楊光

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，其培養(yǎng)需要在問題應(yīng)用情境中開展。除本學(xué)科模型之外，其他學(xué)科中也有豐富的模型可以引導(dǎo)學(xué)生加以發(fā)現(xiàn)和解決。通過跨學(xué)科融合探究，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，幫助學(xué)生掌握研究問題的基本方法路徑。

一、問題提出的背景

人教版高中物理必修第一冊第三章第一節(jié)中涉及重心知識。在跨學(xué)科聽評課活動中遇到如下題目：

例題：一個水桶裝滿水，桶底部有一個小孔，在水從小孔不斷流出的過程中，桶連同桶中水的共同重心將（）

（A）一直下降（B）一直上升（C）先升后降（D）先降后升

答案是重心先下降后上升。從物理學(xué)科角度，該知識點學(xué)生可以定性的分析清楚就已經(jīng)達成了教學(xué)目標，但是問題也隨之出現(xiàn)。下降的過程重心是勻速變化嗎？重心最低可以降到什么位置？重心回升的過程是什么樣的規(guī)律呢？可以引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，并將這個物理問題抽象為數(shù)學(xué)模型，進一步進行更加精準的定量分析，最終對物理結(jié)論重新加以解釋，體現(xiàn)從數(shù)學(xué)角度對問題進行觀察、思考、表述的現(xiàn)實意義。

二、水桶重心變化模型的解決過程

（一）模型假設(shè)

水桶和桶內(nèi)變化的水體構(gòu)成了物質(zhì)系統(tǒng)。質(zhì)心是整體認知這個系統(tǒng)質(zhì)量重心的假想平均位置，本文中用高中生更為熟悉的重心概念代替表述。

（二）模型建立

經(jīng)過師生研討，使用解析幾何的思路在模型假設(shè)基礎(chǔ)上建立模型。如圖1所示，將水桶軸截面放置在平面直角坐標系xoy內(nèi)，重心在y軸上。桶底重心為固定點O，設(shè)G為水桶重心位置，此點位置不變，G1為桶內(nèi)水體的重心，雖然位置不斷變化，但是始終位于水體正中，用其點的縱坐標進行表示。設(shè)定G2為桶與水視為整體時的重心（質(zhì)心）。m′表示變化過程中的質(zhì)量，根據(jù)比例可以表示為hm。

由質(zhì)心公式建立數(shù)量關(guān)系：

代入數(shù)據(jù)即得到：

整理成yG2關(guān)于h的函數(shù)，并記為f（h），得到：

，h∈［0，1］

至此得到水桶中水流出過程中重心變化的函數(shù)模型。

（三）模型求解

由于學(xué)生接觸這個物理問題是在高一年級，因此根據(jù)學(xué)生知識基礎(chǔ)，可選擇以下方法進行解決。

將函數(shù)? ? ? ? ? ? 變形可以得，? ? ? ? ? ，這個函數(shù)符合“對勾函數(shù)”的形式特征。對于這個函數(shù)可以使用基本不等式求取最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時? ? ? ? ? ，即? ? ? ? ?時取得最小值。

隨著學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識方法的不斷豐富，也可以采用求導(dǎo)的方式對函數(shù)性質(zhì)進行解決。

（四）模型意義的解釋

以上過程利用數(shù)學(xué)方法解決了從物理問題抽象出的數(shù)學(xué)模型，均是在? ? ? ?時取得最小值? ? ，即重心下降到最低時距離桶底距離為? ? ??，F(xiàn)在需要將數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理背景下進行解釋。面對得出的結(jié)論，由于一般化結(jié)果比較抽象，不夠直觀，學(xué)生遇到了困難。此時引導(dǎo)學(xué)生思考將一般結(jié)論進行特殊化的方法——使用特殊值輔助直觀理解。

以m=5時為例，即當(dāng)? ? ? ? ? ? ? ?時，重心降低到距離桶底0.29時開始回升直到水全部排空后回到距離桶底? 處。

為了能讓學(xué)生更加直觀的看出變化規(guī)律，利用軟件《GeoGebra》做出m=5時的圖象，坐標系的橫軸意義是水面距離桶底的高度h，縱軸意義是整體重心距離桶底的距離。通過圖2可以看出函數(shù)的單調(diào)性變化規(guī)律和極值情況。

對于一般規(guī)律和特殊值直觀結(jié)論，鼓勵學(xué)生從不同角度解釋結(jié)論，師生通過討論得到以下對物理結(jié)論：

1.由函數(shù)圖象單調(diào)性，特別是每點處切線斜率變化規(guī)律得出結(jié)論：重心回升速度比下降時快，顯然這是符合客觀事實的。

2.由一般結(jié)論到特殊值驗證，發(fā)現(xiàn)無論m取何值，函數(shù)f（h）的極（最）小值點都落在直線f（h）=h的圖象上，由此得到了一個令人“難忘”的結(jié)論：隨著水面下降，水體重心下降導(dǎo)致整個物理系統(tǒng)（桶和水）的重心下降，當(dāng)水面下降到恰好“追及”整體重心時，重心開始回升。這是一個體現(xiàn)了變化中不變的規(guī)律。

三、跨學(xué)科融合建模實踐的價值與意義

經(jīng)歷在實際情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析問題，建立模型，確定參數(shù)計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題的過程，進而發(fā)展“四能”，幫助學(xué)生實現(xiàn)“三會”，即會用數(shù)學(xué)的眼光看、會用數(shù)學(xué)的思維想、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。

當(dāng)數(shù)學(xué)建?；趩栴}研究的廣泛性、基礎(chǔ)性涉及其他學(xué)科時，其價值與意義再一次得到擴展和提升。

（一）體現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科的學(xué)科價值

“數(shù)學(xué)是有用的”應(yīng)當(dāng)在使用中體現(xiàn)，而且不能拘泥于數(shù)學(xué)本身知識與方法，更要運用數(shù)學(xué)原理和思想方法描述和解決現(xiàn)實世界中規(guī)律性的東西。

對于高中階段的學(xué)生最直觀的感受就是能用數(shù)學(xué)方法解釋其他學(xué)科中的具體問題，例如用球面距離的計算解決地理中兩城市航線最短問題，用概率計算解決生物遺傳規(guī)律。但這其實遠遠不夠，還有很多類似本文中提出的問題，其學(xué)科的教學(xué)目標僅要求學(xué)生做了解，做定性分析即可，但是學(xué)生的求知欲有時不止于教學(xué)目標，學(xué)生希望看到更多的現(xiàn)象背后的本質(zhì)與規(guī)律。此時，數(shù)學(xué)建模教會了學(xué)生如何運用數(shù)學(xué)方法和知識探究本質(zhì)與規(guī)律，這也幫助學(xué)生實現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)。

（二）體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模育人的價值意義

對于數(shù)學(xué)建模的育人價值和作用，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017版）2020年修訂》中有如下概括：

通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗；認識數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學(xué)精神。

跨學(xué)科融合建?？梢允箤W(xué)生有更加寬廣的眼界，有普遍聯(lián)系認知世界的觀點。在師生跨學(xué)科融合建模教學(xué)經(jīng)驗不斷積累中，激發(fā)學(xué)生自主思考，促進學(xué)生合作交流，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識與實踐能力，最終把學(xué)生培養(yǎng)成為適應(yīng)現(xiàn)代社會要求的可持續(xù)發(fā)展的建設(shè)者。

（三）實現(xiàn)整體單元教學(xué)設(shè)計的途徑

高中新課程處處體現(xiàn)單元教學(xué)設(shè)計的思路，這更加體現(xiàn)知識與思想方法的邏輯性線索，有利于學(xué)生整體掌握知識，理清知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及不同知識章節(jié)之間的關(guān)聯(lián)。單元教學(xué)設(shè)計可以按照主干知識概念為線索開展，也可以按照數(shù)學(xué)的思想方法主線梳理，甚至可以將某些貫穿教學(xué)始終的知識作為主題，統(tǒng)領(lǐng)各章節(jié)與其相關(guān)知識，形成跨章節(jié)單元教學(xué)設(shè)計。

這些實踐經(jīng)驗幫助我們進一步擴展思路，嘗試基于問題的單元教學(xué)設(shè)計，開展課程延伸類的校本教學(xué)，生發(fā)點始于師生在各學(xué)科教與學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題，目標指向?qū)W生綜合素養(yǎng)的提升。

學(xué)科設(shè)置的目的一定不是阻隔知識之間的聯(lián)系，但是現(xiàn)階段師生教與學(xué)事實上是各行其是，跨學(xué)科融合建模研究應(yīng)該成為現(xiàn)階段比較具有可行性的一個途徑。

（徐德明）