林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué))

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì),是解決一些函數(shù)問題的有力工具.有些問題從表面上看似乎與函數(shù)無關(guān),但如果我們從題設(shè)所給出的式子的結(jié)構(gòu)特征入手,站在函數(shù)的角度審視問題并抓住問題的本質(zhì)構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性等)來處理,有時會起到“柳暗花明又一村”的解題效果.本文著重介紹單調(diào)奇函數(shù)的一個重要性質(zhì)及其在解題中的妙用,供讀者參考.

1 兩個引例

引例1(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽內(nèi)蒙古預(yù)賽第2題)已知x,y∈R,且滿足

引例2(2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京預(yù)賽第6題)已知x,y∈R,且滿足

兩個引例的條件都是方程形式,引例1是無理方程,引例2是三次方程,通過解方程的方法直接求解相應(yīng)的x,y較為困難.

兩個方程等號的左邊可以記為t3＋2023t的形式,等號的右邊是互為相反數(shù)的兩個數(shù).

可見兩個引例的已知條件、所求結(jié)果的形式相似,猜想這兩個引例應(yīng)該有相似(或統(tǒng)一)的解法.

2 奇函數(shù)的一個性質(zhì)

事實上,單調(diào)的奇函數(shù)有一個簡單且重要的性質(zhì).

性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的單調(diào)奇函數(shù),m,n∈D,若f(m)＋f(n)＝0,則m＋n＝0.

簡證因為函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的單調(diào)奇函數(shù),所以f(x)不恒等于0.

由f(m)＋f(n)＝0,得f(m)＝－f(n)＝f(－n),故m＝－n,所以m＋n＝0.

3 引例的解析

下面我們應(yīng)用單調(diào)奇函數(shù)的性質(zhì)解答引例.

根據(jù)題意,有

所以由性質(zhì)可得x＋1＋y＋1＝0,即x＋y＝－2.

引例2的解析由

所以f(t)是奇函數(shù).因為f′(t)＝3t2＋2023＞0,所以f(t)在R上單調(diào)遞增.

根據(jù)題意,有f(x－1)＋f(y＋2)＝－1＋1＝0,所以由性質(zhì)可得x－1＋y＋2＝0,即x＋y＝－1.

4 性質(zhì)的應(yīng)用舉例

以上述單調(diào)奇函數(shù)的性質(zhì)為背景的試題在各類考試中多次出現(xiàn),特別是在競賽中尤為常見,下面分類展示該性質(zhì)的運用.

4.1 直接應(yīng)用型

例1(2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽第7題)已知x,y∈R,且滿足

解析

設(shè)f(t)＝t2003＋2002t(t∈R),則

所以f(t)是奇函數(shù).因為f′(t)＝2003t2002＋2002＞0,所以f(t)在R上單調(diào)遞增.

根據(jù)題意,有f(x－1)＋f(y－2)＝0,所以由性質(zhì)可得x－1＋y－2＝0,即x＋y＝3.

例2(2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆預(yù)賽第4題)已知x,y∈R,且滿足

解析

設(shè)f(t)＝t3＋2015t(t∈R),則

所以f(t)是奇函數(shù).因為f′(t)＝3t2＋2015＞0,所以f(t)在R上單調(diào)遞增.

根據(jù)題意,有f(x－1)＋f(y－1)＝0,所以由性質(zhì)可得x－1＋y－1＝0,即x＋y＝2.

點評

本類問題中的兩個已知等式在結(jié)構(gòu)上相似,運用整體思想,直接構(gòu)造相應(yīng)的奇函數(shù),并應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)進行解答.

4.2 變形應(yīng)用型

例3(2008 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽A卷第8 題)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋6x＋14,且f(a)＝1,f(b)＝19,則a＋b＝__________.

解析

由

則

所以g(t)是奇函數(shù).因為g′(t)＝3t2＋3＞0,所以g(t)在R上單調(diào)遞增.

根據(jù)題意,有g(shù)(a＋1)＋g(b＋1)＝0,所以由性質(zhì)可得a＋1＋b＋1＝0,即a＋b＝－2.

例4(2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東預(yù)賽第9題)已知α,β滿足

所以f(t)是奇函數(shù).因為f′(t)＝3t2＋2＞0,所以f(t)在R上單調(diào)遞增.

根據(jù)題意,有f(α－1)＋f(β－1)＝0,所以由性質(zhì)可得α－1＋β－1＝0,即α＋β＝2.

點評

本類問題不能直接運用奇函數(shù)的性質(zhì)解答,需要根據(jù)題目的條件作適當(dāng)變形,將兩個等式變?yōu)橄嗨平Y(jié)構(gòu),再構(gòu)造相應(yīng)的奇函數(shù)進行解答.例6只有一個等式,與其他例子的已知條件不同,但根據(jù)已知等式的結(jié)構(gòu)特點,巧妙構(gòu)造單調(diào)奇函數(shù),再利用性質(zhì)求得結(jié)果,思路新穎,過程簡潔.

4.3 換元應(yīng)用型

點評

本類問題的兩個等式只是部分相似(一般是等號的其中一邊相似),一般的變形并不能將兩個等式變?yōu)橄嗨平Y(jié)構(gòu),需要有換元意識,恰當(dāng)?shù)負Q元能將兩個等式變?yōu)橄嗨平Y(jié)構(gòu),然后構(gòu)造相應(yīng)的奇函數(shù)進行解答即可.

5 小結(jié)

奇函數(shù)有很多簡潔、優(yōu)美的性質(zhì),且這些性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用.在解題中,有時遇到的問題并不是奇函數(shù)問題,但若仔細觀察式子的結(jié)構(gòu)特征,可能會發(fā)現(xiàn)其與奇函數(shù)有著密切的聯(lián)系,因而把表面上看似與函數(shù)無關(guān)的問題通過變形轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)解答,這樣可以優(yōu)化解題過程.另外,運用函數(shù)的觀點來求解問題,有利于培養(yǎng)學(xué)生用動態(tài)發(fā)展的觀點來分析問題,抓住問題的本質(zhì),并提高解決問題的能力.

(完)