徐亮光

(山東省青島市西海岸新區(qū)實(shí)驗(yàn)高級中學(xué))

高中數(shù)學(xué)有一類只有某些性質(zhì)沒有具體表達(dá)式的函數(shù),我們把這類函數(shù)稱為抽象函數(shù).抽象函數(shù)問題經(jīng)常出現(xiàn)在各級各類考試中,破解抽象函數(shù)問題的策略很多,那么抽象函數(shù)有哪些應(yīng)用呢? 本文舉例說明.

1 求函數(shù)值或解析式

一般地,我們常用賦值法求抽象函數(shù)中的函數(shù)值或解析式.對于求值問題,一般通過觀察已知關(guān)系與未知關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系,巧妙賦值,建立已知條件與欲求結(jié)果之間的聯(lián)系,從而求得函數(shù)值;求函數(shù)解析式時(shí),通常對已知等式中某些變量適當(dāng)賦值,使它在關(guān)系式中“消失”,進(jìn)而得到保留一個(gè)變量的函數(shù).

解得f(t)＝cost＋2sint,則f(x)＝cosx＋2sinx,經(jīng)檢驗(yàn)f(x)滿足已知條件.

點(diǎn)評

對于抽象函數(shù)求函數(shù)值或解析式問題,當(dāng)一次賦值無法解決問題時(shí),應(yīng)多次賦值解決.求解問題時(shí)應(yīng)善于觀察與分析,找出賦的值與待求結(jié)果之間的關(guān)系.

2 單調(diào)性與奇偶性的判斷或證明

判斷與證明抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,既要應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義,又要用到賦值法,即適當(dāng)賦值后應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的定義加以判斷或證明.

例2已知定義在(－∞,0)∪(0,＋∞)上的函數(shù)f(x)對于任意的a,b∈(－∞,0)∪(0,＋∞),滿足,且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)＞0,則下列說法正確的是( ).

A.f(x)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)

B.f(x)是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)

C.f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

解析

函數(shù)f(x)的定義域(－∞,0)∪(0,＋∞)關(guān)于原點(diǎn)對稱,且對于任意的a,b∈(－∞,0)∪(0,＋∞),有,所以令b＝－a,有f(－1)＝f(a)－f(－a);令a＝b＝1,有f(1)＝f(1)－f(1)＝0;令a＝1,b＝－1,有f(－1)＝f(1)－f(－1),則f(－1)＝0,f(a)－f(－a)＝0,即f(a)＝f(－a),故f(x)是偶函數(shù).

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)＞0,即f(x)不恒為零,則f(x)只能為偶函數(shù),不能為奇函數(shù),故選B.

點(diǎn)評

判斷抽象函數(shù)的奇偶性,一般采用定義法,即只需對已知等式適當(dāng)賦值,并推導(dǎo)出奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義式.

3 周期性和對稱性的判斷或證明

若函數(shù)y＝f(x)對一切實(shí)數(shù)x都滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b,那么函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對稱.求解與函數(shù)周期性有關(guān)的問題,一般采用賦值法,并結(jié)合所給抽象函數(shù)的等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而得出f(x)＝f(x＋T)的結(jié)論.

解析

(1)在對稱關(guān)系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b中,令a＝0,b＝2024,則函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1012)對稱.根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系,可知函數(shù)y＝f－1(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1012,0)對稱,故f－1(1012＋x)＋f－1(1012－x)＝0,將上式中的x用x－1012代換,得

(2)將已知恒等式中的x換成x＋m,得

4 綜合性問題

有關(guān)抽象函數(shù)的綜合性問題,往往以其他數(shù)學(xué)知識為背景,求解時(shí)一般采用賦值法.

例4已知函數(shù)f(x)對于任意實(shí)數(shù)x,y∈R恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞0,f(1)＝1.

(1)判斷f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)在[－4,4]上的最小值;

(3)解關(guān)于x的不等式:

點(diǎn)評

第(3)問需要對含參的二次函數(shù)進(jìn)行分類討論,難點(diǎn)在于分類討論標(biāo)準(zhǔn)的確定,求解時(shí)主要是按照是否有根或根的大小進(jìn)行分類求解.

(完)