互作用［3］對(duì)開殼核大塊性質(zhì)的描述［4-5］以及弱束縛體系的形成［6-8］十分重要。由于核力［9］的電荷無(wú)關(guān)性，同位旋矢量的質(zhì)子-中子對(duì)力應(yīng)等于質(zhì)子-質(zhì)子或中子-中子之間的對(duì)力［10］。同位旋標(biāo)量對(duì)相互作用則僅存在于質(zhì)子-中子之間，目前實(shí)驗(yàn)上還沒有能夠直接聯(lián)系同位旋標(biāo)量對(duì)力的可觀測(cè)量。對(duì)于質(zhì)子數(shù)與中子數(shù)不相等（N≠Z）的體系，由于質(zhì)子與中子的費(fèi)米面位于不同的單粒子軌道，原子核基態(tài)的質(zhì)子-中子對(duì)力通常不起作用。然而，對(duì)于原子核的自旋-同位旋激發(fā)，即使對(duì)于N≠Z的體系，也需要考慮質(zhì)子-中子對(duì)相互作用［10］。

原子核的自旋-同位旋激發(fā)可以對(duì)核力信息提供有效限制。原子核自旋-同位旋激發(fā)的主要模式包括伽莫夫-泰勒（Gamow-Teller，GT）激發(fā)和自旋-偶極（Spin-dipole，SD）激發(fā)。實(shí)驗(yàn)上，F(xiàn)ujita 等［11-12］通過電荷交換實(shí)驗(yàn)42Ca→42Sc 發(fā)現(xiàn)，其GT 躍遷的大部分躍遷強(qiáng)度集中在42Sc 位于0.6 MeV 的最低激發(fā)態(tài)，從而發(fā)現(xiàn)了低能量GT 聲子激發(fā)的存在。這反映了42Ca 中SU（4）對(duì)稱性的恢復(fù)，這一低能量激發(fā)態(tài)被稱為超級(jí)GT 態(tài)。為了解釋這一實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，Bai等［13］利用自洽的Skyrme Hartree-Fock-Bogoliubov+準(zhǔn)粒子無(wú)規(guī)相位近似（SHFB+QRPA（Quasi-particle Random Phase Approximation））模型進(jìn)行計(jì)算，表明了同位旋標(biāo)量對(duì)力的引入能夠重現(xiàn)42Sc中低能量超級(jí)GT 態(tài)。Sun 等［14］通過大規(guī)模殼模型計(jì)算也得出了相同的結(jié)論，即同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)于42Sc 中態(tài)的形成十分重要。對(duì)于原子核中的SD躍遷，同位旋標(biāo)量對(duì)力的研究尚十分缺乏。Yoshida 等［15］采用三體模型研究了零程同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)SD 躍遷強(qiáng)度分布的影響，表明同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)于SD躍遷中具有較高軌道角動(dòng)量且主量子數(shù)相同的組態(tài)影響較大。

無(wú)規(guī)相位近似（Random Phase Approximation，RPA）理論可以研究核素圖上除少數(shù)輕核之外的所有原子核，被廣泛應(yīng)用于原子核集體激發(fā)的研究。在RPA理論中，模型的自洽性要求采用同一個(gè)能量密度泛函對(duì)原子核的基態(tài)和激發(fā)態(tài)進(jìn)行描述。自洽性是恢復(fù)被平均場(chǎng)近似破壞的對(duì)稱性、去除物理激發(fā)態(tài)中的假態(tài)以及將理論結(jié)果外推到實(shí)驗(yàn)未知區(qū)域的關(guān)鍵［16-17］。根據(jù)不同的密度泛函，RPA 理論可分為非相對(duì)論RPA［18-21］和相對(duì)論RPA［22-24］。協(xié)變密度泛函理論對(duì)于原子核的基態(tài)和激發(fā)態(tài)的研究都取得了巨大的成功［25-29］?；谙鄬?duì)論Hartree-Bogoliubov（RHB）或相對(duì)論Hartree-Fock-Bogoliubov（RHFB）模型，建立了質(zhì)子-中子QRPA模型［30-31］，并探討了同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)GT 躍遷［30-33］與β 衰變的影響［32-35］。然而，同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)SD 躍遷的影響以及N≈Z原子核中的低能量超級(jí)GT 態(tài)尚未被研究。因此，本文將利用RHB+QRPA 模型研究同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)42Ca中β-方向的GT（GT-）躍遷和SD（SD-）躍遷的影響。

1 理論框架

1.1 QRPA方程

相對(duì)論的QRPA 方程可以由時(shí)間依賴的RHB模型通過小振幅近似得到［23］，其等價(jià)于線性Bethe-Salpeter 方程［17］。線性Bethe-Salpeter 方程在動(dòng)量空間或坐標(biāo)空間為積分方程。由于QRPA方程一般寫在正則單粒子基空間，此時(shí)積分變?yōu)榱藢?duì)正則基指標(biāo)的求和。對(duì)于球形偶偶核，角動(dòng)量耦合形式的質(zhì)子-中子相對(duì)論QRPA（PNQRPA）方程可寫為：

矩陣AJ和BJ的矩陣元在正則基下的表達(dá)式為

其中：p和n分別表示正則基下的質(zhì)子態(tài)和中子態(tài)；up，n和vp，n為正則基下單粒子軌道的非占據(jù)與占據(jù)振幅；Hpp'和Hnn'由單核子哈密頓量hD以及對(duì)場(chǎng)Δ組成，其形式為（κκ'=pp'或者nn'）。

為了保證QRPA 模型的完備性，其組態(tài)空間不僅考慮了來(lái)自費(fèi)米海中的質(zhì)子-中子對(duì)，還包含了由費(fèi)米海中完全占據(jù)或部分占據(jù)態(tài)與狄拉克海中的負(fù)能態(tài)所組成的質(zhì)子-中子對(duì)。狄拉克海中負(fù)能態(tài)的組態(tài)的考慮對(duì)于Ikeda 求和規(guī)則的滿足十分重要［36，30］。在PNQRPA方程（1）中，Eν為激發(fā)態(tài)|νJ的本征能量，而和則為激發(fā)態(tài)|νJ的兩準(zhǔn)粒子躍遷振幅。矩陣AJ和BJ中的為質(zhì)子和中子之間的粒子-空穴剩余相互作用矩陣元，由單粒子哈密頓量對(duì)質(zhì)子中子密度ρpn求導(dǎo)得到。在RHB計(jì)算中，當(dāng)不包含F(xiàn)ock 項(xiàng)時(shí)，由于宇稱守恒，π 介子的貢獻(xiàn)為0。然而對(duì)于自旋自由度相關(guān)的激發(fā)，π介子的貢獻(xiàn)十分重要，因此被包含在QRPA 計(jì)算中。為了消除由于引入π 介子產(chǎn)生的發(fā)散項(xiàng)，需引入零程的Landau-Migdal 項(xiàng)，其強(qiáng)度g'為自由參數(shù)，可以通過重現(xiàn)208Pb 的GT 共振能量來(lái)確定。對(duì)于相互作用DD-ME2［37］，g'= 0.52。為質(zhì)子和中子之間的粒子-粒子剩余相互作用矩陣元。對(duì)于同位旋矢量道（T= 1），采用了與RHB 模型中相同的對(duì)相互作用形式，即Gogny對(duì)力，選取的參數(shù)組為D1S［38］。對(duì)于同位旋標(biāo)量道（T= 0），我們采用了高斯型對(duì)相互作用［10］：

其中：μ1=1.2fm，μ2=0.7fm，g1= 1，g2=-2。S=1，T=0為投影到具有量子數(shù)S=1和T=0的質(zhì)子-中子耦合態(tài)的投影算符；V0表示同位旋標(biāo)量對(duì)力的強(qiáng)度。由于正則單粒子波函數(shù)一般寫在坐標(biāo)空間，故剩余相互作用矩陣元的計(jì)算需要對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行積分，該積分由徑向積分與角向積分的乘積所組成。

1.2 躍遷強(qiáng)度

通過求解QRPA 方程（1），可將由β-方向的自旋-同位旋算符所引發(fā)的躍遷強(qiáng)度表示為：

為了得到連續(xù)的響應(yīng)函數(shù)R(E)，我們可以引入洛倫茲函數(shù)平滑分離的躍遷強(qiáng)度Bν：

式中：Γ為平滑寬度，在計(jì)算中取為1 MeV。對(duì)于β-方向的躍遷，可以定義某一組態(tài)對(duì)應(yīng)的躍遷振幅［13］：

對(duì)于給定的原子核激發(fā)態(tài)，該躍遷振幅可以用來(lái)評(píng)估其中某一質(zhì)子-中子組態(tài)的貢獻(xiàn)。

對(duì)于GT-躍遷和SD-躍遷，相應(yīng)的自旋-同位旋算符分別為［39-40］：

2 結(jié)果和討論

利用QRPA模型，我們計(jì)算得到了42Ca中GT躍遷和SD 躍遷強(qiáng)度分布。對(duì)于基態(tài)RHB 方程的求解，我們采用了球諧振子基，并將諧振子的主殼層數(shù)取為20。在QRPA 模型中，對(duì)于來(lái)自Fermi 海和Dirac 海的組態(tài)的能量截?cái)喾謩e取為200 MeV 和2 000 MeV，占據(jù)因子乘積upvn或者unvp的最低截?cái)嗳?.01。

2.1 GT躍遷

圖1 給出了不同同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度下42Ca 中GT-躍遷的強(qiáng)度分布。該結(jié)果由RHB+QRPA模型計(jì)算得到，采用的相互作用為DD-ME2，同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度分別取為V0=0 MeV, 100 MeV, 200 MeV,250 MeV。當(dāng)同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度取為0時(shí)，出現(xiàn)了兩個(gè)GT 激發(fā)態(tài)，分別位于能量8.12 MeV 和15.46 MeV，在圖中分別標(biāo)記為A和B。當(dāng)同位旋標(biāo)量對(duì)力的強(qiáng)度取為100 MeV 時(shí)，出現(xiàn)了位于能量13.62 MeV 的GT 激發(fā)態(tài)，標(biāo)記為C，此時(shí)，激發(fā)態(tài)B的強(qiáng)度明顯下降，而激發(fā)態(tài)A的強(qiáng)度則有所上升，且其激發(fā)能向低能量處移動(dòng)。隨著同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度繼續(xù)增加到200 MeV，GT激發(fā)態(tài)A的強(qiáng)度進(jìn)一步上升，其激發(fā)能也朝著更低能量處移動(dòng)。對(duì)于GT激發(fā)態(tài)C，其強(qiáng)度出現(xiàn)了下降現(xiàn)象，并且其激發(fā)能也隨之降低。而對(duì)于激發(fā)態(tài)B，其強(qiáng)度和激發(fā)能的變化都很小。當(dāng)同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度增強(qiáng)到250 MeV時(shí)，激發(fā)態(tài)A的強(qiáng)度繼續(xù)上升，其激發(fā)能也繼續(xù)朝著更低能量處移動(dòng)，而激發(fā)態(tài)C 幾乎消失不見。圖1中同時(shí)給出了實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)的低能量超級(jí)GT態(tài)［11-12］。當(dāng)同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度取為200 MeV 時(shí)，GT-態(tài)的強(qiáng)度主要集中于激發(fā)態(tài)A處，與實(shí)驗(yàn)符合較好，這表明同位旋標(biāo)量對(duì)力的引入可以重現(xiàn)實(shí)驗(yàn)上的低能量超級(jí)GT 態(tài)，從而恢復(fù)42Ca 中SU（4）對(duì)稱性。然而，此時(shí)的能量相比于實(shí)驗(yàn)過低，這可能是由于粒子-空穴道相互作用選取的原因。

圖1 基于RHB+QRPA模型，采用DD-ME2相互作用得到的42Ca的GT-躍遷強(qiáng)度分布與實(shí)驗(yàn)[7-8]的比較Fig.1 GT- strength distributions in 42Ca obtained via RHB+QRPA calculations for the DD-ME2 interaction in comparison with experimental results[7-8]

為了理解42Ca 中GT-躍遷強(qiáng)度分布隨著同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度的演化行為，我們對(duì)各激發(fā)態(tài)的組態(tài)進(jìn)行了分析。在圖1中，GT激發(fā)態(tài)A、B、C的主要兩準(zhǔn)粒子組態(tài)分別為（ν1f72，π1f72)、(ν1f72，π1f52）和(ν1f52，π1f72）。根據(jù)式（2），粒子-空穴剩余相互作用與粒子-粒子剩余相互作用部分的貢獻(xiàn)分別與矩陣AJ中 系 數(shù) cfph=vpunvp'un'+upvnup'vn'和cfpp=upunup'un'+vpvnvp'vn'的大小有關(guān)。表1 給出了由組態(tài)（ν1f72，π1f72)、(ν1f72，π1f52）和(ν1f52，π1f72）組成的pnp'n'兩體矩陣元的系數(shù)cfph 和cfpp。從表1 中可以看出，GT 激發(fā)態(tài)C 的主要兩準(zhǔn)粒子組態(tài)(ν1f52，π1f72）相關(guān)的剩余相互作用矩陣元系數(shù)cfpp遠(yuǎn)大于cfph，這表明該組態(tài)主要受粒子-粒子剩余相互作用的影響，而受粒子-空穴剩余相互作用的影響較小。當(dāng)不考慮同位旋標(biāo)量對(duì)力時(shí)，即V0=0 MeV，組態(tài)(ν1f52，π1f72）相關(guān)的QRPA矩陣非對(duì)角元很小，因此，該組態(tài)與其他組態(tài)不發(fā)生混合。由于該組態(tài)對(duì)應(yīng)的占據(jù)因子乘積upvn僅為0.08，故該組態(tài)貢獻(xiàn)的躍遷強(qiáng)度很小，GT 激發(fā)態(tài)C 的躍遷強(qiáng)度幾乎為0。

表1 基于RHB+QRPA模型，采用DD-ME2相互作用得到的剩余相互作用矩陣元對(duì)應(yīng)的系數(shù)cfph和cfppTable 1 Coefficients cfph and cfpp in front of the residual interaction matrix elements obtained using the RHB+QRPA model for the DD-ME2 interaction

當(dāng)V0=100 MeV 時(shí)，兩準(zhǔn)粒子組態(tài)(ν1f52，π1f72）相關(guān)的QRPA矩陣非對(duì)角元增大，使得GT激發(fā)態(tài)C的主要組分(ν1f52，π1f72）與激發(fā)態(tài)B 的主要組分(ν1f72，π1f52）構(gòu)成的QRPA矩陣非對(duì)角元增大，導(dǎo)致激發(fā)態(tài)C 與B 的組分發(fā)生相互混合，從而激發(fā)態(tài)C的躍遷強(qiáng)度增加，激發(fā)態(tài)B的躍遷強(qiáng)度降低。同時(shí)，同位旋標(biāo)量對(duì)力的增強(qiáng)也會(huì)使得GT 激發(fā)態(tài)A 的主要組分（ν1f72，π1f72)與GT 激發(fā)態(tài)B 的主要組分(ν1f72，π1f52）構(gòu)成的QRPA矩陣非對(duì)角元增大，從而使激發(fā)態(tài)A 與B 的組分發(fā)生相互混合，導(dǎo)致激發(fā)態(tài)A 的躍遷強(qiáng)度增加。此外，由于同位旋標(biāo)量對(duì)力的吸引性質(zhì)，其貢獻(xiàn)的粒子-粒子剩余相互作用矩陣的對(duì)角元小于0，使得激發(fā)態(tài)A 和B 朝著低能量處移動(dòng)。然而，對(duì)于激發(fā)態(tài)B，由組態(tài)（ν1f72，π1f52)和組態(tài)（ν1f52，π1f72)構(gòu)成的QRPA 矩陣非對(duì)角元大于0，抵消了大部分QRPA 矩陣對(duì)角元的減小，因此激發(fā)態(tài)B的能量移動(dòng)很小。

當(dāng)同位旋標(biāo)量對(duì)力增強(qiáng)到200 MeV 時(shí)，激發(fā)態(tài)A中組態(tài)（ν1f72，π1f52)的混合占比繼續(xù)增大，其激發(fā)強(qiáng)度也進(jìn)一步增強(qiáng)。粒子-粒子剩余相互作用矩陣元進(jìn)一步減小，激發(fā)態(tài)A 的激發(fā)能也進(jìn)一步降低。同時(shí)，激發(fā)態(tài)C 中進(jìn)一步混入了激發(fā)態(tài)A 的主要組態(tài)（ν1f72，π1f72)，由于該組態(tài)貢獻(xiàn)的躍遷振幅與激發(fā)態(tài)B 的主要組分(ν1f72，π1f52）貢獻(xiàn)的躍遷振幅相位相反，從而使得態(tài)C 的躍遷強(qiáng)度降低。而同位旋標(biāo)量對(duì)力的吸引性質(zhì)同樣會(huì)使得激發(fā)態(tài)C 的激發(fā)能降低。

當(dāng)同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度增強(qiáng)到250 MeV 時(shí)，由于相同的原因，態(tài)A的躍遷強(qiáng)度變得更強(qiáng)，態(tài)C的躍遷強(qiáng)度變得更小，他們的激發(fā)能也變得更低。

為了考察模型相關(guān)性，我們還采用了相對(duì)論點(diǎn)耦合相互作用PC-PK1 進(jìn)行了同樣的計(jì)算，其結(jié)果表明，同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)42Ca中GT態(tài)的影響與DDME2相互作用是一致的。而兩者的區(qū)別在于42Ca中GT 態(tài)的高能峰與低能峰的激發(fā)能量和躍遷強(qiáng)度不一樣，這與剩余相互作用矩陣元的模型依賴性有關(guān)。

2.2 SD躍遷

為了研究同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)42Ca 中SD-躍遷的影響，圖2 給出了0-、1-和2-躍遷在不同同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度下的強(qiáng)度分布。該結(jié)果同樣由RHB+QRPA模型計(jì)算得到，并采用了DD-ME2相互作用，同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度分別取為0 MeV、150 MeV、300 MeV 和500 MeV?？梢钥闯?，隨著同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度的增強(qiáng)，0-、1-和2-躍遷的強(qiáng)度分布變化較小。這是因?yàn)?2Ca 中SD-主要躍遷組態(tài)所構(gòu)成的粒子-粒子剩余相互作用矩陣元都比較小，因此，當(dāng)改變同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度時(shí)，QRPA 矩陣元的變化很小，從而導(dǎo)致最終SD-躍遷中各峰的強(qiáng)度以及激發(fā)能的變化不大。其中，0-和1-躍遷中主峰的主要組態(tài)為（ν1d52，π1f52)，而2-躍遷中主峰的主要組態(tài)為（ν1d52，π1f72)。此外，當(dāng)同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度非常大，取為500 MeV時(shí)，0-和1-躍遷中才會(huì)發(fā)生一定程度的組分混合，導(dǎo)致低能區(qū)出現(xiàn)了新的低強(qiáng)度小峰。其中0-躍遷中該峰的主要組分為（ν1f72，π2g72)，1-躍遷中該峰的主要組分為（ν1f72，π1g72) 和（ν1f72，π2g92)。

圖2 基于RHB+QRPA模型，采用DD-ME2相互作用得到的42Ca中SD-躍遷強(qiáng)度分布Fig.2 SD- strength distributions in 42Ca obtained via RHB+QRPA calculations for the DD-ME2 interaction

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用RHB+QRPA 模型研究了高斯型同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)42Ca 中GT-躍遷和SD-躍遷的影響。對(duì)于GT-躍遷，同位旋標(biāo)量對(duì)力的增強(qiáng)會(huì)使得不同GT激發(fā)態(tài)的主要組分之間發(fā)生混合，從而導(dǎo)致低能峰的增強(qiáng)和高能峰的降低。由于同位旋標(biāo)量對(duì)力的吸引特性，使得GT-躍遷強(qiáng)度分布朝著低激發(fā)能方向移動(dòng)，其中由組態(tài)（ν1f72，π1f72) 和組態(tài)（ν1f52，π1f72)所主導(dǎo)的GT激發(fā)態(tài)的移動(dòng)比較明顯。當(dāng)同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度為200 MeV 時(shí)，GT-躍遷與實(shí)驗(yàn)得到了較好的符合，從而證實(shí)了同位旋標(biāo)量對(duì)力對(duì)于恢復(fù)SU（4）對(duì)稱性的重要作用。對(duì)于SD-躍遷，由于0-、1-和2-躍遷中各峰的主要組態(tài)所構(gòu)成的粒子-粒子剩余相互作用矩陣元都比較小，同位旋標(biāo)量對(duì)力強(qiáng)度的改變并不會(huì)引起SD-躍遷強(qiáng)度的分布的顯著變化。

作者貢獻(xiàn)聲明郭亮完成理論計(jì)算并撰寫了論文第一稿；牛一斐審閱修改論文。