盧躍奇，王艷梅

（洛陽師范學(xué)院 河南 洛陽 471934）

概率統(tǒng)計(jì)課程已成為高校理工專業(yè)的一門重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，不僅為學(xué)生后續(xù)各門專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供必需的理論基礎(chǔ)、方法原理，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力起著巨大的推動(dòng)作用。但在很多高校概率統(tǒng)計(jì)課程的具體實(shí)施過程中，大多主講概率統(tǒng)計(jì)課程的教師只負(fù)責(zé)概率統(tǒng)計(jì)基本原理基本方法的理論推導(dǎo)、適合手工計(jì)算的簡單習(xí)題的證明演算，不討論大數(shù)據(jù)情況下的實(shí)際統(tǒng)計(jì)推斷決策問題。而計(jì)算機(jī)語言和大數(shù)據(jù)課程大多只講編程方法、大數(shù)據(jù)處理方法，卻忽略或沒有綜合考慮背后的概率統(tǒng)計(jì)原理。這種脫節(jié)現(xiàn)象不適應(yīng)《促進(jìn)大數(shù)據(jù)發(fā)展行動(dòng)綱要》鼓勵(lì)高校跨學(xué)科跨專業(yè)培養(yǎng)綜合型人才的目標(biāo)，不利于培養(yǎng)具有多學(xué)科綜合知識(shí)的跨界復(fù)合型人才[1-2]。

在近幾年的教學(xué)實(shí)踐中，在結(jié)合其他高校相近專業(yè)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究成果經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)洛陽師范學(xué)院應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)培養(yǎng)方案要求，結(jié)合具體實(shí)際情況、學(xué)生在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模和市場(chǎng)調(diào)查分析等競(jìng)賽中的表現(xiàn)，根據(jù)學(xué)生對(duì)課程教學(xué)情況的反饋和要求、學(xué)生特點(diǎn)和能力水平，不斷完善概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)實(shí)施方案，摸索出了“聚焦核心原理+問題驅(qū)動(dòng)+翻轉(zhuǎn)課堂+程序?qū)崿F(xiàn)”這一教學(xué)模式，使得在以培養(yǎng)復(fù)合型創(chuàng)新人才為主要目標(biāo)的新形勢(shì)下，呼應(yīng)了新理科堅(jiān)持問題導(dǎo)向、開展跨學(xué)科跨專業(yè)研究的一流專業(yè)學(xué)科建設(shè)目標(biāo)，同時(shí)也為其他理工科相關(guān)專業(yè)開展統(tǒng)計(jì)、大數(shù)據(jù)、機(jī)器學(xué)習(xí)等類似課程的教學(xué)提供了一些有益的探索和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

1 課程實(shí)施原理概述

問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法是根據(jù)現(xiàn)代建構(gòu)主義教學(xué)理論建立的一種教學(xué)方法，主張?jiān)凇疤岢鰡栴}―分析問題―解決問題―優(yōu)化方案”的“已知―未知―新的已知”的不斷循環(huán)遞進(jìn)過程中學(xué)習(xí)新知識(shí)、掌握新方法、理解新思想。在具體的教學(xué)實(shí)施過程中，表現(xiàn)為以學(xué)生為主體、以教師為主導(dǎo)，教師的作用主要是教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、組織者和引導(dǎo)者[3-4]。

概率統(tǒng)計(jì)課程知識(shí)紛繁多樣，名詞術(shù)語眾多、原理定理方法多種多樣，即使一時(shí)能夠通過死記硬背、反復(fù)演練、短期理解，也無法長期記憶，更不要說專業(yè)學(xué)習(xí)結(jié)束后還能回憶起來，甚至再把概率統(tǒng)計(jì)思想原理方法應(yīng)用于實(shí)踐來解決實(shí)際問題。概率統(tǒng)計(jì)課程的這些特點(diǎn)為學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)課程提出了極大的挑戰(zhàn)。人們總是通過以概念為核心來觀察、認(rèn)識(shí)、把握客觀世界，進(jìn)而改變世間萬物，甚至創(chuàng)造新事物。因此，掌握概率統(tǒng)計(jì)課程知識(shí)的關(guān)鍵，在于把握概率統(tǒng)計(jì)課程中最重要的若干核心概念、原理、方法，從而以有限的核心概念、原理、方法為中心，以概念思維導(dǎo)圖為框架，以事實(shí)案例主題應(yīng)用為依托，來觀察、認(rèn)識(shí)、理解、把握它們的內(nèi)涵外延、結(jié)構(gòu)功能、起因變化、動(dòng)態(tài)聯(lián)系、相關(guān)屬性與不相關(guān)屬性等維度。

在學(xué)生掌握概率統(tǒng)計(jì)基本原理、手工推導(dǎo)證明演算的過程中，如果能夠通過編寫程序解決大數(shù)據(jù)情況下的統(tǒng)計(jì)計(jì)算、原理演示和統(tǒng)計(jì)推斷等實(shí)際問題，那么不僅可以實(shí)現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)課程的理論教學(xué)目標(biāo)，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際、根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)原理結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問題的實(shí)踐應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)跨越知識(shí)的淺表性認(rèn)知到深度學(xué)習(xí)、從內(nèi)容態(tài)度到技能行動(dòng)的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)培養(yǎng)要求。因此，只要有可能，教師應(yīng)盡量安排學(xué)生通過編寫程序充分理解核心概念、原理和方法。

2 教學(xué)案例應(yīng)用——以貝葉斯原理為例

2.1 核心原理概述

離散情形下有

2.2 問題驅(qū)動(dòng)式翻轉(zhuǎn)課堂實(shí)施方案

課前學(xué)生的任務(wù)包括：預(yù)習(xí)條件概率的定義，條件概率的幾何意義是什么？理解貝葉斯原理的基本含義，其中先驗(yàn)信息（先驗(yàn)分布）、總體信息（總體分布，似然率）、樣本信息分別指代貝葉斯公式中的哪個(gè)部分，分別有什么價(jià)值和意義？利用網(wǎng)絡(luò)和分發(fā)的學(xué)習(xí)資料，總結(jié)頻率學(xué)派與貝葉斯學(xué)派在概率的概念定義上的不同之處，并能注意到無論頻率學(xué)派還是貝葉斯學(xué)派對(duì)概率的基本計(jì)算規(guī)則是相同的；還能根據(jù)具體的抽樣樣本對(duì)已知先驗(yàn)分布進(jìn)行后驗(yàn)分布估計(jì)或概率計(jì)算，把握其基本計(jì)算規(guī)則。以上內(nèi)容是翻轉(zhuǎn)課堂第一階段的任務(wù)。

【例】根據(jù)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品是否合格來估計(jì)機(jī)器是不是處于正常狀態(tài)，如果不正常則停機(jī)檢修。假設(shè)機(jī)器只有兩種狀態(tài)：正常和損壞，用表示，機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品也只有兩種情況：合格和不合格，用表示。若已知概率即似然率，則根據(jù)預(yù)先指定的先驗(yàn)分布，利用生產(chǎn)出的產(chǎn)品是否合格（即樣本信息）和貝葉斯原理可以估計(jì)機(jī)器當(dāng)前狀態(tài)即后驗(yàn)概率比如，假定似然率分別為

即：如果機(jī)器工作狀態(tài)正常，則平均每生產(chǎn)100 個(gè)產(chǎn)品只有一個(gè)不合格；如果機(jī)器工作狀態(tài)異常，則生產(chǎn)的產(chǎn)品中至少40%的產(chǎn)品會(huì)是不合格的。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，假設(shè)該機(jī)器每生產(chǎn)100 件產(chǎn)品需要停機(jī)檢修一次，即機(jī)器處于正常狀態(tài)和異常狀態(tài)的先驗(yàn)概率分別可能是0.99 和0.01，即若發(fā)現(xiàn)機(jī)器現(xiàn)在生產(chǎn)出了一件不合格產(chǎn)品，則機(jī)器需要檢修（即處于異常狀態(tài)）的概率是多少？

根據(jù)貝葉斯原理，有

為什么連續(xù)出現(xiàn)不合格產(chǎn)品就要對(duì)機(jī)器停機(jī)進(jìn)行檢修呢？這部分內(nèi)容就可以放到翻轉(zhuǎn)課堂師生面對(duì)面環(huán)節(jié)進(jìn)行分析和總結(jié)，這是翻轉(zhuǎn)課堂第二階段的中心任務(wù)。實(shí)際上，如果連續(xù)出現(xiàn)了兩個(gè)不合格產(chǎn)品，就要在第一個(gè)不合格產(chǎn)品對(duì)機(jī)器處于正常狀態(tài)的概率進(jìn)行修正的基礎(chǔ)上再一次進(jìn)行修正。具體操作是，只需把第一步計(jì)算出的后驗(yàn)概率作為第二步計(jì)算的先驗(yàn)概率，重新利用貝葉斯原理計(jì)算一次后驗(yàn)概率即可：

從中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)產(chǎn)品不合格時(shí)，機(jī)器處于異常狀態(tài)的概率從最初的0.01 急劇上升至0.942，也就是機(jī)器極有可能處于異常狀態(tài)而需要停機(jī)檢修。

對(duì)貝葉斯原理的認(rèn)識(shí)和檢驗(yàn)是否到此結(jié)束呢？不，還要繼續(xù)分析。如果連續(xù)更多次出現(xiàn)不合格產(chǎn)品時(shí)，機(jī)器處于異常狀態(tài)的概率變化趨勢(shì)是怎樣的？這種變化趨勢(shì)是不是跟我們最初假定的先驗(yàn)概率有關(guān)系？如果改變似然率，會(huì)不會(huì)影響這種變化趨勢(shì)？如果連續(xù)檢查生產(chǎn)出的產(chǎn)品是否合格服從某種分布，比如二項(xiàng)分布時(shí)，機(jī)器應(yīng)如何根據(jù)生產(chǎn)出的產(chǎn)品是否合格進(jìn)行及時(shí)檢修？這個(gè)時(shí)候的停機(jī)檢修策略應(yīng)如何制訂？這些問題的解決由于牽涉到比較大的計(jì)算量，手工計(jì)算已不可能，必須借助于編程語言輔助計(jì)算和分析。這一部分內(nèi)容可以放到翻轉(zhuǎn)課堂的第三階段即課后實(shí)施，既可以作為作業(yè)鍛煉學(xué)生的編程能力，又可以從中提高學(xué)生對(duì)貝葉斯原理的深度認(rèn)識(shí)和把握。

2.3 借助R 語言分析貝葉斯原理

貝葉斯原理中涉及的計(jì)算主要是乘法和加法，其中的概率又可以用向量表示，從而貝葉斯原理的計(jì)算可借助R語言編程簡單直觀地表示出來：

情形1：如果連續(xù)出現(xiàn)多個(gè)產(chǎn)品不合格（如4 個(gè)），代碼如下，其運(yùn)行結(jié)果顯示機(jī)器處于異常狀態(tài)的概率就會(huì)急劇上升。

情形2：如果生產(chǎn)的產(chǎn)品服從兩點(diǎn)分布L~B（1,0.1），其中不合格產(chǎn)品的概率為0.1，則應(yīng)如何制訂機(jī)器檢修策略？將情形1 中的數(shù)據(jù)修改為：

運(yùn)行結(jié)果發(fā)現(xiàn)，從長期來看，機(jī)器的后驗(yàn)概率處于異常的概率趨于0。這是一種偶然還是必然？原因是什么？這種趨勢(shì)會(huì)受到不合格產(chǎn)品率的影響嗎？

3 總結(jié)

在聚焦核心原理的問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式下借助編程語言實(shí)現(xiàn)計(jì)算、證明和趨勢(shì)分析，利用翻轉(zhuǎn)課堂實(shí)施概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)，不僅將促進(jìn)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)與創(chuàng)新實(shí)踐相統(tǒng)一，而且可以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，提高自學(xué)能力，培養(yǎng)質(zhì)疑精神，為學(xué)生的長期長遠(yuǎn)發(fā)展提供極大的鞭策和激勵(lì)作用；不僅使得理論不再止步于推演和手工計(jì)算，還可以極大提高學(xué)生從數(shù)據(jù)實(shí)踐的角度深度理解和把握基礎(chǔ)理論及其應(yīng)用價(jià)值的能力。