亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        慣性β-Douglas-Rachford分裂算法收斂性分析

        2023-08-05 02:48:44張家樂歐陽薇
        長春師范大學學報 2023年6期
        關(guān)鍵詞:定義

        張家樂,歐陽薇

        (云南師范大學數(shù)學學院,云南 昆明 650091)

        0 引言

        Douglas-Rachford分裂算法[1]常用于求解兩個極大單調(diào)算子之和的零點集,即如下單調(diào)包含問題:

        (1)

        (2)

        Douglas-Rachford算法最早由DOUGLAS和RACHFORD[6]于1956年提出.該方法最初用于求解熱傳導(dǎo)過程中產(chǎn)生的線性方程組的數(shù)值解,其弱收斂性和強收斂性已得到很好的證實[7-10].在強單調(diào)性、Lipschitz連續(xù)性和余強制性假設(shè)下,可以得到該算法及其對偶的線性收斂速度[11-17].

        1979年,LIONS和MERCIER[1]推廣了Douglas-Rachford方法,提出了經(jīng)典Douglas-Rachford分裂算法,其格式如下:

        1979年,GOL’SHTEIN和TRET’YAKOV[18]結(jié)合ROCKAFELLAR[19]提出的臨近點算法,提出了廣義的 Douglas-Rachford分裂算法,其格式如下:

        其中,cn是松弛因子,cn∈(0,2).當cn∈(0,1)時,稱cn為低松弛因子;當cn∈(1,2)時,稱cn為超松弛因子.

        2015年,BOT等[4]提出了慣性Douglas-Rachford分裂算法,其格式如下:

        2019年,WANG等[20]基于經(jīng)典Douglas-Rachford算法進行了細微改動,提出了含參數(shù)的Douglas-Rachford分裂算法,其格式如下:

        2020年,陶永凱[21]在WANG等[20]提出的α-Douglas-Rachford分裂算法基礎(chǔ)上進行了改進,提出了修正的αn-Douglas-Rachford分裂算法,其格式如下:

        本文在BOT等[4]和陶永凱[21]提出的Douglas-Rachford分裂算法的基礎(chǔ)上進行了相應(yīng)修改,提出了一種新型的帶參數(shù)的慣性Douglas-Rachford分裂算法,稱為慣性β-Douglas-Rachford分裂算法,其格式如下:

        (3)

        1 符號說明

        2 預(yù)備知識

        則稱映射A是μ-強單調(diào)的.當μ=0時,稱A是單調(diào)的.

        則稱映射A是L-lipschitz連續(xù)的.當L=1時,稱映射A是非擴張的;當L∈(0,1)時,稱映射A是收縮的.

        定義3 算子A的預(yù)解式和反射預(yù)解式分別定義如下:

        JA∶=(A+Id)-1,RA∶=2JA-Id,

        其中,Id表示恒等映射,即Id(x)=x.

        注2 由算子A的β-增強算子的定義可知,A(β)是極大單調(diào)的.

        (i)T是穩(wěn)定非擴張的;

        (ii)Id-T是穩(wěn)定非擴張的;

        (iii)2T-Id是非擴張的;

        (iv)?x,y∈D,‖Tx-Ty‖2≤〈x-y,Tx-Ty〉;

        (v)?x,y∈D,0≤〈Tx-Ty, (Id-T)x-(Id-T)y〉;

        (vi)?x,y∈D,?α∈[0,1],‖Tx-Ty‖≤‖α(x-y)+(1-α)(Tx-Ty)‖.

        ‖(1-t)x+ty‖2=(1-t)‖x‖2+t‖y‖2-t(1-t)‖x-y‖2.

        (4)

        引理8[22]設(shè)(φn)n∈,(δn)n∈,(αn)n∈是[0,+∞)中的序列,使得對所有n≥1,有φn+1≤φn+αn(φn-φn-1)+δn成立,其中∞,并且存在一個實數(shù)α對所有n∈,有0≤αn≤α<1成立.則下列結(jié)論成立:

        (ii)(xn)n∈的每個子序列的弱聚點都在C中.

        則(xn)n∈弱收斂于C中的一個點.

        zer(A+B)=JγB(FixRγARγB).

        3 主要結(jié)論

        下面建立逼近兩個極大單調(diào)算子之和的零點集的慣性β-Douglas-Rachford分裂算法,并研究其收斂性質(zhì).在研究慣性β-Douglas-Rachford分裂算法的收斂性質(zhì)之前,先證明兩個輔助結(jié)果.

        下面給出第一個輔助結(jié)果.

        (i)T是非擴張的;

        (ii)FixT≠?,且JB(FixT)=zer(A+B+(2-2β)Id).

        β‖JAx-JAy‖2≤‖JAx-JAy‖2≤〈JAx-JAy,x-y〉.

        β‖JAx-JAy‖2≤〈JAx-JAy,x-y〉.

        (5)

        在(5)式兩邊同時乘4β,再加‖x-y‖2可得到

        4β2‖JAx-JAy‖2+‖x-y‖2≤4β〈JAx-JAy,x-y〉+‖x-y‖2.

        整理上式得到

        4β2‖JAx-JAy‖2+‖x-y‖2-4β〈JAx-JAy,x-y〉≤‖x-y‖2.

        根據(jù)完全平方公式,上式可變形為

        ‖2β(JAx-JAy)-(x-y)‖2≤‖x-y‖2,

        ‖(2βJA-Id)(x)-(2βJA-Id)(y)‖2≤‖x-y‖2.

        (6)

        由范數(shù)的非負性,(6)式可變形為

        (ii)先證明JB(FixT)?zer(A+B+(2-2β)Id),即要證明:對于任意的x∈zer(A+B+(2-2β)Id),有x∈JB(FixT)成立.

        由引理3可知,zer(A+B+(2-2β)Id)≠?,則對任意的x∈zer(A+B+(2-2β)Id),有

        0∈(A+B+(2-2β)Id)(x)=A(x)+B(x)+(2-2β)x.

        (7)

        因此,存在一個z∈B(x),使得

        (2β-2)x-z∈A(x).

        (8)

        令z=y-x,則(8)式等價于

        (2β-1)x-y∈A(x).

        (9)

        又因為x=JB(y),故(9)式等價于

        2βJB(y)-y∈A°JB(y)+JB(y)=(A+Id)°JB(y).

        (10)

        (10)式意味著

        JB(y)=JA(2βJB(y)-y).

        (11)

        則有

        0=2βJA(2βJB(y)-y)-2βJB(y)?

        y=2βJA(2βJB(y)-y)-(2βJB(y)-y)?

        y=(2βJA-Id)°(2βJB-Id)(y)?

        (12)

        因此,y是一個不動點,即FixT≠?.由于y∈FixT,x=JB(y),故x∈JB(FixT).

        下面證明JB(FixT)?zer(A+B+(2-2β)Id),即要證明:對任意的x∈JB(FixT),使得x∈zer(A+B+(2-2β)Id)成立.

        因為x∈JB(FixT),所以存在y∈FixT使得x=JB(y).又因為(7)至(12)式是相互等價的,故有

        x∈zer(A+B+(2-2β)Id).

        綜上可得,FixT≠?,且JB(FixT)=zer(A+B+(2-2β)Id).

        下面給出第二個輔助結(jié)果,即慣性K-M算法.值得注意的是,由于迭代格式中存在仿射組合,所以需將設(shè)置限制為仿射子空間上的非擴張算子,在考慮極大單調(diào)算子的反射預(yù)解式的組成時,這一假設(shè)是完全成立的.下面證明第二個輔助結(jié)果.

        (13)

        (ii)(xn)n∈弱收斂到FixT中的一點.

        證明 (i)記wn∶=xn+αn(xn-xn-1),則對于任意n≥1,迭代方案(13)可變形為

        (14)

        對于任意n≥1,任取y∈FixT.由(4)式和T的非擴張性可得

        (15)

        再次使用(4)式有

        ‖wn-y‖2=(1+αn)‖xn-y‖2-αn‖xn-1-y‖2+αn(1+αn)‖xn-xn-1‖2.

        (16)

        因此,由(15)和(16)式可得

        (17)

        此外,由(14)式得到:

        ‖Twn-wn‖2=‖2(xn+1-xn)+2αn(xn-1-xn)‖2=

        (18)

        由(17)和(18)式可推出:

        ‖xn+1-y‖2-(1+αn)‖xn-y‖2+αn‖xn-1-y‖2≤(αn-1)‖xn+1-xn‖2+2αn‖xn-xn-1‖2.

        (19)

        接下來,使用文獻[24]中的一些解題技巧來證明本文結(jié)論.

        對于n∈,定義序列φn∶=‖xn-y‖2和ψn∶=φn-αnφn-1+2αn‖xn-xn-1‖2,其中ψ1=φ1≥0(因為α1=0).對于n∈,利用(αn)n≥0的單調(diào)性和φn≥0的事實,可得到

        ψn+1-ψn≤φn+1-(1+αn)φn+αnφn-1+2αn+1‖xn+1-xn‖2-2αn‖xn-xn-1‖2.

        由(19)式可得

        ψn+1-ψn≤(αn-1)‖xn+1-xn‖2+2αn+1‖xn+1-xn‖2=

        (αn-1+2αn+1)‖xn+1-xn‖2,?n≥1.

        (20)

        由(αn)n≥0及α的選取可得

        αn-1+2αn+1≤α-1+2α<0, ?n≥1.

        故序列(ψn)n≥0是非增的(嚴格減).

        由ψn∶=φn-αnφn-1+2αn‖xn-xn-1‖2,序列(ψn)n≥0的非增性和(αn)n≥0的上界可得

        -αφn-1≤φn-αφn-1≤ψn≤ψ1, ?n≥1.

        (21)

        因為

        φn≤αφn-1+ψ1≤α(αφn-2+ψ1)+ψ1=α2φn-2+ψ1+αψ1≤…≤αnφ0+ψ1+αψ1+…+αn-1ψ1,

        由(20)和(21)式可得

        設(shè)x是(xn)n∈的子序列(xnk)k∈的一個弱聚點,選取(wn)n∈的一個子列(wnk)k∈,則由(i)以及(wn)n∈的定義和(αn)n≥0的上界可得,當k→+∞時,wnk?x.此外,通過(14)式可得

        ‖Twn-wn‖=2‖xn+1-wn‖≤2(‖xn+1-xn‖+α‖xn-xn-1‖).

        (22)

        因此,由(i)可得,當k→+∞時,Twnk-wnk→0.將引理7應(yīng)用到序列(wnk)k∈上,則有x∈FixT.

        由于引理9的兩個條件已得到驗證,因此(xn)n∈弱收斂于FixT中的一點.

        之所以要先證明兩個輔助結(jié)果,是因為在接下來的證明中這兩個輔助結(jié)果將產(chǎn)生重要作用.下面給出慣性β-Douglas-Rachford分裂算法的收斂性質(zhì)并給出詳細的證明.

        (23)

        其中,參數(shù)αn的選取滿足定理1中的條件.

        (ii)當n→+∞時,yn-zn→0;

        (iii)序列(xn+1-wn)n∈→0;

        (iv)(xn)n∈?x*;

        證明 記wn=xn+αn(xn-xn-1),根據(jù)修正的反射預(yù)解式的定義,(23)式可變形為

        (i)由定理1直接可得.

        故由(22)式,當n→+∞時,有yn-zn→0.

        (iii)由(23)式,序列(xn)n∈滿足下式:

        xn+1=wn+β(zn-yn)?xn+1-wn=β(zn-yn),

        由(ii)可知,序列 (zn-yn)n∈強收斂于0,所以序列(xn+1-wn)n∈強收斂于0.

        (iv)由命題1和定理1可得,序列(xn)n∈弱收斂于中的一點x*,即 (xn)n∈?x*.

        (v)由命題1可知,FixT≠?,且JB(FixT)=zer(A+B+(2-2β)Id).應(yīng)用定理1,則存在x*∈FixT,使得JBx*∈zer(A+B+(2-2β)Id).

        又由命題1可知,x∈zer(A+B+(2-2β)Id),即

        0∈A(x)+B(x)+(2-2β)x.

        (24)

        由定義6,有

        0∈A(β)(z)+B(β)(z).

        (25)

        則由(25)式可得z∈zer(A(β)+B(β)),故zer(A(β)+B(β))≠?.

        又因為A(β),B(β)都是單調(diào)算子,故由引理10可得

        JB(β)(x*)∈zer(A(β)+B(β)).

        由引理5可得

        JB(β)(x*)=βJB(x*).

        進一步,由引理4可得

        由于極大單調(diào)算子的預(yù)解式是單值映射,所以,

        由此定理2得證.

        4 結(jié)論與展望

        在接下來的工作中,將繼續(xù)圍繞慣性β-Douglas-Rachford分裂算法等相關(guān)問題進行研究,如將其用于求解變分不等式、原始對偶問題等.

        猜你喜歡
        定義
        以愛之名,定義成長
        活用定義巧解統(tǒng)計概率解答題
        例談橢圓的定義及其應(yīng)用
        題在書外 根在書中——圓錐曲線第三定義在教材和高考中的滲透
        永遠不要用“起點”定義自己
        海峽姐妹(2020年9期)2021-01-04 01:35:44
        嚴昊:不定義終點 一直在路上
        華人時刊(2020年13期)2020-09-25 08:21:32
        定義“風格”
        成功的定義
        山東青年(2016年1期)2016-02-28 14:25:25
        有壹手——重新定義快修連鎖
        修辭學的重大定義
        當代修辭學(2014年3期)2014-01-21 02:30:44
        黄色三级视频中文字幕| 亚洲色在线v中文字幕| 国产精品-区区久久久狼| 无码专区亚洲avl| 人日本中文字幕免费精品| 亚洲s色大片在线观看| 真实国产老熟女粗口对白| 91情侣视频| 日韩精品一区二区在线视| 中文字幕久久波多野结衣av不卡| 天天夜碰日日摸日日澡| 精品国产免费Av无码久久久| 亚洲av色香蕉第一区二区三区| 久久久精品国产性黑人| 一边吃奶一边摸做爽视频| 久久99国产伦精品免费| 午夜av福利亚洲写真集| 人妻少妇中文字幕在线| 毛片大全真人在线| 亚洲色大成人一区二区| av男人的天堂第三区| 久久婷婷色香五月综合缴缴情| 日日碰狠狠躁久久躁| 日韩久久av电影| 久久精品国产亚洲综合av| 精品一区二区三区免费视频| 国产做无码视频在线观看浪潮| 成人午夜视频在线观看高清| 在线观看 国产一区二区三区| 内射少妇36p亚洲区| 中文字幕大屁股熟女乱| 亚洲激情视频在线观看a五月| 99国产精品99久久久久久| 久久棈精品久久久久久噜噜| 级毛片无码av| 日本一区二区三区四区高清不卡| 久久不见久久见中文字幕免费 | 国产精品日本一区二区在线播放 | 一区二区三区日本在线| 国产在线第一区二区三区| 久久人妻少妇嫩草av蜜桃|