郜舒竹 羅玉曉 王璐佳

【摘? ?要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中兩次出現(xiàn)“十進制計數(shù)法”，而不是“十進制記數(shù)法”。像這樣“計數(shù)”與“記數(shù)”混用的現(xiàn)象極其普遍?？疾檎Z義、認知、教學以及權(quán)威文獻等可以發(fā)現(xiàn)，“十進制記數(shù)法”的說法更為恰當。同時，由“計數(shù)”衍生而來的“計數(shù)單位”，其意義與“數(shù)的單位”的意義存在混淆問題。因此，依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》進行教科書編修以及教學設計時，應特別注意理解并區(qū)分計數(shù)與記數(shù)、計數(shù)單位與數(shù)的單位、計數(shù)單位與位值、分數(shù)單位與單位分數(shù)的意義及其關系，謹防因為誤解而導致教學與評價的混亂。

【關鍵詞】十進制；計數(shù)；記數(shù)；計數(shù)單位

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）在第二學段的“內(nèi)容要求”及“教學提示”中，兩次出現(xiàn)“十進制計數(shù)法”的表述，將十進制視為“計數(shù)”的方法。2001年頒布的《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》在“教材編寫建議”中，類似的表述是“十進位制記數(shù)法”，十進制或十進位制又成為“記數(shù)”的方法。

同樣的十進制，既是“計數(shù)”的方法，又是“記數(shù)”的方法，“計數(shù)”與“記數(shù)”似乎成為可以相互替代的同義詞。像這樣將“計數(shù)”與“記數(shù)”混用的現(xiàn)象，還出現(xiàn)在“計數(shù)單位”和“記數(shù)單位”的表述中?！度嗣窠逃房d的《數(shù)感，是如何豐滿起來的》一文中，就同時出現(xiàn)了“計數(shù)單位”與“記數(shù)單位”兩個詞［1］，從文中很難分辨二者的意義及其關系。

凡此表明，“計數(shù)”與“記數(shù)”兩個詞的混用，已經(jīng)成為數(shù)學課程與數(shù)學教學中的普遍現(xiàn)象。從音、形、義三個角度看，“計數(shù)”與“記數(shù)”具有音同、形近的特點，因此容易混淆二者的意義，導致教學與評價出現(xiàn)似是而非的混亂。因此，有必要對這兩個詞匯的意義及其關系進行辨析與澄清。

一、計數(shù)

從目前查閱到的文獻看，漢語中的“計數(shù)”一詞始見于我國春秋時期的經(jīng)濟學家、軍事家、政治家、哲學家管仲（？—前645）所著的《管子·七法》：“剛?cè)嵋玻p重也，大小也，實虛也，遠近也，多少也，謂之計數(shù)?！边@六對概念都牽涉到客觀世界的“量（quantity）”［2］?！拜p重”指的是物體的質(zhì)量或重量，“大小、遠近”描述的是諸如長度、面積和體積這種空間意義的幾何量，“多少”應當是離散量的個數(shù)，“實虛”表達的是容器的容量。排在第一位的“剛?cè)帷毕鄬碗s，指的是諸如濃度、速度、密度這種程度變化的量［3］，其意義相當于“強度量（intensive quantity）”［4］。

由此看來，《管子·七法》中的“計數(shù)”所涵蓋的范圍相當廣泛，小至柴米油鹽、行車走路，大到治國理政、排兵布陣，凡指向“量”的認知活動，都可以視為計數(shù)。文中對計數(shù)的重要性的描述為：“不明于計數(shù)，而欲舉大事，猶無舟楫而欲經(jīng)于水險也。”意思是說：想成大事，就要善于計數(shù)，否則就如同涉水而沒有船只一樣。綜上，可以概括出《管子·七法》中計數(shù)的意義：

l計數(shù)是人對客觀世界的認知活動。

l計數(shù)活動的對象是客觀世界中的量。

l計數(shù)是人類必不可少的認知活動。

隨著時代的發(fā)展，“計數(shù)”這種廣義的意義逐步窄化［5］。我國近現(xiàn)代數(shù)學教科書以及相關文獻中，計數(shù)一般等同于“數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）”。顧汝佐、蔣沖等主編的《算術(shù)辭典》中，“計數(shù)”的釋義為：“數(shù)物體個數(shù)的過程，叫作計數(shù)或稱數(shù)數(shù)?！保?］如果把《管子·七法》中計數(shù)的意義視為廣義的，那么這種窄化的意義就是狹義的。因此，“計數(shù)”一詞對應的英文單詞就成為動詞“count”或名詞“counting”，相當于《管子·七法》中所說的“多少”。

無論是廣義還是狹義的計數(shù)，如果牽涉的量較多或較大，都會產(chǎn)生對計數(shù)結(jié)果進行讀與寫的需要，因此就需要明確語言意義的名稱與符號，便于計數(shù)結(jié)果的記錄與交流。這種命名和符號記錄的過程與方法，在我國歷史上分別叫作“命數(shù)”和“記數(shù)”，對應的英文單詞為“numeration”和“notation”。

二、命數(shù)與記數(shù)

“命數(shù)”與“記數(shù)”的方法在人類發(fā)展進程中經(jīng)歷了漫長的過程，原始人類一般通過實物記數(shù)，最為典型的是“石子”和“小棒”。如今數(shù)學課程內(nèi)容中的“點陣”，可以認為是從古希臘時期使用的“石子”記數(shù)演變而來的［7］，人們期望通過石子擺放的形狀就能“一眼便知”所表之數(shù)。像“3”和“6”這樣能夠擺成三角形的數(shù)，就被稱為“三角形數(shù)”；同樣，像“4”和“9”這樣能擺放為正方形的數(shù)，就叫“正方形數(shù)”（如圖1）。

我國歷史上的“算籌”實際上是用小棒表示數(shù)，通過擺放的形狀區(qū)分不同的數(shù)。數(shù)學史研究的部分觀點認為，今天普遍使用的阿拉伯數(shù)字，是從用小棒擺放的形狀演變而來的。每根小棒表示“一”，通過擺放的不同形狀，可以明顯區(qū)分不同數(shù)之間的關系［8］（如圖2）。

圖2中，在表達“4”的正方形上，分別減少和增加小棒，可以得到“3、2、1”和“5、6”；在表達“8”的兩個正方形上分別減少和增加1根小棒，可以得到“7、9”。從這一解釋看，阿拉伯數(shù)字符號與漢字類似，也具有象形的特征。因此可以說，作為十進制的基礎，數(shù)字符號是人類在實物記數(shù)的基礎上所發(fā)明的記數(shù)符號。

歷史上的算術(shù)教科書中，對于數(shù)的認識，一般會區(qū)分“命數(shù)”與“記數(shù)”兩個概念。我國20世紀著名數(shù)學家、物理學家嚴濟慈（1901—1996）先生所著，1923年出版的《現(xiàn)代初中教科書? 算術(shù)（上冊）》中［9］，分別將“命數(shù)”與“記數(shù)”定義為：

l命數(shù)法：用名稱來表數(shù)，叫作命數(shù)法（numeration）。取一個單位，從一挨次加一，每數(shù)各命一名，叫作二、三、四、五、六、七、八、九。這九個數(shù)叫作基數(shù)（simple numbers）。九再加一，叫作十，就是一的十倍。聚十個十叫作百，聚十個百叫作千……

l記數(shù)法：用數(shù)字來表數(shù)，叫作記數(shù)法（notation）。數(shù)字雖只十個，卻可把什么數(shù)都記出來。

書中把“數(shù)字（numeral）”定義為：數(shù)字就是代表數(shù)目的符號。也就是如今人們熟悉的符號：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。由此可見，命數(shù)法實質(zhì)是言語意義的“讀法”，記數(shù)法是符號意義的“寫法”。十進制的智慧體現(xiàn)于“數(shù)字雖只十個，卻可把什么數(shù)都記出來”，因此，十進制實質(zhì)是命數(shù)與記數(shù)的符號系統(tǒng)，通過對“一、十、百、千……”的命名以及不同位置“位值（place value）”的規(guī)定，實現(xiàn)了用有限表無限的目的。正如民國時期數(shù)學家壽孝天在其所著《共和國教科書算術(shù)》中所說：命數(shù)法（記數(shù)法）之目的，在于用甚少之名，而能表無限之數(shù)也［10］。

綜上可知，計數(shù)活動指向的是客觀世界的量，是“發(fā)現(xiàn)（discovery）”的過程?？臻g的無邊無際，時間的無始無終，物質(zhì)的無限可分，使得客觀世界的量具有無限的特征。十進制的命數(shù)與記數(shù)，是對計數(shù)結(jié)果的表達與記錄，是主體自內(nèi)而外、無中生有的想象與“創(chuàng)造（creation）”［11］，這樣的想象與創(chuàng)造實現(xiàn)了“計數(shù)內(nèi)容的無限”與“記數(shù)符號的有限”的對立統(tǒng)一。

如果把命數(shù)與記數(shù)的過程統(tǒng)一劃為人類語言的范疇，把現(xiàn)今并不常用的“命數(shù)”也納入“記數(shù)”的過程，那么十進制自然應當叫作“記數(shù)法”，與英文“decimal numeration system”相對應，正如《現(xiàn)代漢語詞典》對“十進制”的釋義：“一種記數(shù)法，采用0、1、2……9十個數(shù)碼，逢十進位?！保?2］

事實上，“十進制記數(shù)法”是我國數(shù)學以及數(shù)學教育專業(yè)領域普遍使用的表述。比如在我國著名數(shù)學家吳文俊先生（1919—2017）為李繼閔所著《〈九章算術(shù)〉及其劉徽注研究》一書所作的序言［13］，數(shù)學史學家杜石然所著《數(shù)學·歷史·社會》一書第4頁［14］，弗賴登塔爾所著、陳昌平等編譯的《作為教育任務的數(shù)學》一書第10頁［15］中，都出現(xiàn)了“十進制記數(shù)法”的表述，將十進制視為“記數(shù)”的方法，而不是“計數(shù)”的方法。

三、教學中的“計數(shù)”與“記數(shù)”

從教學的角度看，“計數(shù)”與“記數(shù)”是不同但又緊密相關的認知活動。計數(shù)活動的對象以具體事物為主，并在活動過程中逐步抽象出數(shù)的概念［16］。在數(shù)的概念形成的基礎上，產(chǎn)生了表達與記錄的需要，進而出現(xiàn)方便、實用的記數(shù)方法，主要以抽象符號為對象。從計數(shù)到記數(shù)，體現(xiàn)的是從具體到抽象、從過程到結(jié)果的認知過程。

美國20世紀哲學家、教育家杜威（John Dewey，1859—1952）與人合著的《數(shù)的心理學》一書中，將數(shù)與運算的認識視為具體“事物（thing）”與抽象“符號（symbol）”兩個世界活動的交互，并特別強調(diào)，將數(shù)與運算的認識局限于一個單一世界的教學都是錯誤的［17］。

計數(shù)活動主要發(fā)生于具體事物的世界，記數(shù)活動則傾向于抽象符號的世界。二者之間的交互，應當成為數(shù)與運算教學活動設計的基本原理。比如面對抽象的符號“3-1=2”，離開事物的世界，單一符號世界中的減法運算及其結(jié)果，對于低齡兒童來說是沒有意義的。

日常生活中，學生通過飲水、吃飯、出入房間、上下汽車、收拾書包等事物世界的具身活動，在思維中逐步形成類似于“容器”的經(jīng)驗，包括“內(nèi)—外、出—入、多—少、空—滿”等，這種根據(jù)具身活動的經(jīng)驗所形成的思維模式也叫“容器圖式（CONTAINER schema）”［18］。教學中，通過事物世界“從3個中拿走1個，還剩2個”的具身活動，就可以喚醒思維中的容器圖式，實現(xiàn)與抽象符號“3-1=2”的交互，從而使得抽象符號“3-1=2”具有了意義。

應當注意，對于負數(shù)及其運算“1-3=-2”的認識，在事物世界中，“從1個中拿走3個”是不可能實現(xiàn)的事情，也即容器圖式對于數(shù)與運算的認識并非萬能的，因此需要更加豐富的具身經(jīng)驗。兒童對身體行走的具身活動十分熟悉，行走過程中的“起點—路徑—終點”以及“前進—倒退”就成為一種思維模式，也叫“路徑圖式（SOURCE-PATH-GOAL schema）”［19］。利用路徑圖式，如果用“向前走3步，倒退1步，等于向前走2步”對應“3-1=2”，那么“向前走1步，倒退3步，等于倒退2步”，就對應了“1-3=-2”，實現(xiàn)了事物世界與符號世界活動的交互，使“1-3=-2”這一抽象算式具有了實際意義（如圖3）。

綜上可知，事物世界的計數(shù)活動與符號世界的記數(shù)活動，并非一一對應的確定性關系。同樣的記數(shù)符號，可以對應有差異并且多樣的計數(shù)活動；反之，同樣的計數(shù)對象，可以出現(xiàn)各種不同的記數(shù)符號。比如對一只手上的手指計數(shù)，記數(shù)的結(jié)果可以用漢字寫為“五”，英語寫為“five”，阿拉伯數(shù)字符號寫為“5”，羅馬數(shù)字符號寫為“Ⅴ”。即便是在同一種記數(shù)方法中，同樣的計數(shù)對象也會產(chǎn)生不同的記數(shù)符號，比如“6根”筷子，也可以記為“3雙”。

按照《課程標準》對學生核心素養(yǎng)的表述，計數(shù)活動偏向于數(shù)學的眼光和數(shù)學的思維，而記數(shù)的活動則偏向于數(shù)學的語言。十進制表達數(shù)的符號與方式自然應當屬于“數(shù)學的語言”范疇。教學中，讓計數(shù)活動與記數(shù)活動交互開展，有益于學生核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。

四、謹防誤解“計數(shù)單位”

在澄清“計數(shù)”與“記數(shù)”的意義及其關系的基礎上，需要進一步明晰“計數(shù)單位”的意義，謹防因為誤解而導致教學與評價中的混亂?！墩n程標準》中所說的“計數(shù)單位”，在整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)中分別指的是：

l整數(shù)計數(shù)單位：1、10、100……

l分數(shù)計數(shù)單位：分子為1的分數(shù)。

l小數(shù)計數(shù)單位：[110]（0.1）、[1102]（0.01）、[1103]（0.001）……

其課程與教學的意義在于，對計數(shù)單位的感悟，可以了解整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)運算的一致性。強調(diào)這樣的一致性，被認為是《課程標準》的新視角與特色［20］。事實上，“計數(shù)單位”一詞早在1980年人民教育出版社出版的《全日制十年制學校小學課本數(shù)學》中就已經(jīng)出現(xiàn)，比如第10冊第82頁中就有如下的試題：

l整數(shù)、小數(shù)每個數(shù)位上的計數(shù)單位是什么？每相鄰兩個單位之間的進率是多少？［21］

之后各個版本的小學數(shù)學教科書中，此類表述普遍存在，由此帶來的教學問題是：數(shù)與數(shù)的單位出現(xiàn)“一對多”的不確定性，進而導致對數(shù)與對應的單位之間關系的認識混亂，使得教學與評價中相關試題及其答案似是而非。比如20世紀80年代，曾經(jīng)流行如下的試題：

l3.07的單位是（? ），有（? ）個這樣的單位。（標準答案：0.01；307）［22］

這樣的試題與答案令人費解，3.07表示的是“3+0.07”，也即整數(shù)“3”與小數(shù)“0.07”的和。如果認為整數(shù)“3”的單位是“1”，那么小數(shù)“0.03”的單位是什么呢？當然也應當是1，否則“3+0.07”這樣的加法運算就無法實施。如果認為“0.07”的單位是“0.01”，那么整數(shù)“3”的單位又是什么呢？把整數(shù)“3”的單位視為“0.01”似乎讓人難以接受。

此類似是而非的試題與答案，源于“計數(shù)單位”與“數(shù)的單位”意義的混淆。作為符號世界的“數(shù)的單位”，需要的是統(tǒng)一性和確定性。任何記數(shù)符號所表示的數(shù)，只能對應一個單位，不能出現(xiàn)“一對多”的情況?！?.07”這一符號的記法和意義是相對于這個數(shù)的單位“1”而言的，如果把“0.01”視為單位“1”，那么“3.07”這一記法就不復存在，記數(shù)符號隨之改變?yōu)椤?07”。因此作為一個符號意義的數(shù)3.07，對應的單位只能是“1”，單位的確定，才能使3.07的記法和意義隨之確定。

“計數(shù)單位”的意義與“數(shù)的單位”不同，它是在事物世界“計數(shù)”活動中的主觀建構(gòu)，這樣的單位具有個體的主觀性和隨意性。如對一個長方形的面積計數(shù)，主觀建構(gòu)的面積單位可能是差異與多樣的（如圖4）。

從鞏子坤等在《義務教育數(shù)學課程標準修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性》一文中所羅列的中英文關鍵詞看，“計數(shù)單位”一詞的英譯為“counting unit”［23］。通過相關文獻查閱不難發(fā)現(xiàn)，“counting unit”主要指對連續(xù)量測量過程中主觀建構(gòu)的單位，將諸如長度、面積和體積等連續(xù)量的測量活動，與離散量的計數(shù)活動建立起一致性的聯(lián)系［24］。美國教師聯(lián)合會2000年發(fā)布的《學校數(shù)學原理與標準》中兩次出現(xiàn)“counting unit”，其意義都是指類似于圖4中對面積單位的建構(gòu)［25］。因此，《課程標準》中所說的“計數(shù)單位”與英文詞匯“counting unit”的意義并不對等。

事實上，《課程標準》中所說的整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)單位，按照國際通行的說法，應當是“位值”，而不是單位。比如“3.07”這個數(shù)，其中3所在位置的值為1，0所在位置的值為[110]或0.1，7所在位置的值為[1100]或0.01。3.07作為十進制記數(shù)符號的意義就是：

l 3.07=3×100+0×10-1+7×10-2

這樣的表達方式也叫科學記數(shù)法，其中的100、10-1、10-2是十進制記數(shù)法中的位值。從數(shù)學課程內(nèi)容的意義進化角度看，隨著學段的升高，數(shù)的意義逐漸進化，數(shù)的范圍逐步擴大。如果把3.07的計數(shù)單位視為0.01，那么諸如0.3=0.333……這樣的無限循環(huán)小數(shù)，以及無限不循環(huán)小數(shù)[π]=3.1415926……，它們的計數(shù)單位又應當是什么呢？事實上，任何數(shù)的單位都是“一”，無限循環(huán)小數(shù)0.3=0.333……與分數(shù)[13]等值，表達的是“一的三分之一”；[π]=3.1415926……表達的是直徑為1的圓周長，即“徑一周[π]”。因此，“計數(shù)單位”真正的意義應當是計數(shù)過程中的“一”，而不是記數(shù)過程中的位值。

五、結(jié)語

總之，“計數(shù)”與“記數(shù)”是兩個不同但相互關聯(lián)的概念，從計數(shù)到記數(shù)體現(xiàn)的是從具體的事物世界到抽象的符號世界的認知過程，同時也是對事物世界進行感知、推理和想象，然后逐漸發(fā)展出言語、符號和文化的過程。十進制作為這一過程的產(chǎn)物，稱之為“記數(shù)法”應當比“計數(shù)法”更為恰當，如同《課程標準》第55頁和第59頁兩次出現(xiàn)的“科學記數(shù)法”一樣，科學記數(shù)法本質(zhì)上就是十進制記數(shù)法，所以不應寫為“科學計數(shù)法”。

同時應當注意，由“計數(shù)”衍生而來的“計數(shù)單位”一詞，從字面及其英譯看，其本義應當是事物世界“計數(shù)過程中的單位”，是人計數(shù)過程中“看一的眼光”的產(chǎn)物，具有主觀的差異性和表達的多樣性?！墩n程標準》中所說的計數(shù)單位，對整數(shù)和小數(shù)而言，實際上是十進制記數(shù)法中的位值，對分數(shù)而言，是分子為1的“單位分數(shù)（unit fraction）”［26］，凡此都與計數(shù)單位的本義不同。

因此，在依據(jù)《課程標準》進行教科書編修以及教學設計時，應特別注意理解和區(qū)分計數(shù)與記數(shù)、計數(shù)單位與數(shù)的單位、計數(shù)單位與位值以及分數(shù)單位與單位分數(shù)這四對概念的意義及其關系，謹防因為誤解而導致教學與評價中出現(xiàn)似是而非的混亂。

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（1.首都師范大學初等教育學院

2.首都師范大學教育學院

3.廣東省珠海市橫琴新區(qū)子期實驗小學）