盧 晨,于志飛,焦高鋒,陳麗清,袁春華

（華東師范大學 物理與電子科學學院,上海 200241）

0 引言

時間模式(temporal modes)是一組正交的波包模式[1],可用來表征時域多模量子光場.時間模式作為光的一個自由度,也可作為基矢構建一個無窮維的希爾伯特空間,使之為量子系統(tǒng)的描述提供一個可選擇的理論框架[2].此外,時間模式已被用于描述各種非線性光學過程,如受激拉曼散射[3]、自發(fā)參量下轉換[4]和超熒光[5]等;而且實驗上可以實現(xiàn)對時間模式的操縱、轉換、多分復用和探測[2].因此,時間模式在量子存儲[6-7]、量子信息處理[1]和量子成像等方面具有重要的研究意義及深遠的應用潛力.

1989 年,Raymer 等[8]在理論上研究了受激拉曼散射(stimulated Raman scattering,SRS)系統(tǒng)中斯托克斯(Stokes)光場的時間模式結構,并解釋了SRS 線性區(qū)域光脈沖強度的時域量子漲落特性.近幾年,針對時間模式的研究主要是圍繞非線性光學頻率轉化[9]、模式探測[10-11]、量子信息編碼[12-13]及優(yōu)化系統(tǒng)噪聲應用[14]等方面展開.Silberhorn 和Brecht 研究小組在波導中利用非線性參量下轉換和量子脈沖門[15-16]技術,產生各種光量子態(tài),控制光子對的時間模式結構,精確測量了復雜的時間波形,并實現(xiàn)了高保真度的時間模式量子層析和純化[17-19],且在一定的時/頻模式疊加范圍內實現(xiàn)了遠程狀態(tài)投影[20];Li Xiaoying 課題組在光纖脈沖泵浦系統(tǒng)中,對光子對的聯(lián)合頻譜函數(shù)做奇異值分解得到了獨立時間模式的形式[21],同時分析了連續(xù)變量的時間復用多維量子糾纏特性[22],并在理論上利用交叉迭代反饋方法分析了光纖非線性系統(tǒng)的時間模式,且首次在實驗上利用此方案直接測量得到了時間模式[23-24];Michael G.Raymer 課題組在理論和實驗上研究了非線性光學波導中量子頻率轉換對時間模式的選擇性[13],以及時域波形的時序翻轉[25];Feng 等[14]在實驗上實現(xiàn)了利用時間波形優(yōu)化過的種子光,使SRS 過程中產生的信號光的強度噪聲減小,這一結果有助于提高基于光?原子系統(tǒng)的精密測量的精度.還有研究者指出,在量子存儲中,當入射光場的時域波形與存儲介質本身的特征屬性相匹配時,量子存儲的性能達到最佳[7].另外,對于多時間模式量子存儲的相關研究也已取得重大的進展,如Guo Guangcan 團隊實現(xiàn)了確定性單光子 100 個時間模式的量子存儲[26].在其他研究領域,如Patera 等[27]將時域本征模式引入量子時域成像進行分析,說明了量子時域成像的多模特性.然而已有的研究關注的幾乎都是在系統(tǒng)中引入光場時間模式這一概念,并對所得的研究結果進行分析和解釋,缺乏直接針對光場時間模式的特性進行的研究.因此開展這方面的研究就非常有必要.

本文基于Stokes 種子光誘導的連續(xù)迭代SRS 模型,研究了SRS 系統(tǒng)中輸出光場的時域波形在迭代過程中的演化以及時間模式特性.首先,根據(jù)迭代受激系統(tǒng)模型的光場表達式,數(shù)值研究了時域波形在連續(xù)迭代SRS 系統(tǒng)中的演化特性,得到不同波形種子光注入通過迭代會得到相同的穩(wěn)定波形輸出,而輸出光場波形和時間帶寬均依賴于泵浦光場,此結論和文獻[14]中的實驗結果一致;然后,根據(jù)光場的雙時量子一階關聯(lián)函數(shù),并利用數(shù)值模擬進一步分析了穩(wěn)定輸出的Stokes 光場時間模式特性.

1 迭代受激拉曼散射模型

圖1 迭代受激拉曼散射模型和時間模式分解圖Fig.1 Schematic representation of iterative stimulated Raman scattering model and temporal mode decomposition

首先回顧 Λ 型三能級原子系綜的拉曼散射(Raman scattering,RS)理論[28].在偶極近似下一維原子演化的耦合運動方程可以寫為

其中κ1=dmedeg(1/Δ+1/(Δ+ωL+ωS)) 為光與原子耦合系數(shù).當光場頻率與高激發(fā)態(tài)能級存在失諧Δ,則可絕熱消去高激發(fā)態(tài)|m〉,即初始原子均近似處于基態(tài)|g〉,則σgg(0)=1 .將原子慢變算符表示為

即為原子自旋波算符.那么式(2)將變?yōu)?/p>

接下來考慮Stokes 光場的傳播特性,其遵循Maxwell-Bloch 方程

其中c為光速.通過計算原子極化強度,將頻率在ωS附近的項保留,則得到一維慢變包絡近似下光場的脈沖傳播方程

結合式(4)和式(6),并利用時間變換τ=t-z/c,可得

利用Laplace 變換求解微分方程組式(7)和式(8),可以得到

計算得到,其中,A為原子池的橫截面積.計算時,先對空間進行積分,并利用算符的對易關系

其中ρ=AN表示原子密度,N為原子數(shù).通過積分可得到在原子系綜末端(z=l)的輸出光強

Stokes 光場強度表達式(式(12))中,等號右側第一項和第四項均來源于注入的種子光場,第二項和第三項則分別來源于原子自旋波以及真空噪聲.

2 Stokes 光場時域波形演化

每次迭代都經歷受激拉曼過程,將前一次輸出的Stokes 光場作為下一次受激拉曼過程的輸入種子,受激放大后的Stokes 光場為

式(14)中:n表示迭代次數(shù);0 和l分別代表原子系統(tǒng)的輸入端和輸出端.

從Stokes 光場強度的表達式(式(12))出發(fā),通過數(shù)值計算時域波形的演化,分析輸出的Stokes光場在連續(xù)迭代SRS 系統(tǒng)中的時域特性.首先固定泵浦脈沖波形為單峰高斯,然后注入不同波形的多峰高斯種子光場,分別進行迭代.圖2 分別展示了5 種不同的高斯種子波形,即單峰、雙峰、3 峰、4 峰、5 峰結構的種子波形注入SRS 系統(tǒng)進行迭代后的時域演化結果(時域、光場強度隨時間(t)演化的結果),其中,所展示的時域波形為中間迭代過程所截取的部分,分別為第1 次,第3 次,第5 次,···,第21 次迭代后輸出的歸一化波形(圖中波形變化的情況均為無量綱化的結果,后續(xù)圖亦如此).可以看到,圖2(a)輸出的波形隨著迭代次數(shù)增加一直是單峰高斯波形;圖2(b)—(e)初始為多峰高斯種子光場,隨著迭代次數(shù)的增加,輸出的Stokes 光場從初始的多峰波形逐漸變?yōu)閱畏甯咚共ㄐ?與圖2(a)一樣最終都演化為穩(wěn)定的單峰型高斯波形.需要注意的是,當改變系統(tǒng)的參數(shù)時,達到穩(wěn)定波形所需要的迭代次數(shù)也是變化的,如減小泵浦光強即減小系統(tǒng)增益系數(shù),收斂所需的迭代次數(shù)會增加.

圖2 注入5 種不同波形的高斯種子光場,歸一化的時域強度波形迭代演化Fig.2 Gaussian seed light fields injected with five different waveforms,the iterative evolution of normalized temporal intensity waveforms

圖3 展示的是5 種不同的高斯種子波形注入得到的第21 次迭代的輸出結果: 圖3(a)為未歸一化波形對比,反映了迭代后具體的光場是有區(qū)別的,區(qū)別在于其迭代的峰值不同;圖3(b)為歸一化波形對比,很明顯它們迭代收斂后的單峰型高斯波形幾乎重疊,即無論輸入的種子波形如何,迭代之后的輸出均會收斂于同種波形.

圖3 注入5 種不同波形的高斯種子光場經過迭代后最終輸出的穩(wěn)定波形對比Fig.3 Gaussian seed light fields with the final stable output waveform in contrast to the Gaussian seed light field injected with 5 different waveforms after iterations

進一步考慮,改變種子光場的脈沖半高全寬,在固定泵浦脈沖波形為單峰高斯的基礎上,變化圖2(a)中種子光場的半高全寬,從原來的τ0變?yōu)?0.1τ0、0.2τ0、5τ0、1 0τ0,結果如圖4 所示.輸入5 種不同時間半高全寬的高斯種子光場,歸一化收斂波形的半高全寬均相同,且波形重疊.

圖4 注入5 種時間半高全寬的高斯種子,迭代后最終輸出的歸一化穩(wěn)定波形Fig.4 Gaussian seed light fields with five different seed fields with full widths at half maximum,and the normalized intensity of the final output stable waveform after iterations

圖5 注入泵浦光場波形和3 種不同泵浦光場波形驅動情形下,注入5 種不同的種子光迭代輸出的歸一化波形對比Fig.5 The input pump waveforms and in cases of three pump waveform,the normalized intensity contrast of the final output stable waveform after iterations

圖6 注入3 種不同時間半高全寬的泵浦光場，迭代后最終輸出的穩(wěn)定波形的光場強度波形歸一化對比Fig.6 The pump light fields for three different full widths injected at half maximum,the normalized light field intensity contrast of the final output stable waveform after iterations

本章所研究的迭代SRS 模型是針對具體物理系統(tǒng)—SRS 系統(tǒng),實現(xiàn)了對輸出Stokes 光場波形的非線性迭代求解.當泵浦場和原子系統(tǒng)參數(shù)確定下來,拉曼系統(tǒng)的最終解形式就是確定的,但是理論和實驗上想直接找到這個解的精確形式很困難,可以通過種子光迭代的方式逐步逼近找到系統(tǒng)最終解.初始注入的種子光可看作迭代求解器的試探解,最終輸出的穩(wěn)定波形就是該系統(tǒng)通過迭代求解器得到的最終解.所以不同波形種子光注入通過迭代會得到相同的穩(wěn)定波形輸出,而輸出光場波形和時間帶寬均依賴于泵浦光場,此結論驗證了Feng 等[14]的實驗.

3 Stokes 光場時域波形的模式分解

第2 章數(shù)值模擬給出了迭代輸出Stokes 光場的時域波形的演化.為了進一步解釋上述時域波形收斂的結果,本文采用光場時域施密特(Schmidt)模式分解的方法來闡述說明.在參量下轉換的時間模式理論中,通過對雙子聯(lián)合頻譜函數(shù)進行奇異值分解以獲得信號光和閑頻光的模式函數(shù)形式,而Stokes 光場的施密特模式分解過程與其過程具有物理等價性[29].因此,Stokes 光場時間模式函數(shù)的具體形式可以對其雙時量子一階關聯(lián)函數(shù)進行施密特模式分解而確定.

利用Karhunen-Loeve 理論[8],將Stokes 光場算符用一組完備的正交基矢ψi(τ) 展開

做數(shù)值計算時,選取有限的時間參數(shù)T使積分收斂.根據(jù)式(9)給出的Stokes 光場的解,計算得到雙時量子一階關聯(lián)函數(shù)為

采用施密特模式分解法,將式(16)離散化,此積分方程即轉化為求解量子一階關聯(lián)函數(shù)的本征值及其本征矢的問題.

將迭代后輸出的光場進行模式分解,所得結果如圖7 所示,其中,圖7(a)—(d)所示是時間模式的前4階的模式函數(shù),圖7(e)和圖7(f)給出了前4 階相應的本征值占比圖7(e)是圖2(b)中迭代3 次后輸出光場的時間模式分解的本征值占比,可以得到,本征值分布在前3 階.圖7(f)是對圖2中最終輸出穩(wěn)定波形的本征值占比,很明顯出現(xiàn)了與圖7(e)不同的情形,本征值幾乎全部集中在基模,這進一步說明了SRS 過程中輸出的Stokes 光場是多模光場且存在模式競爭,多次迭代類似于腔場振蕩,最后穩(wěn)定于基模.

圖7 前4 階時間模式函數(shù) ψ0,ψ1,ψ2,ψ3 ;迭代3 次和迭代21 次后光場時間模式分解的本征值占比Fig.7 First four orders of the temporal mode ψ0,ψ1,ψ2,ψ3 ;the eigenvalue ratio of the light field temporal mode decomposition of three iterations and twenty-one iterations

4 結論

本文研究了迭代受激拉曼散射系統(tǒng)的輸出光場時間模式特性.在固定泵浦光場的時域波形為高斯或超高斯情形下,針對不同波形的種子光場注入,經過迭代之后系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的時域波形.結果表明: 當泵浦光波形為確定半高全寬的高斯或超高斯時,無論種子光場波形如何變化,輸出Stokes 光場的時域波形最終均收斂為同一種波形,輸出的穩(wěn)定波形的時間半高全寬依賴于泵浦光場.然后將輸出的Stokes 光場的時間模式分解后,所得本征值占比最大的模式的占比趨近于1.

本文依據(jù)迭代系統(tǒng),從理論上解釋了受激拉曼散射系統(tǒng)中存在時間模式競爭效應,并且證實了系統(tǒng)迭代的收斂性,還說明了系統(tǒng)本征時間模式依賴于驅動的泵浦光場.此方案的結果對于非線性受激系統(tǒng)的實驗研究具有重要參考價值.