摘 要：通過實踐，在空間直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)上摸索出一種更為靈活的解題方法，且能夠?qū)⒖臻g直角坐標(biāo)系歸為它的一種特殊形態(tài)，根據(jù)它的自身特性，將其命名為“空間垂角坐標(biāo)系”.空間垂角坐標(biāo)系的論證過程，有助于啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維.空間垂角坐標(biāo)系的論證結(jié)果，有助于簡化復(fù)雜立體幾何題的求解，同時有望在數(shù)據(jù)加密、深空探測等領(lǐng)域發(fā)揮作用，應(yīng)用前景廣闊.

關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)；坐標(biāo)系；空間垂角坐標(biāo)系

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）19-0024-03

收稿日期：2023-04-05

作者簡介：陸曄鳴（1991.1-），男，湖南省新化人，本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

從書本中我們得知，空間直角坐標(biāo)系的定義是首先要在空間中設(shè)立一個原點，然后過原點畫出三條兩兩互相垂直的直線，每條直線選定一個方向作為正方向，三條直線就變成了可以標(biāo)注數(shù)值的坐標(biāo)軸，由此空間中任意一點，都可以通過投影的方式，變成具體的數(shù)值來固定方位和距離，一個原點與三條坐標(biāo)軸便組成了我們熟知的空間直角坐標(biāo)系［1］（如圖1）.

而本文首次提出空間垂角坐標(biāo)系，是為打破傳統(tǒng)空間直角坐標(biāo)系建立之方法，卻依然能夠?qū)崿F(xiàn)空間直角坐標(biāo)系的所有功用，并將空間直角坐標(biāo)系作為一種特殊形態(tài)納入其中.本文通過遞進(jìn)式提出觀點，并加以論證，最終完成空間垂角坐標(biāo)系的創(chuàng)立.

1 空間垂角坐標(biāo)系的提出1.1 提出的第一個觀點

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，x軸和y軸保持不動的情況下，z軸只需要保持與平面xOy垂直且z軸O點（Oz）始終在x軸或y軸上z⊥平面xOy∩Oz∈y∪Oz∈x，z軸就可以在該空間隨意移動，對數(shù)學(xué)運算沒有任何影響.

論證過程：此觀點可以通過投影予以證明，所有移動后的z軸，都能原封不動地投影到原來的z軸上.因此，我們得到了空間直角坐標(biāo)系的第一個變種Oxyz′（如圖2），此時的Z軸點O（Oz）為原點O的分身.

1.2 提出的第二個觀點

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，y軸保持不動的情況下，x軸和z軸只需要保持x軸與平面yOz垂直且x軸點O始終在y軸上、z軸與平面xOy垂直且z軸O點始終在y軸上［（x⊥平面yOz∩Ox∈y）∩（z⊥平面xOy∩Oz∈y）］，x軸和z軸就可以在該空間隨意移動，對數(shù)學(xué)運算依然沒有任何影響.

論證過程：此觀點同樣可以通過投影予以證明，所有移動后的x軸和z軸，都能原封不動地投影到原來的x軸和z軸上.此時的空間直角坐標(biāo)系Ox′yz′在樣式上與第一個變種區(qū)別不大（如圖3），x軸O點（Ox）、z軸點O（Oz）均為原點（O）的分身.

1.3 提出的第三個觀點

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，z軸只需要保持與平面xOy垂直且z軸點O（Oz）始終在平面xOy上z⊥平面xOy∩Oz∈平面xOy，z軸就可以在該空間隨意移動，對數(shù)學(xué)運算沒有任何影響.

論證過程：此觀點還是可以通過投影予以證明，所有移動后的z軸，都能原封不動地投影到原來的z軸上.因此，我們得到了空間直角坐標(biāo)系的第二個變種Oxyz″（如圖4）.

1.4 提出空間垂角坐標(biāo)系猜想

有了前兩個空間直角坐標(biāo)系的變種作為參考，我們大膽提出第三個變種的猜想，即空間垂角坐標(biāo)系猜想.所謂的空間垂角坐標(biāo)系，就是指在空間中取三條兩兩互相垂直的直線作為坐標(biāo)軸，每條坐標(biāo)軸各自任意選定一個點作為原點，各自選定一個方向作為正方向，由此組成的坐標(biāo)系即為空間垂角坐標(biāo)系（如圖5）.

2 空間垂角坐標(biāo)系的論證過程

根據(jù)空間垂角坐標(biāo)系猜想，現(xiàn)需要對空間垂角坐標(biāo)系是否可以轉(zhuǎn)化為一個完整的空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行論證，論證過程如下：

設(shè)空間中兩兩互相垂直的坐標(biāo)軸分別為x，y，z，每條坐標(biāo)軸的原點分別為Ox，Oy，Oz，建立空間垂角坐標(biāo)系（如圖6）.圖4 空間直角坐標(biāo)系變種Oxyz″

從設(shè)定條件中已知：x⊥y，y⊥z，z⊥x.

過點Ox作一個與x軸垂直的平面，設(shè)為平面a；

過點Oy作一個與y軸垂直的平面，設(shè)為平面b；

過點Oz作一個與z軸垂直的平面，設(shè)為平面c，

所以x⊥平面a，y⊥平面b，z⊥平面c.

此時，平面a中的任意一點在x軸上的坐標(biāo)值均為0；平面b中的任意一點，在y軸上的坐標(biāo)值均為0；平面c中的任意一點在z軸上的坐標(biāo)值均為0.

因為x⊥平面a，x⊥y，x⊥z，

所以y∥平面a或y平面a；

z∥平面a或z平面a.

又因為y∥平面a或y平面a，y⊥平面b，

所以平面a⊥平面b.

又因為z∥平面a或z平面a，z⊥平面c，

所以平面a⊥平面c.

因為y⊥平面b，y⊥z，

所以z∥平面b或z平面b.

又因為z∥平面b或z平面b，z⊥平面c，

所以平面b⊥平面c.

綜上，平面a⊥平面b，平面a⊥平面c，平面b⊥平面c，

故平面a、平面b、平面c兩兩互相垂直.

兩兩互相垂直的三個平面，有且僅有一個公共點，該公共點既屬于平面a，也屬于平面b和平面c，所以該公共點的坐標(biāo)值為（0，0，0），即我們通常所理解的坐標(biāo)系原點.由此得出，任意一個空間垂角坐標(biāo)系，它都能夠以過坐標(biāo)軸原點作垂直平面的方式找到坐標(biāo)值為（0，0，0）的坐標(biāo)系原點.三條坐標(biāo)軸均可按各自坐標(biāo)軸原點到公共點（坐標(biāo)系原點）的方向和距離進(jìn)行平移，進(jìn)而得到一個完整的空間直角坐標(biāo)系.此時，反觀三個坐標(biāo)軸原點，均為坐標(biāo)系原點的分身.

空間直角坐標(biāo)系及其兩個變種Oxyz′，Oxyz″的建立，都符合空間垂角坐標(biāo)系的定義，而空間直角坐標(biāo)系的定義，無法涵蓋空間垂角坐標(biāo)系.由此看來，與其說空間垂角坐標(biāo)系是空間直角坐標(biāo)系的第三個變種，不如說空間直角坐標(biāo)系及其變種，都是空間垂角坐標(biāo)系的特殊形態(tài)，即坐標(biāo)軸原點重合時的特殊形態(tài).二者之間最大的區(qū)別在于，空間垂角坐標(biāo)系考慮的首要因素是三條坐標(biāo)軸的空間垂直關(guān)系，摒棄了必須先設(shè)立坐標(biāo)系原點的傳統(tǒng)觀念.熟練掌握空間垂角坐標(biāo)系，對學(xué)生理解空間中的線線、線面、面面關(guān)系，解決復(fù)雜立體幾何難題（如圖7），啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維，具有重要意義.

3 空間垂角坐標(biāo)系的應(yīng)用前景

從結(jié)果來看，似乎與空間直角坐標(biāo)系區(qū)別不大，仿佛人們也更習(xí)慣于用空間直角坐標(biāo)系來解題，但從第一個變種Oxyz′到第二個變種Oxyz″以及“空間垂角坐標(biāo)系”的形成，打破了“直角”的束縛，引入了“垂角”的概念，既是對建立空間坐標(biāo)系認(rèn)知上的一次更新，也是思維上的一次巨大跨越.一般人很難想到在空間中憑空建立一個三條坐標(biāo)軸互不相交的垂角坐標(biāo)系.而事實也證明，確實如此，從作者于2008年首次在試題中建立本文中的第一個變種至今，未曾有過“空間垂角坐標(biāo)系”這一提法.

這種思維上的巨大跨越，好比螺紋應(yīng)用于螺絲釘，在當(dāng)代人看來很簡單的一顆螺絲釘，卻在人類漫長的歷史上遲遲沒有出現(xiàn)，直至五百年前才開始出現(xiàn)在人們的視野，而螺紋卻在海螺身上存在過上億年.由此可見，這需要具備發(fā)散性思維，可遇而不可求，極其難得.螺絲釘對現(xiàn)代工業(yè)而言，所起的作用不言而喻，空間垂角坐標(biāo)系在數(shù)據(jù)加密、深空探測等領(lǐng)域也必定會有它的發(fā)揮空間.至少對教學(xué)而言，可以根據(jù)這個原理，開發(fā)出一種新的題型，即區(qū)分兩個不同的空間垂角坐標(biāo)系收集的數(shù)據(jù)是否代表同一幾何體.

綜上所述，空間垂角坐標(biāo)系的出現(xiàn)，打破了“直角”的束縛，引入了“垂角”的概念，將空間直角坐標(biāo)系歸為空間垂角坐標(biāo)系在坐標(biāo)軸原點重合時的一種特殊形態(tài)，既是對建立空間坐標(biāo)系認(rèn)知上的一次更新，也是思維上的一次巨大跨越.對教學(xué)實踐而言，能夠啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維，對生產(chǎn)生活實際應(yīng)用而言，也有其發(fā)揮空間.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 田載今，薛彬.全日制普通高級中學(xué)教科書（實驗修訂本·必修）數(shù)學(xué)第二冊下B［M］.北京：人民教育出版社，2001.

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