吳孫勇 呂曉燕 薛秋條 周于松

（1.桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院，廣西桂林 541004；2.廣西密碼學與信息安全重點實驗室，廣西桂林 541004）

1 引言

多目標跟蹤（Multi-target tracking，MTT）的目的是利用受噪聲、雜波干擾的傳感器量測數(shù)據(jù)估計目標的運動狀態(tài)。在早期的研究中通常假設每個目標在給定的時間步長最多產(chǎn)生一個量測值，但隨著傳感器分辨率的提高或者在近距離跟蹤的情況下，目標可能會占據(jù)傳感器的多個分辨單元，從而在分辨單元產(chǎn)生多個量測，在這種情況下需要將目標建模成擴展目標，此外擴展目標與量測數(shù)據(jù)之間不再是一一對應的關系，數(shù)據(jù)關聯(lián)問題變得更為復雜。Mahler 首次將隨機有限集（Random Finite Set，RFS）思想引入到擴展目標跟蹤領域［1］，把擴展目標狀態(tài)集和量測數(shù)據(jù)集建模成隨機有限集，避免了數(shù)據(jù)關聯(lián)問題。之后基于RFS 理論的一系列濾波器，如概率假設密度（Probability Hypothesis Density，PHD）濾波器［2-3］、MB 濾波器［4］、CBMeMBer 濾波器［5］和標簽多伯努利（Labeled Multi-Bernoulli，LMB）濾波器［6-7］等被引入到擴展目標跟蹤系統(tǒng)中。

如何利用傳感器接收到的量測信息估計出目標的最優(yōu)輪廓是擴展目標研究中的重要問題，近幾年來針對該問題的研究，學者們?nèi)〉昧艘恍┲匾某晒?。Koch利用對稱正定的隨機矩陣（Random Matrix，RM）將目標外形建模成橢圓［8］，并首次將貝葉斯理論應用于橢圓外形的擴展目標跟蹤，給出貝葉斯估計的封閉形式解。文獻［9］在考慮傳感器誤差情況下，對文獻［8］的遞歸步驟進行修正，取得了更好的跟蹤性能。隨著傳感器精度和分辨率的提高，橢圓外形的假設有一定的局限性，因此不規(guī)則外形的建模方法引起了關注。Lan 等人運用多個橢圓來描述一個不規(guī)則的目標外形，提出了多橢圓隨機矩陣［10-11］法。該方法利用多個橢圓逼近整體目標外形，每個橢圓看作一個子目標并采用隨機矩陣法進行建模。這種方法假設子目標的數(shù)目是固定的且先驗信息已知，當目標外形在跟蹤過程發(fā)生變化時，無法自適應地調(diào)整子目標數(shù)目來對外形進行精確描述。Baum 等人提出了使用隨機超曲面模型（Random Hypersurface Model，RHM）來描述目標外形［12-13］，假設量測源分布在形狀邊界的一個縮放版本上，將縮放因子建模成一個隨機變量，采用傅里葉系數(shù)對角度與半徑之間的函數(shù)關系建模，以此來描述星凸形目標在極坐標系中的輪廓，但該方法只能在一定程度上對復雜外形進行描述。文獻［14］利用高斯過程（Gaussian Process，GP）對半徑函數(shù)建模，與傅里葉級數(shù)不同的是，由GP 建模的半徑函數(shù)可以描述后驗分布，并且GP 定義在空間域，可以靈活地描述多種形狀。Aftab 等人在文獻［14］的基礎上，將時間也考慮為徑向函數(shù)的變量，利用時空高斯過程［15］（Spatio-temporal Gaussian Process，STGP）描述擴展目標外形，STGP 不僅繼承了GP 可以用徑向函數(shù)描述后驗分布和分析復雜形狀的能力，且與GP 相比STGP 方法描述的徑向函數(shù)考慮了時間和角度這兩個維度，可以更準確的估計目標形狀。本文在RHM 的方法中利用STGP 學習目標形狀的半徑函數(shù)，完成對不規(guī)則星凸形擴展目標的精確建模。

本文針對不規(guī)則形狀多擴展目標跟蹤問題，首先利用STGP 方法描述星凸形擴展目標的量測源分布，將外形狀態(tài)與內(nèi)部參考點（Internal Reference Point，IRP）狀態(tài)增廣為擴展目標狀態(tài)并建模成多伯努利隨機有限集，并在此基礎上與多擴展目標CBMeMBer濾波器算法相結合，給出STGP-ETCBMeMBer濾波算法的實現(xiàn)過程。然后在對于同一目標的量測子集得到的多個似然函數(shù)的乘積其服從高斯分布的假設基礎上，研究其濾波算法的高斯混合實現(xiàn)方式。最后通過構造跟蹤仿真實驗，驗證了所提算法的有效性。

2 目標模型

考慮密度均勻的星凸形物體［12］，這種情況下質(zhì)心即為物體的中心（Center of the Object，CoO），擴展目標狀態(tài)包含質(zhì)心和外形參數(shù)。質(zhì)心的運動參數(shù)與選取的內(nèi)部參考點（Internal Reference Point，IRP）和關鍵點有關，其中IRP 可以在外形邊界內(nèi)的任意位置選取，關鍵點則通過給定角度的函數(shù)映射得到，并作為外形估計參數(shù)，如圖1所示。

圖1 目標模型Fig.1 The target model

2.1 狀態(tài)模型

其中u(θ，t)和κ(θ，θ'；t，t')分別代表STGP 模型的均值和協(xié)方差核。

STGP類似于GP，是多元高斯概率分布的推廣，在不受輸入噪聲影響的情況下，STGP 回歸過程與GP 的回歸過程類似［15］。假設在[0，2π]的角度域內(nèi)取B個關鍵點的角度θ=[θ1，θ2，…，θB]T作為STGP模型的多元輸入，如圖2所示，則擴展目標的外形狀態(tài)向量可表示為

圖2 關鍵點個數(shù)B=4時STGP非線性函數(shù)估計Fig.2 STGP Nonlinear function estimation When the number of key points B=4

其中外形狀態(tài)xE由B個關鍵點的半徑值及其一階導數(shù)和二階導數(shù)組成。

IRP狀態(tài)向量與外形狀態(tài)向量的演化過程為

其中，fI代表IRP的狀態(tài)轉移函數(shù)，F(xiàn)E代表外形的狀態(tài)轉移矩陣。w和Q分別表示對應的過程噪聲和過程噪聲協(xié)方差矩陣。

2.2 量測模型

量測模型考慮輸入噪聲和量測噪聲，量測產(chǎn)生于目標的輪廓［13］，因此單個量測方程為

2.3 CoO模型

其中Ar為多邊形的面積，Ts為時間采樣間隔。

3 STGP-ETCBMeMBer濾波器

假設IRP 運動狀態(tài)與外形狀態(tài)是相互獨立的，可將兩者增廣為擴展目標的狀態(tài)模型，在多擴展目標的CBMeMBer 濾波［5］框架下實現(xiàn)對狀態(tài)的遞歸估計。接下來將介紹增廣狀態(tài)的演化過程，并給出了STGP-ETCBMeMBer 濾波器的預測和更新過程。

3.1 增廣狀態(tài)模型

令χI為IRP 的狀態(tài)空間，χE為外形的狀態(tài)空間，則增廣的狀態(tài)空間為

其中×代表笛卡爾積，假設在k-1時刻xk-1=[xI，xE]∈χ代表增廣狀態(tài)，則k時刻的增廣狀態(tài)為

其中F為狀態(tài)的轉移矩陣，包含了IRP 運動狀態(tài)和外形狀態(tài)的轉化，vk是協(xié)方差為Q的高斯白噪聲。

其中FI為IRP 的狀態(tài)轉移矩陣，類似于點目標。FE為外形轉移矩陣，A為系統(tǒng)矩陣，IB為單位矩陣，Ts為采樣時間間隔。

3.2 預測

在k-1 時刻，擴展目標狀態(tài)為增廣后的狀態(tài)，并將擴展目標狀態(tài)建模成多伯努利RFS，其概率密度為

在擴展目標CBMeMBer［4-5］框架下給出STGPETCBMeMBer預測過程，假設k-1時刻的多目標后驗密度是多伯努利的形式

那么STGP-ETCBMeMBer 濾波器預測步的多目標后驗密度為

3.3 更新

假設量測數(shù)目服從均值為γ的泊松分布，采用文獻［19］中的距離劃分方法對量測集進行劃分。記Pk∠Zk為量測數(shù)據(jù)的一種劃分結果，w?Pk為集合Pk的子集。記pD，k(x)為傳感器的檢測概率，pD，k(x)(1-e-γ)表示在k時刻擴展目標被有效檢測的概率［4］，預測步驟得到的多目標多伯努利后驗密度為，因此STGP-ETCBMeMBer濾波器更新步的多目標后驗密度也是多伯努利形式，由漏檢和量測更新兩部分組成

漏檢部分的存在概率和空間概率密度函數(shù)為

量測更新部分的存在概率和空間概率密度函數(shù)為

其中gk(z|x)為在k時刻量測z關于給定狀態(tài)x的似然函數(shù)，λ為雜波率，c(z)為雜波的空間分布。

劃分Pk對應的權重為

4 STGP-ETCBMeMBer濾波器的高斯混合實現(xiàn)

本節(jié)推導了存在目標新生、死亡、漏檢的情況下，STGP-ETCBMeMBer 高斯混合實現(xiàn)的封閉形式解，給出了高斯混合實現(xiàn)的步驟。

假設每個擴展目標都服從線性高斯的運動模型

其中N(·；m，P)代表均值為m和協(xié)方差為P的高斯密度，F(xiàn)k-1為狀態(tài)轉移矩陣，Qk-1為過程噪聲協(xié)方差矩陣。

在量測劃分后，每個擴展目標對應多個量測，需要考慮如何有效地計算似然函數(shù)。根據(jù)文獻［17］的多量測模型，假設每個擴展目標對應劃分得到的量測似然函數(shù)的乘積服從高斯分布，即

實際上

1）預測：假設存活概率和檢測概率與狀態(tài)之間是相互獨立的，STGP-ETCBMeMBer 預測步的高斯混合形式和點目標預測步的高斯混合形式類似［20］，由k-1 時刻存活的高斯分量和k時刻新生目標的高斯分量組成，假設已知k-1 時刻多目標后驗密度為，其中。

預測的多目標后驗密度為

更新的多目標后驗密度也是高斯混合的形式，由漏檢和量測更新兩部分組成

漏檢的存在概率為

將式（37）和式（46）代入式（31），并根據(jù)高斯引理［21-22］得到量測更新的存在概率為

其中，由式（35），式（37）和式（46）有

再由式（50）和式（51），得到量測更新部分高斯分量的存在概率為

其中

類似地，推導量測更新部分的空間概率密度函數(shù)，將式（37）和式（46）代入式（33），并根據(jù)高斯恒等式［21-22］得到

所以得到量測更新部分高斯分量的概率密度為

其中

量測劃分Pk對應的權重為

在表1 給出GM-STGP-ETCBMeMBer 算法的實現(xiàn)步驟。

表1 GM-STGP-ETCBMeMBer算法部分偽代碼Tab.1 Partial pseudocode of GM-STGP-ETCBMeMBer algorithm

5 實驗仿真

為了驗證所提算法的有效性，將所提的GMSTGP-ETCBMeMBer濾波算法與GM-GP-ETCBMeMBer濾波算法［23］進行比較，并進行了100 次蒙特卡羅實驗。各算法的性能根據(jù)平均形狀精確率Pu、平均形狀召回率Ru 以及CoO 的均方根誤差（Root Mean Square Errors，RMSEa）評估

其中，RMSEa表示參數(shù)a的均方根誤差，分別表示真實值和估計值。Ti表示真實的外形，Ei表示估計的外形，∩為兩個星凸多邊形區(qū)域的交，Area(p)表示多邊形p的面積，NMC為蒙特卡羅實驗次數(shù)。Ru 衡量算法的精確率，即，被正確估計的形狀區(qū)域與被估計的形狀區(qū)域之比。Pu 衡量算法的召回率，即，被正確估計的形狀區(qū)域與應被估計的形狀區(qū)域之比。當平均形狀精確率和平均形狀召回率的值越高，對應的形狀越相似。

5.1 仿真參數(shù)

本小節(jié)給出了仿真場景中的一些重要參數(shù)設置。采樣時間間隔為Ts=，空間尺度lθ=15°，目標存活概率為pS，k=0.90，傳感器的檢測概率為pD，k=0.90。量測的數(shù)目服從均值γ=20 泊松分布，并且隨機分布在目標的輪廓。目標狀態(tài)的轉移矩陣Fk為

其中?表示克羅內(nèi)克積，時間尺度lt=2 s，核參數(shù)ν=，狀態(tài)過程噪聲協(xié)方差Qk為

5.2 仿真分析

仿真環(huán)境設置：在大小為[-300 m，300 m]×[-300 m，300 m]的監(jiān)控區(qū)域內(nèi)七個不對稱十二邊形目標做近似勻速運動且運動過程中擴展目標輪廓發(fā)生改變。假設新生目標的多伯努利參數(shù)集為，其中空間概率密度函數(shù)為，存在概率為rb=0.1，跟蹤場景中有七個新生目標，它們的狀態(tài)分別為

其中R0服從均值為mE，協(xié)方差為QE的多維正態(tài)分布，mE=r0n12×1?h，h=[1，0，0]，r0=20，nn×m表示n行m列元素全為1 的向量新生目標的協(xié)方差矩陣為Pb=diag(PI，PE)，其中

θ=[θ1，θ2，…，θ12]表示將角度域[0，2π]劃分為12 等份得到的角度向量，IB表示維度為B×B的單位矩陣。

在GM-STGP-ETCBMeMBer 濾波器的遞推算法中，為了減少假設航跡的數(shù)量，設假設航跡閾值為Tr=10-2，每條航跡的高斯分量權重的閾值為Tel=0.1，狀態(tài)合并閾值Umer為6 m，每條航跡的高斯分量最大數(shù)Tmax=100。

實驗1：將GM-STGP-ETCBMeMBer 濾波算法與GM-GP-ETCBMeMBer 濾波算法做仿真對比，并分析其性能。假設每個采樣周期的雜波數(shù)目服從均值為λ=5泊松分布，并且在監(jiān)測范圍內(nèi)服從均勻分布。

由于在多目標跟蹤場景中，目標會出現(xiàn)或者消失，難以在相同時刻清楚反映全部目標的跟蹤效果，為了能更清晰地反映跟蹤情況，我們等間隔選取四個時刻給出各目標的跟蹤情況，如圖3 所示，其中紅色曲線為真實的形狀，黑色曲線GM-GPETCBMeMBer 方法估計出的形狀，綠色曲線為GMSTGP-ETCBMeMBer 估計出的形狀，從圖中可以清楚地看到所提算法比GM-GP-ETCBMeMBer 算法給出更精確的外形估計。

圖3 目標的跟蹤情況Fig.3 Tracking of the target

圖4和圖5分別表示GM-GP-ETCBMeMBer算法和GM-STGP-ETCBMeMBer 算法的平均形狀精確率Pu 和平均形狀召回率Ru 的比較圖。由圖可知，所提算法的平均形狀精確率Pu 和平均形狀召回率Ru均比GM-GP-ETCBMeMBer 算法更接近1，說明該算法對擴展目標外形的估計更為精確。另外隨著時間的推移，兩種算法的差距越來越大，造成兩種算法出現(xiàn)差異的原因是跟蹤過程中的目標外形動態(tài)變化時，STGP方法在時間和空間兩個維度上描述外形，相比于GP方法僅在空間維度上描述外形，能取得更好的估計效果且整體上較為穩(wěn)定，此外由圖6可知，STGP方法對質(zhì)心的估計效果也更優(yōu)。圖中顯示在第15、30等時刻，平均形狀精確率Pu和平均形狀召回率Ru會突然下降，其原因是目標出現(xiàn)或者消失會影響勢估計，從而造成外形估計的效果不佳。

圖4 平均形狀精確率Fig.4 The mean shape precision

圖5 平均形狀召回率Fig.5 The mean shape recall

圖6 質(zhì)心誤差Fig.6 The error of CoO

由圖7可知，圖6質(zhì)心誤差會突然增大是因為在目標出現(xiàn)或者消失的時刻對目標數(shù)目估計不準確造成的，之后又趨于穩(wěn)定說明了本文算法的有效性。同時從圖7 可知，兩種算法對目標數(shù)目估計都是無偏的，與CBMeMBer濾波器的無偏估計性質(zhì)一致。

圖7 目標數(shù)目Fig.7 Target number

實驗2：在其他仿真環(huán)境相同的條件下，分別設置跟蹤區(qū)域內(nèi)的雜波均值為λ=7，λ=12，λ=17，以此來驗證GM-STGP-ETCBMeMBer 濾波算法在不同條件下的估計性能。

通過觀察分析圖8～圖11的結果，可以得出結論：GM-STGP-ETCBMeMBer濾波器的估計結果受雜波影響。從圖8 和圖9 顯示可知，GM-STGP-ETCBMeMBer濾波算法在不同雜波均值下均能有效地估計擴展目標的形狀，再通過對比不同雜波均值下的Pu值和Ru值可知，算法在低雜波率下對目標的形狀估計更為精確。隨著雜波率的增加，由圖10 可知GM-STGPETCBMeMBer濾波算法對質(zhì)心估計的誤差更大，同時根據(jù)圖11 可以看出，GM-STGP-ETCBMeMBer 濾波算法可以有效估計目標數(shù)量，但在低雜波率條件下的估計結果更準確，并且估計結果受跟蹤場景中雜波的影響，在低雜波的條件下算法表現(xiàn)出更好的跟蹤性能。

圖8 不同雜波均值下的Pu值Fig.8 Pu value under different clutter mean values

圖9 不同雜波均值下的Ru值Fig.9 Ru value under different clutter mean values

圖10 不同雜波均值下的質(zhì)心估計誤差Fig.10 Centroid estimation error under different clutter values

圖11 不同雜波均值下的目標數(shù)目估計Fig.11 Cardinality estimation under different clutter values

6 結論

針對不規(guī)則的多擴展目標跟蹤問題，提出了STGP-ETCBMeMBer 濾波算法。該算法首先將外形狀態(tài)與內(nèi)部參考點狀態(tài)增廣為擴展目標狀態(tài)，并基于隨機集統(tǒng)計理論將其描述為多伯努利隨機有限集合，其次利用STGP 模型描述擴展目標的量測源分布，并在多擴展目標多伯努利濾波理論框架下推導了算法的高斯混合實現(xiàn)的閉式解，最后通過構造實驗仿真環(huán)境驗證了算法的有效性。仿真實驗表明，相比于GP-ETCBMeMBer 濾波算法，在相同的仿真環(huán)境下本文提出的算法對不規(guī)則擴展目標的運動狀態(tài)和形狀能進行更精確估計，且相比于高雜波環(huán)境，所提算法在低雜波環(huán)境的跟蹤效果更優(yōu)。