江蘇省儀征中學(xué) 鄧迎春

南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué) 張曉飛

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(后面簡稱“課標(biāo)”)指出:函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具,在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用.函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)很重要的基礎(chǔ)概念之一,但是很多學(xué)生忽視對(duì)函數(shù)概念的理解.不少學(xué)生存在這些疑問:“為什么初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念,高中還要學(xué)習(xí)新的概念?是不是到了大學(xué)還要學(xué)習(xí)函數(shù)新的定義?函數(shù)的概念到底是怎么產(chǎn)生、怎么發(fā)展的?”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要突出數(shù)學(xué)本質(zhì),而這就需要在教學(xué)過程中讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念,理解數(shù)學(xué)本原性知識(shí),了解數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)文化,掌握數(shù)學(xué)思想,體會(huì)數(shù)學(xué)思維方式,并學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞.很多研究已表明,將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律和數(shù)學(xué)本質(zhì),只有讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程,才能將數(shù)學(xué)冰冷的美麗轉(zhuǎn)變?yōu)榛馃岬乃伎?鑒于此,在2020年秋季學(xué)期本校骨干教師教學(xué)展示活動(dòng)中,筆者就“函數(shù)的概念”這一課題,嘗試從HPM的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),通過若干情境,結(jié)合數(shù)學(xué)史對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)進(jìn)行了重構(gòu),加強(qiáng)函數(shù)概念發(fā)展史內(nèi)容的滲透,促使學(xué)生更好地掌握本節(jié)課內(nèi)容,提升學(xué)生的人文情懷,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).現(xiàn)整理成文,與各位同仁共勉.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1.1問題情境與學(xué)生活動(dòng)

托馬斯曾說過:“函數(shù)概念是近代數(shù)學(xué)思想之花.”今天老師和大家一起學(xué)習(xí)“近代數(shù)學(xué)思想之花”——函數(shù)的概念.可能同學(xué)們會(huì)有疑惑,初中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)的概念了,為什么到了高中還要學(xué)習(xí)?難道函數(shù)還有不同的定義?其實(shí)函數(shù)的概念經(jīng)歷了幾次抽象的過程,下面我們就以教材中的三個(gè)現(xiàn)實(shí)生活問題為載體再重溫一下函數(shù)概念的發(fā)展歷史.

情境1某城市在某一天24 h內(nèi)的氣溫變化情況如圖1所示,試根據(jù)圖象回答下列問題:

圖1

(1)這一變化過程中,有哪幾個(gè)變量?

(2)如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在這個(gè)曲線上運(yùn)動(dòng),它的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)有關(guān)系嗎?

情境說明：此情境中有時(shí)間和溫度兩個(gè)變量.如果動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)是相互依賴的.其實(shí)在歷史上,法國數(shù)學(xué)家笛卡兒在《幾何學(xué)》一文中首先引入變量思想,將變量稱為“未知和未定的量”.1673年,牛頓在微積分的討論中,使用“流量”來表示變量間的關(guān)系.同年,萊布尼茨創(chuàng)造了函數(shù)function一詞,表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量的縱坐標(biāo).此時(shí)為函數(shù)概念的萌芽時(shí)期.

情境2一物體從靜止開始自由下落,下落的距離y(單位:m)與下落的時(shí)間t(單位:s)之間滿足什么關(guān)系?

(1)上述情境中,有幾個(gè)量?常量是哪些?變量又是哪些?

(2)可以通過什么來刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系?

情境3估計(jì)人口數(shù)量變化趨勢(shì)是我們制定一系列相關(guān)政策的依據(jù).表1是我國從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)資料:

表1

(1)表1中有變量嗎?有幾個(gè)變量?

(2)當(dāng)年份確定后,當(dāng)年的人口數(shù)是否確定?你能寫出人口數(shù)關(guān)于年份的關(guān)系式嗎?

情境說明：“是不是所有的變量都能用解析式表示?”在18世紀(jì)中期,隨著生活和科技的發(fā)展,出現(xiàn)了這樣的新問題.如表1中的變量為年份和人口數(shù),當(dāng)年份確定時(shí),對(duì)應(yīng)年份的人口數(shù)也是確定的,但是我們無法寫出人口數(shù)關(guān)于年份的關(guān)系式.18世紀(jì)20年代,德國數(shù)學(xué)家狄利克雷給出如下函數(shù)定義:對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x的值,y都有一個(gè)確定的值,那么y叫做x的函數(shù).這時(shí),我們才認(rèn)為函數(shù)概念的本質(zhì)已經(jīng)形成,即數(shù)學(xué)人常說的函數(shù)的經(jīng)典定義,也稱“對(duì)應(yīng)定義”.

思考1：結(jié)合上述三個(gè)情境問題,如何用集合語言描述兩個(gè)變量?

思考2：如何用集合語言描述函數(shù)的變量對(duì)應(yīng)關(guān)系?

思考3：基于以上兩點(diǎn)思考,你能嘗試用集合的語言給出函數(shù)的定義嗎?

在1930年,近代函數(shù)的定義為:若對(duì)集合M的任一元素x,總有集合N中唯一確定元素y與之對(duì)應(yīng),則稱集合M上定義一個(gè)函數(shù),記為y=f(x).元素x稱為自變?cè)?元素y稱為因變?cè)?

歷經(jīng)數(shù)百年,函數(shù)概念經(jīng)過好幾代數(shù)學(xué)家的錘煉、革新,至此,數(shù)學(xué)家們完成了近代函數(shù)概念建構(gòu)的全過程.但這并不一定是函數(shù)概念的終結(jié)版,隨著科學(xué)的發(fā)展,函數(shù)的概念還在繼續(xù)發(fā)展.

1.2意義建構(gòu)和數(shù)學(xué)理論

蘇教版必修1(2020年7月第一版)給出的函數(shù)定義如下:

一般地,給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B,如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f,對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x,在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(function),記作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自變量,集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域(domain).

思考4：高中的函數(shù)定義與近代函數(shù)的定義有沒有區(qū)別?

思考5：初中的函數(shù)定義與高中的函數(shù)定義有什么異同?

思考6：高中函數(shù)定義的基本要素是什么?

近代函數(shù)定義建立在集合上,高中函數(shù)定義建立在非空實(shí)數(shù)集合上;高中的定義是從集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā),而初中給出的定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā),本質(zhì)是一樣的,都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,不同的是敘述的方式.此三個(gè)思考,能更好地幫助學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上理解新的知識(shí),并融會(huì)貫通.

1.3數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù),如果是函數(shù),你能否說出其定義域和值域?

例2判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)?

設(shè)計(jì)意圖：例1是訓(xùn)練學(xué)生用概念來解析問題,加強(qiáng)對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解.通過例1強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念中的“任意性”與“唯一性”,并促使學(xué)生關(guān)注到,對(duì)應(yīng)的是結(jié)果,而不是過程.例2是概念的再理解應(yīng)用,函數(shù)的定義域相同,且相同的變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是同一函數(shù).簡單地說,如果兩個(gè)函數(shù)的三要素(定義域,對(duì)應(yīng)關(guān)系,值域)相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是同一函數(shù);更簡單地說,定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)即為同一函數(shù).函數(shù)的表達(dá)與字母的使用無關(guān).

1.4總結(jié)與反思

問題：同學(xué)們,今天我們一起徜徉在歷史長河中,經(jīng)歷了函數(shù)概念的萌芽、發(fā)展到逐步完善的過程,并學(xué)習(xí)教材中函數(shù)的定義,你有什么收獲?

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)和反思可以幫助學(xué)生厘清這節(jié)課的“為何”和“如何”的問題,即為何要學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識(shí),又是如何學(xué)習(xí)的,并形成知識(shí)體系,提升學(xué)科素養(yǎng),使學(xué)生更深層次地理解三百多年來函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實(shí)際需求緊密相關(guān).

有的學(xué)生認(rèn)為函數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展都離不開生活,生活是科學(xué)發(fā)展的原動(dòng)力;有的學(xué)生總結(jié)說了解到函數(shù)概念一步一步逐漸發(fā)展成熟的過程,知道了函數(shù)概念的來龍去脈,理解了概念的本質(zhì);還有的學(xué)生覺得人們認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的過程是非常曲折的,科學(xué)研究需要不斷的學(xué)習(xí)與創(chuàng)新;等等.

1.5課外自主探索

自主搜索“狄利克雷函數(shù)”,并了解它在函數(shù)概念發(fā)展中的作用.

設(shè)計(jì)意圖：從課內(nèi)到課外,使學(xué)生能主動(dòng)地有意識(shí)地參與到數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)中,認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用和意義,并能借助課堂上學(xué)習(xí)的思想和方法,形成自主學(xué)習(xí)新知識(shí)的意識(shí)和能力.

2 教學(xué)反思與感悟

HPM是一個(gè)富有魅力、前景廣闊、特色鮮明的學(xué)術(shù)領(lǐng)域.它既需要有一定的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史功底,也需要掌握數(shù)學(xué)教育的理論與研究方法;既需要有坐“冷板凳”的功夫,也需要有較強(qiáng)的社會(huì)實(shí)踐能力.

2.1 以史為鑒,激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情

本節(jié)課的授課對(duì)象為江蘇某四星級(jí)高中高一普通班學(xué)生.從教學(xué)過程看,學(xué)生課堂回答問題的主動(dòng)性、積極性很高.學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的“前世今生”也非常感興趣,在學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生時(shí)而穿越時(shí)空,與先哲對(duì)話,汲取思想養(yǎng)料,探索教學(xué)方法;時(shí)而回歸現(xiàn)實(shí),走入心靈之中,探索數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歷史相似性;教師也時(shí)而掩卷深思,品味成敗得失,展望數(shù)學(xué)教育美好的明天.在課后與同學(xué)的交流中,大部分學(xué)生贊同課堂中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)史,以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,也有利于培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

2.2以史啟真,培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀

函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)中很重要的知識(shí)點(diǎn),但是學(xué)生學(xué)習(xí)之初會(huì)感到很困惑:初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念,為什么又要學(xué)習(xí)函數(shù)的另外一種概念?同時(shí),學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解往往局限于一次函數(shù)、二次函數(shù)等特殊的簡單函數(shù),對(duì)函數(shù)概念存在不少片面認(rèn)識(shí).本節(jié)課通過對(duì)函數(shù)概念發(fā)展歷史的簡單重構(gòu),引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了函數(shù)概念發(fā)展的四個(gè)時(shí)期,了解了數(shù)學(xué)概念發(fā)生、發(fā)展的曲折過程,明確了科學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的源動(dòng)力.法國大數(shù)學(xué)家龐加萊也說:“如果我們想預(yù)見數(shù)學(xué)的未來,適當(dāng)?shù)耐緩骄褪茄芯窟@門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀.”基于HPM重構(gòu)高中數(shù)學(xué)課堂,避免了簡單地告知知識(shí)點(diǎn)是什么,怎么答題,而是把數(shù)學(xué)的本質(zhì)展現(xiàn)出來,通過系列本源性問題,促進(jìn)學(xué)生的思考和探究,最終實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

2.3以史促思,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

我們要知其然,還要知其所以然.“為什么會(huì)萌發(fā)函數(shù)概念?為什么要明確函數(shù)概念?為什么要完善函數(shù)概念?”這些都是數(shù)學(xué)本原性問題.用好數(shù)學(xué)史,可以幫助學(xué)生回歸、溯源、思考原始問題,啟迪學(xué)生思維.大力挖掘數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值,將這些方面用到日常數(shù)學(xué)教學(xué)中,對(duì)于增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣和獨(dú)立鉆研的能力,啟發(fā)學(xué)生的思維和方法,提高數(shù)學(xué)的創(chuàng)新水平等都具有重要的作用.紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行,要使學(xué)生從被動(dòng)的學(xué)習(xí)到主動(dòng)地探究,從知之到樂之.