【摘 要】 在近年中高考中，對角平分線的相關(guān)知識及性質(zhì)的考查經(jīng)常出現(xiàn)，尤其是三角形內(nèi)角及外角角平分線是命題的重點.以一道經(jīng)典的動點例題，引出三角形角平分線夾角的一組性質(zhì)，最終直觀地建立起三角形角平分線夾角之間的聯(lián)系，突破難點，建構(gòu)三角形角平分線夾角模型.

【關(guān)鍵字】 三角形；角平分線；夾角

0 引言

角平分線是人教版數(shù)學教材八年級上冊的學習內(nèi)容，是平面幾何中最基礎(chǔ)、最重要的內(nèi)容之一，《幾何原本》第九命題就是介紹如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線的.在更深入學習平面幾何的知識前，角平分線的內(nèi)容是繞不過去的坎.初、高中考查角平分線知識及性質(zhì)的命題中有相當多是放在三角形中的，其中有一部分是對三角形中角平分線夾角的考查.本文針對這一內(nèi)容，總結(jié)歸納，探究其中的聯(lián)系，加深對三角形及其角平分線的認識與理解，幫助解題人明晰思路，巡蹤探跡.

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，ABCD為平行四邊形，點M是AD上的一個動點，從點A向點D移動（不與A、D重合），BA、CM的延長線交于點O，若∠O=α，分別作∠BAD與∠BCM的角平分線，兩條角平分線所在的直線交于點P，請用含α的代數(shù)式表示∠APC的大小.

分析 看到這個題，首先要明確這是一個動點問題，當點M從點A向點D移動時，點O，P的位置是在發(fā)生變化的，∠O與∠APC的大小也在發(fā)生變化.要求角的大小，一般要把所要求的角放到多邊形中來看，如三角形、四邊形等.在這個題目中，∠O與∠APC最直觀的聯(lián)系是都為四邊形APCO的一個內(nèi)角，很容易想到利用四邊形的內(nèi)角和為 360 °來計算，又已知∠O=α，那么只要求出其余兩個角就可以了.在這個題目中我們可以試著用∠B來表示它們.

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：

∠OAP=∠OAM+∠MAP=∠B+12∠BAD=∠B+12180°-∠B=90°+12∠B.

根據(jù)△OBC的內(nèi)角和等于180°，可知：

∠OCP=12（180°-∠B-α），

可以得到：

∠APC=360°-∠O-∠OAP-∠OCP=360°-α-90°+12∠B-12180°-∠B-α=180°-12α.

這個題目不難，只需要理清關(guān)系，再進行一些運算就可以了，但是這個題目能反映出一些更基礎(chǔ)、更有趣的性質(zhì)——三角形角平分線夾角的性質(zhì).通過觀察，CP，AP分別為△OCB與ABCD的角平分線.假若通過平移將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€三角形中的不同角的角平分線，便可以將此問題轉(zhuǎn)化為三角形角平分線夾角的問題.在此題中，我們過B點作AP的平行線，交直線CP于點Q，參見圖2，那么BQ為△OBC的外角的角平分線，于是只需要計算△OCB的角平分線CP與外角平分線BQ的夾角.假若可以解決三角形內(nèi)外角角平分線夾角的問題，此題便可迎刃而解.我們下面來介紹一些優(yōu)美的性質(zhì)，幫助大家建立起一些幾何直觀.

2 三角形角平分線夾角的一組性質(zhì)

定理1 三角形任一角的內(nèi)角角平分線與外角角平分線互相垂直.

說明 參見圖3，利用平角和角平分線的定義即可證明.

定理2 三角形兩個內(nèi)角角平分線的夾角等于第三個角的一半加 90 ° [1] .

說明 如圖4，在△ABC中，BP，CQ分別為∠ABC和∠ACB的角平分線，交點為O，那么有

∠BOC= 90 °+12∠A.

證明 設(shè)△ABC中BP，CQ分別為∠ABC和∠ACB的角平分線，且交于O.根據(jù)三角形內(nèi)角和為 180 °可知在△OBC中，∠BOC= 180 °-12∠B-12∠C.又因為在△ABC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC= 180 °-12∠B-12∠C

= 180 °-12∠B+∠C

= 180 °-12 180 °-∠A

= 90 °+12∠A.

定理3 三角形一個內(nèi)角角平分線與另一角外角的角平分線的夾角為第三角的一半 [2] .

說明 如圖5，在△ABC中，BP，CQ分別為內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的角平分線，交點為O，那么有

∠BOC=12∠A.

證明 設(shè)△ABC中BP，CQ分別為∠ABC和∠ACD的角平分線，且交于O.因為三角形內(nèi)角和為 180 °，所以在△OBC中∠BOC= 180 °-12∠B-∠C-12∠ACD.又因為∠ACD= 180 °-∠C，所以，∠BOC= 180 °-12∠B-∠C-12 180 °-∠C= 90 °-12∠B-12∠C.又因為在△ABC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC= 90 °-12∠B-12∠C

= 90 °-12∠B+∠C

= 90 °-12 180 °-∠A

=12∠A.

定理4 三角形兩個角的外角角平分線的夾角等于 90 °減第三角的一半.

說明 如圖6，在△ABC中，BP，CQ分別為外角∠EBC和外角∠BCD的角平分線，交點為O，那么有

∠BOC= 90 °-12∠A.

證明 設(shè)△ABC中BP，CQ分別為∠CBE和∠BCD的角平分線，且交于O.根據(jù)三角形內(nèi)角和為 180 °，所以在△OBC中，∠BOC= 180 °-12∠CBE-12∠BCD.又因為∠CBE= 180 °-∠B，∠BCD= 180 °-∠C，所以∠BOC= 180 °-12 180 °-∠B-12 180 °-∠C=12∠B+12∠C.又因為在△ABC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC=12∠B+12∠C=

90 °-12∠A.

這四個夾角并不是相互獨立的，可以用一個圖來表示這四個夾角之間的關(guān)系，如圖7.

我們也可以用一個統(tǒng)一的公式表示為

∠BOC= 180 °-∠BQC= 90 °+∠BPC= 90 °+12∠A.

3 回歸題目，拓展延伸

下面我們回到最開始的題目，因為所要求的∠APC是兩個角平分線的交角，我們可以考慮把它們移動到一個三角形中來解決它們，參見圖2，于是只需要計算△OBC的角平分線CP與外角平分線BQ的夾角.但是不要忽略了另一種情形，當M從點A向點D移動時，P點是可以跑到△OBC的外部的，如圖8.

畫清楚圖形是完成幾何題目的第一步，也是最重要一步，通過作圖，可以建立起初步的幾何直觀感受，比如圖2和圖8中所求的角∠APC，很明顯圖2中的要大一些，比α都要大，圖8中的很明顯要小一些，這就說明，對于不同的情況，∠APC的含α代數(shù)表達式有可能是不同的.

我們先看第一種情況——交點在△OBC的內(nèi)部，∠APC是△OBC外角角平分線與另一角的角平分線夾角的補角.所以通過定理3，可以得到∠APC=180°-12α.

第二種情況——交點在△OBC的外部，∠APC是△OBC外角角平分線與另一角的角平分線的夾角，更簡單一些，直接利用定理3，可以得到∠APC=12α.

例題拓展1 如圖9，在△ABC中，點P在BC邊上，∠BAP= 100 °，∠ABC的角平分線交AC于點O，過點O作OQ⊥AB，交BA的延長線于點Q，且∠AOQ= 50 °，連接PO，求∠BOP [3] .

解析 在Rt△AOQ中，由于∠AOQ= 50 °，可以得到∠QAO= 40 °，所以可以知道直線AO為△ABP外角的角平分線，又因為直線BO為△ABP的角平分線，所以點O為△ABP的旁心，所以直線PO為△ABP外角的角平分線，利用定理3，可以解得∠BOP= 50 °.

例題拓展2 如圖10，在△ABC中，線BO、CO分別為∠B和∠C的四等分線，即∠OBC=14∠B，∠OCB=14∠C，若∠BOC= 145 °，求∠A.

解析 可以作輔助線幫助理解，作∠B、∠C的角平分線，交于點P，可以利用兩次定理2，可知∠BPC=12∠A+ 90 °及∠BOC=12∠BPC+ 90 °，聯(lián)立兩式，可以解得∠A= 40 °.

參考文獻

[1]陳雨燕.對三角形角平分線夾角問題的探究[J].語數(shù)外學習（初中版），2020（07）：23-25.

[2]邰俊淑.兩條角平分線夾角探秘[J].中學數(shù)學，2020（18）：51-52.

[3]趙瑞，吳玉倩.基于單元整體教學背景下初中數(shù)學復習課教學研究[J].中學數(shù)學，2022（16）：37-38.

作者簡介 李菲菲（1982—），女，山東濰坊人，中學一級教師，曲阜市優(yōu)秀班主任，曲阜市師德模范、優(yōu)秀教師;主要從事中學數(shù)學教學研究;發(fā)表論文多篇.