周永香 ,薛 迅,2,3

（1.華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,上海 200241;2.新疆大學(xué) 理論物理中心,烏魯木齊 830046;3.華東師范大學(xué)重慶研究院,重慶 401120）

0 引言

渦旋現(xiàn)象普遍出現(xiàn)于很多系統(tǒng)中,比如在經(jīng)典流體系統(tǒng)[1-2]、量子流體系統(tǒng)[3-5]、非線性場(chǎng)系統(tǒng)[6]和光學(xué)系統(tǒng)[7]中.攜帶軌道量子數(shù)l的光波構(gòu)成光學(xué)中的渦旋現(xiàn)象[8-9].文獻(xiàn)[10]首次將渦旋光波的概念推廣到了電子渦旋波,即攜帶軌道角動(dòng)量的傳播電子態(tài).渦旋波的普遍特征是其等相面為連續(xù)螺旋面.在以傳播方向?yàn)檩S向的柱坐標(biāo)系中,其波函數(shù)具有軌道角動(dòng)量本征態(tài) eilφ形式的相位因子,其中,φ是關(guān)于傳播軸的方位角,l為軌道角動(dòng)量量子數(shù).渦旋波波函數(shù)具有連續(xù)螺旋狀的等相位面[11-15],量子化的渦旋可以對(duì)應(yīng)到帶非平庸拓?fù)鋽?shù)的拓?fù)涔铝⒆咏?Nye 等[16]首先觀察到這種非平庸的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),他們認(rèn)為這是波列中類似于晶體缺陷的螺旋式位錯(cuò).

對(duì)電子渦旋態(tài)的描述可以借助薛定諤(Schr?dinger)方程、狄拉克(Dirac)方程、克萊因-戈登(Klein-Gordon)方程的渦旋波解.這3 種方程的渦旋波解分別描述了電子渦旋波的非相對(duì)論極限、電子渦旋波的相對(duì)論旋量結(jié)構(gòu)和電子渦旋波的相對(duì)論行為[10,17-22].由于電子渦旋波攜帶軌道角動(dòng)量,其波函數(shù)表現(xiàn)為具有角動(dòng)量本征態(tài) eilφ形式的分離變量解,等相面為螺旋面.在非相對(duì)論Schr?dinger 方程研究框架中,自由電子和恒定磁場(chǎng)中的電子具有守恒的軌道角動(dòng)量分量,均保證了在波函數(shù)中存在角動(dòng)量本征態(tài) eilφ形式的分離變量解[23].渦旋波形式的波函數(shù)解可以是電子的可能運(yùn)動(dòng)狀態(tài).對(duì)自由電子,從Dirac 哈密頓量(H)來(lái)看,總角動(dòng)量是守恒的,但軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量的z分量各自并不守恒,而在非相對(duì)論極限下,自由電子的哈密頓量與軌道角動(dòng)量的z對(duì)易.為了將相對(duì)論協(xié)變的理論過(guò)渡到非相對(duì)論極限,Barnett[24]指出,正確的做法是借助Foldy-Wouthuysen(F-W)變換,這樣才能得到正確的Schr?dinger 方程,并作為相對(duì)論電子波動(dòng)方程的非相對(duì)論極限,使哈密頓量、電子波函數(shù)與軌道角動(dòng)量具有良好的定義.F-W 變換對(duì)Dirac 旋量做幺正變換,使得Dirac 哈密頓量對(duì)角化,即取表象使上下旋量滿足的方程可以分離,在該表象下軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量分別守恒.同時(shí)Barnett[24]還指出,在相對(duì)論Dirac 方程下的軌道角動(dòng)量(L)和自旋角動(dòng)量(S)此時(shí)應(yīng)該有新的定義—L＇和S＇,這個(gè)L＇和S＇與相對(duì)論情況下的Dirac 哈密頓量對(duì)易,從而說(shuō)明攜帶軌道角動(dòng)量的自由電子在相對(duì)論系統(tǒng)中仍然有好的軌道角動(dòng)量的定義.同樣在相對(duì)論協(xié)變下,恒定磁場(chǎng)中的攜帶軌道角動(dòng)量的電子也具有不守恒的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量,但是在非相對(duì)極限下,恒定磁場(chǎng)中的電子所對(duì)應(yīng)的哈密頓量與軌道角動(dòng)量L對(duì)易.2020 年,Zou[25]等同樣利用F-W 變換,將此時(shí)電子所對(duì)應(yīng)的Dirac 哈密頓量變?yōu)閷?duì)角化的哈密頓量,從而分離上下旋量方程,得到相對(duì)論情況下對(duì)應(yīng)的渦旋解,以及在均勻磁場(chǎng)中電子沿z軸傳播對(duì)應(yīng)的渦旋解的古伊相位(Guoy phase).Barnett[24]和 Zou 等[25]雖然選取了軌道角動(dòng)量不守恒的相對(duì)論系統(tǒng),但通過(guò)前面的介紹可知,即使在相對(duì)論情況下的Diarc 哈密頓量與軌道角動(dòng)量不守恒,仍然可以利用表象變換找到與軌道角動(dòng)量對(duì)易的哈密頓量;而且這個(gè)幺正變換也可以重新定義“新的軌道角動(dòng)量”,使在相對(duì)論系統(tǒng)中同樣存在守恒的軌道角動(dòng)量,保證在新的表象下(Foldy-Wouthuysen(F-W) 表象) 的波函數(shù)中,存在軌道角動(dòng)量的本征態(tài) eilφ的分離變量解,從而證明自由電子和恒定磁場(chǎng)下相對(duì)論電子渦旋的存在.

在前面所介紹的相對(duì)論系統(tǒng)中,可以通過(guò)F-W 變換證明此時(shí)的相對(duì)論系統(tǒng)仍然存在守恒的軌道角動(dòng)量.在自然界中存在大量的系統(tǒng)均不存在守恒的軌道角動(dòng)量,如中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子,在相對(duì)論情形下類似自由電子,具有不守恒的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量.經(jīng)過(guò)F-W 變換后,又因?yàn)榇藭r(shí)的勢(shì)能項(xiàng)與坐標(biāo)有關(guān),所以在F-W 變換之后哈密頓量中存在自旋–軌道耦合項(xiàng),導(dǎo)致此時(shí)幺正變換之后的哈密頓量同樣與軌道角動(dòng)量不對(duì)易.那在這種系統(tǒng)中還能得到電子渦旋解嗎？本文就是基于這一目的,從中心力場(chǎng)中的Dirac 方程出發(fā),經(jīng)過(guò)F-W 表象變換,找到在中心力場(chǎng)中攜帶軌道角動(dòng)量的電子沿z軸傳播的渦旋解,以及此時(shí)所對(duì)應(yīng)的等相位螺旋面.

1 中心力場(chǎng)中的電子渦旋

1.1 中心力場(chǎng)中的Dirac 方程

中心力場(chǎng)中的電子滿足Dirac 方程

其中,σi(i=1,2,3) 為泡利(Pauli)矩陣,I為 2×2 單位矩陣.

從式(1)和式(2)中很容易看到,[Lz,H]≠0,[Sz,H]≠0,[Jz,H]=0 .所以此時(shí)無(wú)法判定,在相對(duì)論情況下,中心力場(chǎng)中攜帶軌道角動(dòng)量的電子沿z軸傳播時(shí),是否存在 eilφ的分離變量解.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),可以借用Barnett[24]所提出的F-W 表象變換,將相對(duì)論Diarc 方程和非相對(duì)論下的Schr?dinger 方程聯(lián)系在一起,構(gòu)造一個(gè)對(duì)角化的哈密頓量,從而使四分量旋量中的上下分量分開(kāi): 一個(gè)二分量方程構(gòu)成Pauli 方程;另一個(gè)二分量方程描述負(fù)能解.

1.2 F-W 變換

對(duì)式(2)的H做F-W 變換.類似于自由電子下的F-W 變換,先對(duì)H進(jìn)行分類: 一類為與β反對(duì)易的奇算子,用θ表示,滿足{θ,β}=0 ;另一類為與β對(duì)易的偶算子,用ε表示,滿足 [ε,β]=0 .因此H的分類為

式(6)所表示的H＇＇滿足做F-W 變換的目的:將哈密頓量變?yōu)橹话妓惴膶?duì)角化矩陣,從而能夠使四分量波函數(shù)分離成2 個(gè)二分量旋量.所以經(jīng)過(guò)F-W 變換之后的Schr?dinger 方程為

可以看到,在式(10)中的哈密頓量因?yàn)榇嬖谧孕C軌道耦合項(xiàng),并不與軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量對(duì)易,即 [Lz,H＇＇]≠0,[Sz,H＇＇]≠0,但滿足 [Jz,H＇＇]=0.這正是與之前的研究中不同的地方.在之前的有關(guān)電子渦旋波的研究中,軌道角動(dòng)量守恒是電子渦旋解存在的條件,如在非相對(duì)論系統(tǒng)中的自由電子和均勻磁場(chǎng)中的電子;而在相對(duì)論系統(tǒng)中,即使Dirac 哈密頓量與軌道角動(dòng)量并不對(duì)易,但是經(jīng)過(guò)FW 表象變換之后,便可以找到與軌道角動(dòng)量對(duì)易的哈密頓量,而且在F-W 變換之后,也可以定義“新的軌道角動(dòng)量”使得在相對(duì)論系統(tǒng)中仍存在守恒的軌道角動(dòng)量,從而使在F-W 表象下電子的沿z軸傳播解具有渦旋結(jié)構(gòu).但在本文的研究中,考慮的是在F-W 變換之后,哈密頓量與軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量仍不對(duì)易,但因?yàn)榇嬖诳偨莿?dòng)量守恒,可以用軌道角動(dòng)量對(duì)應(yīng)的本征態(tài) eilφ和自旋的±1/2 的糾纏態(tài)去描述此時(shí)的渦旋結(jié)構(gòu).所以對(duì)于式(10)中的與總角動(dòng)量對(duì)易的哈密頓量,其對(duì)應(yīng)的波函數(shù)可以用總角動(dòng)量的z分量Jz的本征波函數(shù)去描述,即

式(14)和式(15)這2 個(gè)方程與傍軸方程具有相似性.傍軸方程為

是對(duì)自由電子在柱坐標(biāo)中的Schr?dinger 方程

運(yùn)用了傍軸近似?2/?z2≈2ik(?/?z)+k2.因?yàn)槭?16)中的哈密頓量與Lz對(duì)易,可分離 eilφ的變量解.令ψ=u(r,z)eikzeilφ,代入式(16),可得

令τ=ρ2,可得到滿足廣義拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式的方程

對(duì)于式(16)所對(duì)應(yīng)的解,便可得到

式(14)和式(15)與傍軸方程(式(16))具有相似性,故可以對(duì)式(14)、式(15)這2 個(gè)方程也利用傍軸近似?2/?z2≈2ik(?/?z)+k2[30-31],并令a=eikza＇,b=eikzb＇,則a＇,b＇是只與(r,z) 有關(guān)的函數(shù),與φ無(wú)關(guān).代入式(14)、式(15)分別可得

其中,l＇=l+1 .

對(duì)于方程(23)和方程(24)無(wú)法像解傍軸方程一樣,引入無(wú)量綱量ρ(r,z) 將方程變?yōu)橹缓训某Ｎ⒎址匠?故引入表示微擾程度的參數(shù)γ.令a＇=φ0+γφ1,b＇=η0+γη1,代入式(23)、式(24),得到γ的零次冪所對(duì)應(yīng)的2 個(gè)方程

即為式(22)去除 eikzeilφ的解.

對(duì)于γ一次冪的2 個(gè)方程,先看第一個(gè)方程(式(27)),此時(shí)可以視為對(duì)有源的場(chǎng)方程求解.對(duì)其兩邊同時(shí)乘以 eikzeilφ,并還原傍軸近似,便可得到

2 柱坐標(biāo)下的Green 函數(shù)

將式(35)化為柱坐標(biāo)下的Green 函數(shù)方程,可得

對(duì)于 δ(φ-φ＇),δ(z-z＇),可用φ,z方向的正交歸一函數(shù)來(lái)表示,即

其中,gm(r,r＇) 為r方向的波函數(shù).

將式(38)和式(39)代入式(37),可得

其中,K為徑向波數(shù)的平方,即K2=k2-kz2.當(dāng)r≠r＇時(shí),式(40)對(duì)應(yīng)著貝塞爾(Bessel)函數(shù)的2 個(gè)線性獨(dú)立解: Jm(Kr) 和 Nm(Kr) ,其中,Jm(Kr) 為第一類Bessel 函數(shù),Nm(Kr) 為第二類Bessel 函數(shù).所以可設(shè)式(40)中的解: 當(dāng)r＜r＇時(shí),P1(Kr) 為第一類Bessel 函數(shù)和第二類Bessel 函數(shù)的某一線性組合,它滿足適當(dāng)邊界條件;當(dāng)r>r＇時(shí),P2(Kr) 為另一線性組合,它滿足固有邊界條件,其表達(dá)式為

此時(shí)便可利用文獻(xiàn)[34]所介紹的方法得到在柱坐標(biāo)系下的Green 函數(shù)的解

對(duì)于式(43)和式(44),可以用 δ 函數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的化簡(jiǎn).因?yàn)長(zhǎng)aguerre-Gauss 傍軸解φ0,η0中均不含方位角φ,所以可得

3 結(jié)論

由a＇=φ0+λφ1,a=eikza＇,便可以得到對(duì)于旋量波函數(shù)u的上分量 eilφa.相應(yīng)公式為

可以看出,上旋量中Lz的本征態(tài) eilφ的存在.

對(duì)式(53)做數(shù)值積分并畫圖,可以得到,當(dāng)ρ一定時(shí),ψ所對(duì)應(yīng)的螺旋線如圖1 所示,其中,ρ=r/W(z) 為無(wú)量綱徑向坐標(biāo)參量,波形每旋轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)動(dòng)波函數(shù) eilφ相位變化為 2π .當(dāng)攜帶軌道角動(dòng)量的電子在中心場(chǎng)中沿z軸運(yùn)動(dòng)時(shí),旋量上分量解φ所對(duì)應(yīng)的螺旋等相位面如圖2 所示,其中,軌道量子數(shù)l=1 ,波形每旋轉(zhuǎn)一周相位變換為 2 π .

圖2 旋量上分量解 φ 所對(duì)應(yīng)的螺旋等相位面Fig.2 The helical equiphase surface of the spinor upper component solutionφ

根據(jù)上面得到的旋量上分量的方法,同樣可以得到中心力場(chǎng)下的電子沿z軸運(yùn)動(dòng)時(shí)的旋量下分量解

取徑向量子數(shù)n=0 的束縛基態(tài)和l=1 ,式(54)給出了不同的旋量下,分量等相面和不同常ρ面的螺旋線交線,詳見(jiàn)圖3 和圖4,以及中心力場(chǎng)中的攜帶軌道角動(dòng)量的電子沿z軸傳播時(shí),其旋量下分量η的等相位面,詳見(jiàn)圖5,其中ρ=r/W(z) 為無(wú)量綱徑向坐標(biāo)參量.

圖3 z 取值從 - 6 到 6 時(shí),旋量的下分量等相面與 ρ=1.2 面所交的渦旋線Fig.3 The spiral line intersected by the spinor lower equiphase and ρ=1.2 surfaces with the value of z ranging from - 6 to6

圖4 z 取值從 - 6 到 6 時(shí),旋量的下分量等相面與 ρ=1.5 面所交的渦旋線Fig.4 The spiral line intersected by the spinor lower equiphase and ρ=1.5 surfaces with the value of z ranging from - 6 to6

圖5 旋量下分量 η 的渦旋解等相面Fig.5 The helical equiphase surface of the spinor lower component solutionη

由圖3 和圖4 可以看到,當(dāng)軌道量子數(shù)l＇=2 時(shí),旋量下分量等相面與等ρ面所交螺旋線為2 條.通過(guò)觀察圖5 則更清晰地看出,當(dāng)選擇同一相位時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)的螺旋等相面卻有兩種不同的情況,這是因?yàn)槌跸辔贿x擇可以相差 π 的整數(shù)倍,而選擇奇數(shù)倍和偶數(shù)倍就會(huì)導(dǎo)致相應(yīng)的X,Y反號(hào),因此導(dǎo)致了圖3、圖4、圖5 中對(duì)于同一個(gè)等相位面,具有兩種不同的情形.

本文所求得的二分量旋量作為Dirac 旋量在F-W 表象中式Dirac 旋量的上旋量,經(jīng)F-W 逆變換會(huì)將上下旋量糾纏起來(lái),下旋量由上旋量給出,其在中心力場(chǎng)中的自旋渦旋糾纏態(tài)解,會(huì)使Dirac 旋量整體具有渦旋結(jié)構(gòu).這樣非相對(duì)論極限的渦旋解經(jīng)過(guò)F-W 逆變換就可以給出相對(duì)論Dirac 旋量的渦旋解[25].

根據(jù)上面的數(shù)學(xué)表達(dá)式和圖形展示,可以看到攜帶軌道角動(dòng)量的電子在中心力場(chǎng)中沿z軸傳播時(shí),確實(shí)存在渦旋解及所對(duì)應(yīng)的螺旋等相位面,這說(shuō)明在中心力場(chǎng)中傳播的電子確實(shí)具有電子渦旋結(jié)構(gòu).而且本文的研究是在軌道角動(dòng)量不守恒的中心力場(chǎng)中,與之前的電子渦旋波的研究有很大的不同.之前的研究都是在可以得到守恒的軌道角動(dòng)量的系統(tǒng)中,比如自由電子和均勻磁場(chǎng)中的電子,在這類系統(tǒng)中,能夠分離軌道角動(dòng)量的z分量的本征態(tài) eilφ和自旋波函數(shù)的±1/2 解,從而得到人們熟知的渦旋解;而在中心力場(chǎng)下需考慮F-W 變換之后的自旋–軌道耦合效應(yīng),這就使得中心力場(chǎng)中電子所對(duì)應(yīng)的哈密頓量并不與軌道角動(dòng)量對(duì)易,但此時(shí)的體系總角動(dòng)量守恒,可以構(gòu)建電子自旋態(tài)與軌道渦旋態(tài)的糾纏態(tài),這種渦旋波是二分量旋量渦旋波.

本文為軌道角動(dòng)量不守恒的系統(tǒng)提供了新思路.因?yàn)榭偨莿?dòng)量守恒的限制條件比之前的條件限制更弱,所以能為更多的軌道角動(dòng)量不守恒但總角動(dòng)量守恒的系統(tǒng)證明該系統(tǒng)仍然具有渦旋結(jié)構(gòu).中心力場(chǎng)誘導(dǎo)自旋軌道耦合的體系對(duì)于電子的傳播環(huán)境比自由電子和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子更具有普適性,其旋量渦旋波比單純的軌道渦旋波有更高的穩(wěn)定性和實(shí)驗(yàn)上的可實(shí)現(xiàn)性.另外,由于中心力場(chǎng)是大自然中較常見(jiàn)的勢(shì)能場(chǎng)之一,而且中心力場(chǎng)在許多方面也有重要作用,比如中心力場(chǎng)在原子結(jié)構(gòu)和原子核結(jié)構(gòu)的研究中均占有重要地位,所以研究中心力場(chǎng)中的電子渦旋結(jié)構(gòu)可以幫助人們更好地認(rèn)識(shí)原子內(nèi)部結(jié)構(gòu);中心力場(chǎng)與引力場(chǎng)的形式也很相似,因?yàn)樵谟钪嬷写嬖诖罅繑y帶軌道角動(dòng)量的射線,但是在引力場(chǎng)的度規(guī)下,很難得到與軌道角動(dòng)量對(duì)易的哈密頓量,而總角動(dòng)量守恒的條件又相對(duì)較弱,所以便可以利用本文所描述的方法來(lái)更好地考慮引力場(chǎng)中的電子渦旋,從而為宇宙射線的觀測(cè)開(kāi)辟新的對(duì)象.