陳棉駒

筆者所在地區(qū)推進(jìn)初中數(shù)學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)實(shí)踐，經(jīng)過(guò)多年推廣取得了一定的成效，相當(dāng)部分教師已能自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法開展教學(xué)。2022年6月，筆者參加區(qū)里一所初中的高效課堂評(píng)估活動(dòng)，其中一位青年教師執(zhí)教的課“多邊形內(nèi)角和與外角和（第1課時(shí)）”（北師大版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)）備受好評(píng)。這節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)巧妙，教學(xué)中自然而又適當(dāng)?shù)貪B透和呈現(xiàn)了轉(zhuǎn)換與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生抽象能力、幾何直觀、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)成了較好的教學(xué)效果。

然而由于教師對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的核心理解不夠到位，對(duì)其關(guān)鍵要素把握不夠準(zhǔn)確，導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)未能深入開展。為推進(jìn)滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的進(jìn)一步深化，本文將對(duì)該節(jié)凸顯數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)質(zhì)課作簡(jiǎn)要敘述和點(diǎn)評(píng)，對(duì)部分教學(xué)的處理提出改進(jìn)建議，并對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)如何走向深入提出思考。

一、凸顯數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的課例切片分析

環(huán)節(jié)1：課前回顧

教師引導(dǎo)回顧四邊形內(nèi)角和的探究方法，通過(guò)連接對(duì)角線將四邊形分割為兩個(gè)三角形，為后續(xù)多邊形分割為三角形提供了思路和方法的類比對(duì)象。

環(huán)節(jié)2：課堂探究

活動(dòng)1：探究多邊形內(nèi)角和。教師讓學(xué)生自主探究五邊形的內(nèi)角和，學(xué)生自然地從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)連接兩條對(duì)角線，將五邊形分割為三個(gè)三角形，從而得出五邊形內(nèi)角和為3×180°=540°。

活動(dòng)2：探究其他的分割方法。學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考和小組討論，給出了將五邊形分割為三角形的其他方法，教師結(jié)合圖形歸納分割方法為從頂點(diǎn)出發(fā)、從邊上一點(diǎn)出發(fā)、從里面一點(diǎn)出發(fā)、從外面一點(diǎn)出發(fā)（如圖1至圖4）。學(xué)生展示分割的圖形后，教師用幾何畫板演示，并提問(wèn)是否還有其他分割方法，學(xué)生回答應(yīng)該還有其他的方法。

活動(dòng)3：探究n邊形的內(nèi)角和。從五邊形推廣至六邊形、七邊形，直至n邊形，通過(guò)表格呈現(xiàn)計(jì)算內(nèi)角和的式子，學(xué)生分析內(nèi)角和與邊數(shù)關(guān)系的規(guī)律，得出多邊形內(nèi)角和公式。

活動(dòng)4：對(duì)應(yīng)練習(xí)。①九邊形內(nèi)角和是？②一個(gè)多邊形內(nèi)角和是900°，它是邊形？

教學(xué)改進(jìn)建議一

此環(huán)節(jié)教師運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想指引學(xué)生探究多邊形內(nèi)角和，將未知的、復(fù)雜的多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的、簡(jiǎn)單的三角形問(wèn)題，通過(guò)不同的分割方法（分割是轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)下的具體操作），讓學(xué)生明確問(wèn)題解決的關(guān)鍵——將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，為之后特殊平行四邊形的學(xué)習(xí)、幾何問(wèn)題的解決提供了有益的經(jīng)驗(yàn)。然而，將多邊形分割為三角形雖然是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，卻不是轉(zhuǎn)化思想的核心，轉(zhuǎn)化思想的核心是將新知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將高維轉(zhuǎn)化為低維。對(duì)本問(wèn)題而言，三角形的內(nèi)角和為180°是已知的，四邊形的內(nèi)角和為360°同樣是已知的，探究多邊形（邊數(shù)大于4）內(nèi)角和時(shí)，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形和四邊形的組合（如圖5），這種分割方法不僅是可行的，更有助于提醒學(xué)生關(guān)注轉(zhuǎn)化的核心，是有價(jià)值的。目前分割方法只關(guān)注了轉(zhuǎn)化的形式，卻忽略了轉(zhuǎn)化的本質(zhì)。

活動(dòng)2中，學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、小組討論，教師歸納總結(jié)，得到將五邊形分割為三角形的四種方法，培養(yǎng)了學(xué)生分類討論的意識(shí)。然而，教師教學(xué)時(shí)忽略了對(duì)于分類標(biāo)準(zhǔn)的討論，也沒有分析四種分割方法（即分類的四種結(jié)果）在邏輯上是否不重不漏。分類是在分類標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下進(jìn)行的，只呈現(xiàn)分類結(jié)果而缺乏對(duì)分類標(biāo)準(zhǔn)的討論，是目前不少課堂在滲透數(shù)學(xué)思想教學(xué)時(shí)的常見問(wèn)題。對(duì)本問(wèn)題而言，分類標(biāo)準(zhǔn)可以是點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系，平面內(nèi)的點(diǎn)只有在多邊形的頂點(diǎn)、邊上、內(nèi)部以及外部四種情況，所以分割方法就只有四種，其他分割只是圖形的變化，并沒有本質(zhì)的區(qū)別。建立符合邏輯的分類標(biāo)準(zhǔn)以指導(dǎo)分類，這樣分類才能不重不漏。

經(jīng)歷圖形分割后，活動(dòng)3將幾個(gè)特殊多邊形的內(nèi)角和計(jì)算式子以表格形式呈現(xiàn)，行列的對(duì)比分析有助于找到內(nèi)角和與邊數(shù)之間的規(guī)律，再推廣拓展至n邊形，通過(guò)圖形分割尋找數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)以形助數(shù)的思想方法。然而，數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)應(yīng)該是，對(duì)同一問(wèn)題可以從數(shù)和形兩個(gè)維度認(rèn)識(shí)和理解，通過(guò)數(shù)形的轉(zhuǎn)換和結(jié)合，使得對(duì)該問(wèn)題的認(rèn)識(shí)更加深刻。在本問(wèn)題中，通過(guò)連線將多邊形分割為三角形，如果從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)（如圖1），由于相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的連線是邊，而非對(duì)角線，因此連接的對(duì)角線數(shù)量是n-2，從而分割成的三角形個(gè)數(shù)是n-2，因此n邊形的內(nèi)角和即為

（n-2）×180°。如果從多邊形內(nèi)一個(gè)點(diǎn)出發(fā)（如圖3），n邊形可以分割為n個(gè)三角形，內(nèi)角和為n×180°，再減去中間的周角360°，則n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°。結(jié)合圖形分析或推導(dǎo)出邊數(shù)n和公式中n-2的邏輯聯(lián)系，從形和數(shù)兩個(gè)維度，對(duì)多邊形內(nèi)角和形成更全面、更深刻的理解。

環(huán)節(jié)3：典型例題

如圖6，在四邊形ABCD中，已知∠A+∠C=180°，猜想∠B和∠D的關(guān)系。

利用多邊形內(nèi)角和公式求出四邊形內(nèi)角和是360°，再減去已知的∠A與∠C之和，即可得結(jié)果∠B+∠D=180°。

例題來(lái)源于教材，是對(duì)多邊形內(nèi)角和公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，進(jìn)而得出一個(gè)結(jié)論：如果四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ)。

環(huán)節(jié)4：議一議

剪掉一張長(zhǎng)方形紙片的一個(gè)角后，紙片還剩幾個(gè)角？這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少度？學(xué)生通過(guò)思考、畫圖（如圖7）等具體操作后，利用多邊形內(nèi)角和公式解決。

教學(xué)改進(jìn)建議二

議一議的問(wèn)題來(lái)源于教材，原來(lái)編排在探究正多邊形內(nèi)角之后，教學(xué)中將其提前，作為典型例題之后的一個(gè)探究性問(wèn)題，這樣的安排使內(nèi)容銜接更為連貫。學(xué)生自主解決或與同伴交流，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類討論，得到了三種剪切的結(jié)果，培養(yǎng)了思維的發(fā)散性。然而，對(duì)于思維嚴(yán)謹(jǐn)性和全面性的培養(yǎng)，還是略有欠缺。問(wèn)題的關(guān)鍵如同前文提到的分割多邊形，只討論了分類的結(jié)果，卻沒有提出符合邏輯的分類標(biāo)準(zhǔn)。在本環(huán)節(jié)中，教師可以在學(xué)生得出分類結(jié)果后提出問(wèn)題：還有其他的剪角方式嗎？如果有請(qǐng)畫出來(lái)，如果沒有請(qǐng)說(shuō)明理由。通過(guò)問(wèn)題迫使學(xué)生進(jìn)一步思考，反思其中的分類標(biāo)準(zhǔn)。教材將問(wèn)題設(shè)置為議一議，不只討論如何解決，更要討論為什么這樣解決，在表達(dá)、傾聽、質(zhì)疑、答疑中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)素養(yǎng)。

本問(wèn)題分類的標(biāo)準(zhǔn)可以是剪切線與長(zhǎng)方形交點(diǎn)的位置，即剪切線過(guò)兩條邊、剪切線過(guò)一條邊一個(gè)頂點(diǎn)、剪切線過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn)，因此只有三種情況，分類不重不漏。

環(huán)節(jié)5：探究正多邊形的內(nèi)角

教師提問(wèn)：能不能求得正五邊形的每個(gè)內(nèi)角？

學(xué)生回答可以先求出五邊形內(nèi)角和，再根據(jù)正多邊形內(nèi)角相等的性質(zhì)，將內(nèi)角和除以5，從而求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。

最后推廣出正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為。

教學(xué)改進(jìn)建議三

問(wèn)題源于教材，直接提問(wèn)有利于集中學(xué)生的注意力，調(diào)動(dòng)思維，解決問(wèn)題。然而，由于問(wèn)題在邏輯上存在跳躍，學(xué)生只能被動(dòng)地解決問(wèn)題，而無(wú)暇思考問(wèn)題從何而來(lái)。在本問(wèn)題中，教師可以利用問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入思考。

教師：已知如何求多邊形內(nèi)角和，那么如何求每一個(gè)內(nèi)角？（不要求學(xué)生回答，只是引起學(xué)生思考，同時(shí)體現(xiàn)思考問(wèn)題的順序，從整體到部分）例如任意五邊形的內(nèi)角能求出嗎？

學(xué)生：不能。

教師：為什么？

學(xué)生：任意五邊形每個(gè)內(nèi)角不一樣。

教師：怎樣的五邊形才能求出內(nèi)角？

學(xué)生：正五邊形。

教師：為什么？怎么求？

本課的兩個(gè)探究蘊(yùn)含著特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，探究多邊形的內(nèi)角和體現(xiàn)了從特殊到一般的問(wèn)題探究策略，探究正五邊形的內(nèi)角體現(xiàn)了特殊化的思想。多邊形是抽象的、一般化的，難以直接進(jìn)行研究，因此從具體的、特殊的五邊形開始，探究如何將五邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，探究多邊形內(nèi)角和的度數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，并逐漸拓展到六邊形、七邊形，最后推廣一般化為n邊形。對(duì)特殊情況的分析越透徹，一般化的推廣就越順利。而關(guān)于任意五邊形和正五邊形性質(zhì)的思考，是讓學(xué)生感受特殊化思想的一個(gè)很好切入點(diǎn)。任意多邊形不具備的性質(zhì)，通過(guò)邊的特殊化，會(huì)得到內(nèi)角相等的性質(zhì)，即條件的特殊化會(huì)導(dǎo)致性質(zhì)的特殊化，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于之后特殊平行四邊形等的學(xué)習(xí)將有所幫助。

教學(xué)環(huán)節(jié)中還有對(duì)應(yīng)練習(xí)、知識(shí)歸納、知識(shí)鞏固、達(dá)標(biāo)檢測(cè)等環(huán)節(jié)，本文從略。

二、關(guān)于進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的思考

1.提煉主要數(shù)學(xué)思想方法，統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)設(shè)計(jì)

教材呈現(xiàn)的主要是問(wèn)題和知識(shí)，教師一般也是圍繞兩者來(lái)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)問(wèn)題探究提煉知識(shí)，通過(guò)問(wèn)題解決運(yùn)用知識(shí)。而從知識(shí)到能力，從能力到學(xué)科素養(yǎng)，需要數(shù)學(xué)思想方法作為橋梁。為進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，可以提煉該節(jié)課中蘊(yùn)含的對(duì)問(wèn)題探究、解決具有策略引領(lǐng)作用的數(shù)學(xué)思想方法，并從數(shù)學(xué)思想方法的視角，進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。探究多邊形的內(nèi)角和，運(yùn)用從特殊到一般的思想方法，從特殊的、具體的五邊形開始，明確研究對(duì)象后，進(jìn)一步思考研究的思路和方法。未知的是五邊形內(nèi)角和，已知的是三角形和四邊形內(nèi)角和，考慮運(yùn)用轉(zhuǎn)換與化歸思想將五邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，具體的操作方法是分割（數(shù)學(xué)抽象為畫線）。為了探究多邊形內(nèi)角和這個(gè)數(shù)量規(guī)律，借助圖形分割的方法，其中蘊(yùn)含著“以形助數(shù)”的數(shù)學(xué)思想。因此，本課的設(shè)計(jì)應(yīng)以特殊與一般思想為主線，以轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想為重要輔助來(lái)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

2.適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，貫穿教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程中應(yīng)適時(shí)凸顯相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，一般而言，在新知探究中滲透數(shù)學(xué)思想，在解題應(yīng)用中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，在歸納提煉中顯化數(shù)學(xué)思想。在探究多邊形內(nèi)角和時(shí)，滲透了轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法。在例題和練習(xí)中主要滲透了分類討論思想，在歸納時(shí)顯化了問(wèn)題解決關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化。教師可將多邊形內(nèi)角和問(wèn)題（未知），轉(zhuǎn)化三角形內(nèi)角和問(wèn)題（已知），轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)思想（寫在線下），具體方法是分割（寫在線上），本節(jié)課要解決的問(wèn)題、解決的思想、解決的方法就清晰地呈現(xiàn)出來(lái)。

3.凸顯數(shù)學(xué)思想方法核心，促進(jìn)教學(xué)深化

教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的各要素應(yīng)認(rèn)識(shí)到位，教學(xué)時(shí)要凸顯其核心，才能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)。轉(zhuǎn)化思想的核心是將新知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將高維轉(zhuǎn)化為低維。轉(zhuǎn)化為三角形只是一個(gè)方向，轉(zhuǎn)化為四邊形也未嘗不可，當(dāng)然，從向最簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化、向更具有普遍適用性轉(zhuǎn)化而言，轉(zhuǎn)化為三角形是更合適的選擇。分類討論思想的滲透應(yīng)該包括分類討論的必要性、分類的標(biāo)準(zhǔn)、分類的結(jié)果、結(jié)果的討論等，教學(xué)時(shí)不能只限于呈現(xiàn)分類的結(jié)果。數(shù)形結(jié)合不僅是以形助數(shù)或以數(shù)輔形，而是對(duì)同一個(gè)問(wèn)題從形和數(shù)兩個(gè)維度進(jìn)行分析理解，尋求其中數(shù)與形的聯(lián)系。對(duì)于多邊形內(nèi)角和問(wèn)題的探究，既有圖形分割，又有數(shù)式規(guī)律的探索，正是利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透的良好契機(jī)。

責(zé)任編輯 羅 峰