摘 要：隨著新課改的進(jìn)行，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)的思想方法對(duì)學(xué)生來說愈加重要. 本文從整體的思想、新舊元的特點(diǎn)對(duì)換元法進(jìn)行了分類， 旨在提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：換元法; 解題; 整體換元; 新元; 舊元

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）21-0038-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡介：于雯雯（1999.11-），女，山東省菏澤人，碩士研究生在讀，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：揚(yáng)州大學(xué)教學(xué)改革研究課題項(xiàng)目“線性代數(shù)線上和線下混合式教學(xué)研究”（YZUJX2020-D11）

羅增儒先生在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》一書中指出：數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)在于數(shù)學(xué)思想的程序化［1］.所以我們在解題時(shí)需要數(shù)學(xué)思想和方法的引領(lǐng)，但同時(shí)也需要一些具體的解題程序和技巧.而換元法就是其中一個(gè)解題方法，它在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用都十分廣泛，在因式分解、解方程、證明不等式、求函數(shù)的值域和定義域、解決數(shù)列問題等方面中都起著重要的作用.應(yīng)用換元法解題的基本步驟是引入一個(gè)或幾個(gè)新的元來代替原有的元，解出新元之后， 再利用新元和舊元的關(guān)系恢復(fù)原來的元，以得到原來問題的結(jié)果.換元法的基本思想是通過變量代換化繁為簡，化難為易，化未知為已知，使問題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解題的目的［2］.但不同題目特點(diǎn)不同，因此解題技巧方法也不同，故而我們需要基于題目本身的特點(diǎn)尋找解題的方向.通過對(duì)以往的文獻(xiàn)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)大部分研究是針對(duì)于不同換元法類型與不同題目間的關(guān)系，如付立業(yè)的《三角換元法，巧解高考題》就介紹了某一類換元法在高考題目中的應(yīng)用；劉延群的《高中數(shù)學(xué)換元解題“六法”》介紹了多種換元方法在解題時(shí)的應(yīng)用；楊小兵的《利用換元法解決一類三根問題》介紹了多種換元法在一類題目中的應(yīng)用，這種一對(duì)多、多對(duì)多或多對(duì)一的方法固然清晰，但方法太多并不易于學(xué)生選擇.因此本文使用分層的思想對(duì)換元法進(jìn)行分類，旨在使讀者對(duì)換元法的本質(zhì)有一個(gè)更加清晰的認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生更容易選擇合適的換元方法.

1 從整體的思想來看

將題目中的一個(gè)或幾個(gè)式子分別看成一個(gè)整體，用一個(gè)或幾個(gè)新元代換它們，以此來使復(fù)雜的問題清晰化、簡單化，從而使問題得到更容易解答的方法叫做整體換元法.一元變量互換性換元、分母換元、目標(biāo)換元等都屬于整體換元.

1.1 一元變量互換性換元

一元變量互換型換元是在應(yīng)用整體換元時(shí)，只需引入一個(gè)變量，這個(gè)變量所替代的部分往往是一個(gè)式子中重復(fù)出現(xiàn)的部分，但有時(shí)并不能直接發(fā)現(xiàn)題目中重復(fù)出現(xiàn)的部分，此時(shí)就需要先對(duì)式子進(jìn)行觀察，尋找各部分之間的關(guān)聯(lián)，再對(duì)問題進(jìn)行解決，這也是換元法的難點(diǎn)所在.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

［2］ 李明振. 數(shù)學(xué)方法與解題研究［M］.上海：上海科技教育出版社， 2022：235-255.

［3］ 孟偉業(yè).整體換元法在解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016， 35（05）：59-63.

［4］ 劉延群.高中數(shù)學(xué)換元解題“六法”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（09）：81-82，95.

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