陳池婷 吳磊 王霞 王婷 劉延君 蔣軍? 董晨鐘

1) (西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,蘭州 730070)

2) (蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,蘭州 730050)

利用相對(duì)論組態(tài)相互作用模型勢(shì)方法計(jì)算了B2+和B+離子的波函數(shù)、能級(jí)和振子強(qiáng)度,進(jìn)一步得到B2+離子2s1/2,2p1/2,2p3/2,3s1/2 態(tài)的電偶極極化率和基態(tài)2s1/2 的超極化率,以及B+離子2s21S0 與2s2p 3P0 態(tài)的電偶極極化率.B2+離子2p1/2 和2p3/2 的偶極極化率為負(fù)值,基態(tài)2s1/2 的超極化率的貢獻(xiàn)主要來(lái)自于與極化率相關(guān)的 α 1β0 項(xiàng).對(duì)于B+離子,鐘躍遷2s2p 3P0 → 2s21S0 在室溫下的黑體輻射頻移是0.01605 Hz,該黑體輻射頻移比堿土金屬原子的鐘躍遷黑體輻射頻移小1—2 個(gè)數(shù)量級(jí).

1 引言

近年來(lái),隨著激光冷卻和囚禁技術(shù)的快速發(fā)展,光學(xué)原子鐘的精度和穩(wěn)定性得到極大的提高[1-7].高精度的原子光鐘可用于精確測(cè)量基本物理常數(shù)[8],測(cè)試局部洛倫茲不變性[9,10],探索精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α隨時(shí)間的變化[11,12],探測(cè)暗物質(zhì)和暗能量[13,14],探測(cè)引力波[15]以及檢測(cè)超越粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的新作用力[14,15].

在外電場(chǎng)中,原子的能級(jí)會(huì)發(fā)生斯塔克(Stark)效應(yīng),靜態(tài)Stark 效應(yīng)導(dǎo)致的能級(jí)移動(dòng)可以寫為[16]

其中α1為靜態(tài)電偶極極化率,FZ是靜電場(chǎng)沿Z軸的分量,γ0為靜態(tài)電偶極超極化率.電偶極極化率和超極化率都是描述外電場(chǎng)中原子的電子云偏離正常分布程度的物理量.極化率是電荷分布對(duì)外電場(chǎng)的最低階響應(yīng),極化率在原子鐘[8,17]的研制方面有著十分重要的應(yīng)用.例如,利用原子的極化率可以估算原子鐘鐘躍遷的黑體輻射(BBR)頻移,BBR 頻移和Stark 效應(yīng)是影響原子鐘精度的主要來(lái)源[1,3,18-20].極化率可用來(lái)構(gòu)建超冷原子之間的長(zhǎng)程相互作用勢(shì)[21-23]等.原子的超極化率可以評(píng)估高階Stark 頻移,例如,超極化率對(duì)Sr 和Yb 原子鐘可以產(chǎn)生0.1—1.0 mHz 的Stark 頻移[24-26],對(duì)Al+離子量子邏輯鐘的影響可以達(dá)到10—19量級(jí)[1].超極化率已經(jīng)成為影響新一代原子鐘精度的重要因素.然而實(shí)驗(yàn)上精確測(cè)量原子極化率和超極化率非常困難.因此需要理論方面提供精確的原子極化率以及超極化率.

B2+離子是三電子體系,基態(tài)為1s22s2S1/2,B2+離子是精密測(cè)量物理非常重要的研究體系[27,28].B+離子的基態(tài)為2s21S0,第一激發(fā)態(tài)2s2p3P0是一個(gè)長(zhǎng)壽命的亞穩(wěn)態(tài),2s21S0→2s2p3P0是開(kāi)發(fā)高精度光鐘的潛在候選體系之一[29].因此,關(guān)于B2+離子和B+離子的原子結(jié)構(gòu)參數(shù)(例如能級(jí)、振子強(qiáng)度、電偶極極化率以及超極化率)的精確計(jì)算對(duì)于精密測(cè)量物理具有十分重要的意義.

本文采用相對(duì)論組態(tài)相互作用模型勢(shì)方法(記為RCICP),計(jì)算了B2+和B+離子的能級(jí)和振子強(qiáng)度,進(jìn)一步利用求和規(guī)則得到了B2+離子2s1/2,2p1/2,2p3/2,3s1/2態(tài)的電偶極極化率、基態(tài)2s1/2的超極化率,以及B+離子2s21S0和2s2p3P0態(tài)的電偶極極化率,得到鐘躍遷2s2p3P0→ 2s21S0的黑體輻射頻移,本工作結(jié)果與已有的理論結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)的比較.

2 理論方法

RCICP 方法的核心思想是將原子體系簡(jiǎn)化為原子實(shí)部分和價(jià)電子部分.對(duì)于B2+離子,原子實(shí)是1s2,價(jià)電子是2s.對(duì)于B+離子,價(jià)電子是2s2.原子實(shí)的軌道波函數(shù)通過(guò)求解Dirac-Fock 方程獲得.然后,用半經(jīng)驗(yàn)極化勢(shì)方法計(jì)算了價(jià)電子波函數(shù).兩個(gè)價(jià)電子的有效哈密頓量可以寫成[27]

其中Z是原子序數(shù).Vdir(r)和Vexc(r) 分別表示價(jià)電子與原子實(shí)電子之間的直接相互作用和交換相互作用.單價(jià)電子極化勢(shì)Vp1(r) 可以寫為

3 結(jié)果與討論

3.1 B2+離子

3.1.1 能級(jí)

表2 列出了利用RCICP 方法計(jì)算的B2+離子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)相對(duì)于原子實(shí)的能級(jí)和NIST 推薦的實(shí)驗(yàn)值[33].在RCICP 方法中,通過(guò)調(diào)節(jié)表1 中的截?cái)鄥?shù)ρl,j,使2s,2pj和3dj能級(jí)都非常接近于NIST 值.從表2 也可以看出,ns(n≥3),npj(n≥3),ndj(n≥4)和nfj(n≥4) 等 更高激發(fā) 態(tài)能級(jí)值與實(shí)驗(yàn)值也都符合得非常好,僅在小數(shù)點(diǎn)后第5 位有差別.例如,4 p1/2和4 p3/2的結(jié)果分別為—0.2874707 a.u.和—0.2874514 a.u.,這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果—0.2875098 a.u.和—0.2874920 a.u.符合得很好.

表1 B2+離子的截?cái)鄥?shù) ρ l,j (單位: a.u.)Table 1. Cut-off parameters ρ l,j of B2+ ions (in a.u.).

表2 B2+離子的基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)相對(duì)于原子實(shí)的能級(jí),實(shí)驗(yàn)值(Expt.) [33]是來(lái)自于NIST 的數(shù)據(jù)(單位: a.u.),“Diff.”表示用RCICP 方法計(jì)算的結(jié)果與NIST 結(jié)果之差的百分比Table 2. Energy levels of the ground state and some low-lying states of B2+ ions relative to atomic core.Experimental values (Expt.) [33] are from the NIST data (in a.u.).“Diff.” denotes the difference in percentage from calculated by RCICP method and NIST results.

3.1.2 振子強(qiáng)度

從態(tài)i到態(tài)m電偶極躍遷的吸收振子強(qiáng)度可以表示為[34-37]

式中n,l,j分別為主量子數(shù)、軌道角動(dòng)量量子數(shù)和總角動(dòng)量量子數(shù),ΔEm→i=Em-Ei表示躍遷能.D是電偶極躍遷算符,可以表示為[38-40]

表3 列出了利用RCICP 方法計(jì)算的B2+離子基態(tài)和部分激發(fā)態(tài)之間的振子強(qiáng)度并與相應(yīng)NIST 的值[41]、相對(duì)論多體微擾(RMBPT)方法[42]以及Hylleraas 方法(HR)[43]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較.從表3 可以看出,對(duì)于2s1/2→3p1/2,2p1/2→3d3/2,2p3/2→3s1/2,2p3/2→3d3/2,5/2,3s1/2→3p1/2,3/2的躍遷,RCICP 計(jì)算的結(jié)果與NIST 值[41]以及RMBPT方法[42]的結(jié)果符合得非常好,差別小于0.1%.對(duì)于2s1/2→2p1/2,3/2,2s1/2→3p3/2,2p1/2→3s1/2,2p1/2→4s1/2,2p1/2→4d3/2,2p3/2→4s1/2,2p3/2→4d3/2,5/2,3s1/2→4p1/2,3/2的躍遷,本工作計(jì)算的振子強(qiáng)度與NIST 值[41]、RMBPT 方法[42]以及HR 方法[43]的計(jì)算結(jié)果差別在0.6%以內(nèi).

表3 B2+離子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)之間躍遷的振子強(qiáng)度,“Diff.”表示用RCICP 方法計(jì)算的結(jié)果與NIST 結(jié)果[41]之差的百分比Table 3. Oscillator strengths of transitions between the ground state and some low-lying states of B2+ ions.“Diff.” represents the difference in percentage form calculated by RCICP method and NIST results.

3.1.3 極化率

原子態(tài)i的靜態(tài)電偶極極化率可以表示為

其中角動(dòng)量ji=1/2 的原子態(tài)的電偶極極化率與磁投影Mi無(wú)關(guān),而對(duì)于ji >1/2 的原子態(tài),它取決于Mi,即有標(biāo)量極化率(αS)和張量極化率(αT).標(biāo)量極化率和張量極化率通常定義為所有可能中間態(tài)的總和,而且包括連續(xù)態(tài),如下式所示:

表4 列出了采用RCICP 方法計(jì)算的B2+離子基態(tài)2s1/2,以及部分低激發(fā)態(tài)2p1/2,2p3/2和3s1/2的靜態(tài)電偶極極化率和占主導(dǎo)躍遷的貢獻(xiàn),并與其他理論方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.表中的“Remains”表示高激發(fā)態(tài)以及連續(xù)態(tài)的貢獻(xiàn),“Core”表示原子實(shí)(1s2)電子的貢獻(xiàn),“Total”表示總的極化率.對(duì)于基態(tài)2s1/2的靜態(tài)電偶極極化率,2s1/2→2p1/2,3/2躍遷占主導(dǎo),RCICP 計(jì)算的結(jié)果與full-core plus correlation (FCPC)[44],非相對(duì)論組態(tài)相互作用加核勢(shì)(CICP)[45],關(guān)聯(lián)組態(tài)(SCC)[46]以及完全關(guān)聯(lián)高斯(FCG)[47]方法計(jì)算的結(jié)果符合得非常好,差別在0.1%以內(nèi).對(duì)于2p1/2態(tài),貢獻(xiàn)主要來(lái)自于2p1/2→2s1/2和2p1/2→3d3/2的躍遷,但是由于2p1/2→2s1/2吸收能為負(fù)值,這一項(xiàng)對(duì)2p1/2的貢獻(xiàn)為負(fù),因此2p1/2的電偶極極化率為負(fù)值,RCICP 計(jì)算的結(jié)果為—0.5737 a.u.對(duì)于2p3/2態(tài)的標(biāo)量極化率,主要貢獻(xiàn)來(lái)自于2p3/2→ 2s1/2和2p3/2→ 3d5/2的躍遷,RCICP 計(jì)算的結(jié)果為—0.5713 a.u.,和2p1/2態(tài)類似,由于2p3/2→2s1/2躍遷對(duì)2p3/2態(tài)極化率的貢獻(xiàn)為負(fù),所以2p3/2態(tài)極化率小于零.RCICP 計(jì)算的結(jié)果與CICP 方法[45]計(jì)算的結(jié)果符合得非常好,其差別在0.8%以內(nèi),這里需要指出的是CICP[45]是非相對(duì)論結(jié)果,其值僅僅是2p 態(tài)的,并不是精細(xì)能級(jí)的極化率.對(duì)于2p3/2態(tài)的張量極化率,其主要貢獻(xiàn)來(lái)自于2p3/2→2s1/2和2p3/2→3d5/2的躍遷,分別為2.4963 a.u.與—0.2537 a.u.,RCICP 計(jì)算的結(jié)果為2.1683 a.u.,目前還沒(méi)有可比較的相關(guān)數(shù)據(jù).對(duì)于3s1/2態(tài),主要貢獻(xiàn)來(lái)自于3s1/2→3p1/2,3/2的躍遷,本文計(jì)算結(jié)果為182.90 a.u.,與CICP[45]方法計(jì)算的結(jié)果182.94 a.u.符合得非常好,差別在0.02%以內(nèi).

表4 B2+離子基態(tài)與部分低激發(fā)態(tài)的靜態(tài)電偶極標(biāo)量極化率與張量極化率以及主要躍遷的貢獻(xiàn)(單位: a.u.)Table 4. Static electric-dipole scalar and tensor polarizability of the ground state and some low-lying state of B2+ ions and breakdowns of the contributions of individual transitions (in a.u.).

3.1.4 超極化率

根據(jù)四階微擾理論,對(duì)于B2+離子基態(tài)2s1/2的超極化率可以簡(jiǎn)化為[48]

其中α1是基態(tài)的靜態(tài)電偶極極化率,β0是電偶極極化率的一階非絕熱修正[35].T(s1/2,pj′,s1/2,pj′′)和T(s1/2,pj′,dj,pj′′) 可以表示為

表5 列出了B2+的基態(tài)2s1/2的超極化率和中間態(tài)的貢獻(xiàn),并與Roy 和Bhattacharya[49]使用耦合Hatree-Fock (CHF)及 Drake 和Cohen[50]使用未耦合Hatree-Fock (UCHF) 近似方法得到的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了比較.根據(jù)(11)式,B2+離子基態(tài)超極化率的計(jì)算由3 部分組成,分別為T(s,pj′,s,pj′′),T(s,pj′,dj,pj′′)和α1β0.為了評(píng) 估該計(jì)算結(jié)果的誤差,將對(duì)超極化率有重要貢獻(xiàn)的2s→2pj,2pj→3dj躍遷矩陣元替換為 NIST 推薦的躍遷矩陣元,將3s,3pj,4s,4pj,4dj,5s,5pj和5dj的能級(jí)值也替換成NIST 推薦值,并重新計(jì)算了超極化率(標(biāo)記為γ0C(2s) ),研究發(fā)現(xiàn)γ0(2s) 與γ0C(2s)的結(jié)果僅僅相差 6.645 a.u.,這個(gè)差別僅占目前計(jì)算的超極化率的 0.6%.因此,采用 RCICP計(jì)算的超極化率的精度在 1%以內(nèi).在所有貢獻(xiàn)中,與極化率相關(guān)的α1β0項(xiàng)貢獻(xiàn)最大,結(jié)果 為134.364(586) a.u..RCICP 方法計(jì)算的B2+基態(tài)的超極化率結(jié)果為—1063.346(6.645) a.u.,與CHF[49]以及UCHF[50]近似方法計(jì)算的結(jié)果符合得比較好.

表5 B2+離子基態(tài)的超極化率及其中間態(tài)對(duì)超極化率的貢獻(xiàn)(單位: a.u.)Table 5. Hyperpolarizability of the ground state of B2+ ion and the contributions to the hyperpolarizability (in a.u.).

3.2 B+離子

3.2.1 能 級(jí)

利用計(jì)算得到的B2+的單電子軌道,耦合得到B+的組態(tài)波函數(shù),進(jìn)一步全對(duì)角化了B+離子兩電子組態(tài)空間的哈密頓矩陣,得到了B+離子原子態(tài)的波函數(shù).表6 列出了基態(tài)以及部分低激發(fā)態(tài)相對(duì)于原子實(shí) 1 s21S0的能級(jí),并與NIST 推薦的實(shí)驗(yàn)值[51]進(jìn)行比較.從表6 可以發(fā)現(xiàn),RCICP 方法計(jì)算的結(jié)果與NIST 推薦的實(shí)驗(yàn)值符合得非常好,差異不超過(guò)0.05%.

表6 B+基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)相對(duì)于原子實(shí)的能級(jí)值,實(shí)驗(yàn)值(Expt.) [51]是來(lái)自于NIST 的數(shù)據(jù)(單位: a.u.),“Diff.”表示用RCICP 方法計(jì)算的結(jié)果與NIST 結(jié)果之差的百分比Table 6. Energy levels of the ground state and some low-lying states of B+ ions relative to atomic core.Experimental values (Expt.) are from the NIST data (in a.u.).“Diff.” denotes the difference in percentage from calculated by RCICP method and NIST results.

3.2.2 振子強(qiáng)度

基于以上的能級(jí)和波函數(shù),利用(6)式,得到了B+離子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)之間的電偶極躍遷振子強(qiáng)度,表7 列出了本文計(jì)算結(jié)果,并與相應(yīng)的NIST[41]推薦值、CICP[45]方法、B-樣條基組態(tài)相互作用加核勢(shì)(BCICP)方法[52]、多組態(tài)Hartree-Fock 與Breit-Pauli (MCHF-BP)方法[53]、多組態(tài)Hartree-Fock (MCHF)方法[54]計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較.對(duì)于2s21S0→2s2p1P1共振躍遷,RCICP 的結(jié)果與NIST 推薦值[41]和其他理論結(jié)果[45,52-54]符合得非常好,差別在0.4%以內(nèi).從表7 還可以看出,除2s21S0→2s4p1P1和2s21S0→2s5p1P1躍遷外,RCICP 方法計(jì)算的其余躍遷的振子強(qiáng)度與NIST 推薦值[41]之間的差別在2%以內(nèi),2s21S0→2s4p1P1和2s21S0→2s5p1P1躍遷的振子強(qiáng)度與NIST 推薦值[41]的差別分別約為4%和7%.造成這種差異的原因可能有3 個(gè),其中一個(gè)是,單電子軌道是利用有限個(gè)基矢的線性組合得到的,基態(tài)的收斂性非常好,單電子高激發(fā)態(tài)的收斂性要比基態(tài)差.另外一個(gè)原因是,在本文方法中根據(jù)原子態(tài)的對(duì)稱性(宇稱和總角動(dòng)量J)將計(jì)算分為不同的組,計(jì)算2s2p,2s3p,2s4p,2s5p 態(tài)所使用的組態(tài)空間相同,2s4p1P1和2s5p1P1的能級(jí)相對(duì)于2s2p1P1態(tài)收斂性變差,相應(yīng)的2s4p1P1和2s5p1P1態(tài)到基態(tài)的躍遷振子強(qiáng)度與NIST 推薦值之間的相對(duì)差異變大.最后一個(gè)原因是,2s4p1P1和2s5p1P1態(tài)到基態(tài)的躍遷振子強(qiáng)度的值非常小.例如,對(duì)于2s21S0→2s5p1P1躍遷的振子強(qiáng)度,本文計(jì)算的結(jié)果是0.0224,而NIST 推薦值為0.0241.RCICP 的結(jié)果與其他理論方法[45,52-54]計(jì)算的結(jié)果也符合得比較好,除2s2p3P0→2p23P1的躍遷外,其余躍遷振子強(qiáng)度的差別在2%以內(nèi),2s2p3P0→2p23P1躍遷的振子強(qiáng)度與BCICP 結(jié)果[52]的差別小于7%.

表7 B+離子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)之間電偶極躍遷的振子強(qiáng)度(單位: a.u.)Table 7. Oscillator strengths of electric-dipole transitions between the ground state and some low-lying states of B+ ions(in a.u.).

3.2.3 極化率

表8 所示為B+離子與鐘躍遷相關(guān)的2s21S0和2s2p3P0態(tài)的靜態(tài)電偶極極化率,并與組態(tài)相互作用(CI)方法[55]、組態(tài)相互作用和多體微擾理論(CI+MBPT)方法[55]、組態(tài)相互作用加全階(CI+all-orders)方法[55]、有限場(chǎng)耦合簇(CCD+ST)方法[56]、CICP 方法[45]、微擾相對(duì)論耦合簇(PRCC)方法[29]、三重激發(fā)微擾的耦合簇(CCSDpT)方法[57]以及瑞利-里茲變分(RRV)方法[58]計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較.從表8 可以看出,對(duì)于2s21S0態(tài)的極化率,2s21S0→2s2p1P1的躍遷占主導(dǎo),貢獻(xiàn)約為93%,RCICP 的結(jié)果與CI+all-orders 方法[55]、CI[55]、CI+MBPT[55]、CCD+ST[56]、RRV[58]以及CICP[45]方法的結(jié)果差別不超過(guò)0.6%,與PRCC[29]結(jié)果差異在2%左右,與CCSDpT[57]結(jié)果的差異在7%之間.對(duì)于2s2p3P0態(tài)的極化率,2s2p3P0→2p23P1的躍遷和2s2p3P0→2s3d3D1的躍遷占主導(dǎo),貢獻(xiàn)分別約為56%和24%.目前RCICP 結(jié)果與CI[55],CI+MBPT[55],CI+all-order[55]以及CICP 方法[45]計(jì)算的結(jié)果差異不超過(guò)0.3%.

表8 B+離子2s21S0 和2s2p 3P0 的電偶極極化率Table 8. Electric-dipole polarizability of 2s21S0 and 2s2p 3P0 states of B+ ions.

與溫度T有關(guān)的BBR 頻移可以寫為

式中,Δα1是躍遷初末態(tài)的靜態(tài)電偶極極化率之差,系數(shù)η是一個(gè)可以忽略的微小的動(dòng)態(tài)修正[20].T是環(huán)境溫度(K),當(dāng)T為室溫300 K 時(shí),鐘躍遷2s2p3P0→2s21S0的BBR 頻移為0.01605 Hz,與CI+MBPT[55]方法計(jì)算的結(jié)果0.0159(16) Hz 符合得非常好,該BBR 值比Ca+,Sr+離子鐘躍遷2D5/2→2S1/2的BBR 頻移(Ca+: 0.38(1) Hz[59],Sr+:0.250(9) Hz[60])小1 個(gè)數(shù)量級(jí),比Ca,Sr,Yb 原子鐘的躍遷3P0→1S0的BBR 頻移 (Ca: 1.171 Hz,Sr: 2.354 Hz,Yb: 1.25 Hz)小2 個(gè)數(shù)量級(jí)[20].這一特性對(duì)B+離子鐘的研究具有重要意義.

4 結(jié)論

利用相對(duì)論組態(tài)相互作用模型勢(shì)方法計(jì)算了B2+和B+離子的波函數(shù)、能級(jí)和振子強(qiáng)度,進(jìn)一步得到了B2+離子2s1/2,2p1/2,2p3/2,3s1/2態(tài)的電偶極極化率和基態(tài)2s1/2的超極化率,以及B+離子2s21S0和2s2p3P0態(tài)的電偶極極化率,并與其他理論結(jié)果進(jìn)行比較,本文結(jié)果與已有結(jié)果符合得非常好.對(duì)于B2+離子2p1/2和2p3/2態(tài)的極化率為負(fù)值,是因?yàn)?p1/2,3/2→2s1/2躍遷的吸收能為負(fù)值,這項(xiàng)對(duì)2p1/2和2p3/2態(tài)的極化率的貢獻(xiàn)都為負(fù).對(duì)于2p3/2態(tài)的張量極化率,其主要貢獻(xiàn)來(lái)自于2p3/2→2s1/2和2p3/2→3d5/2的躍遷,分別為2.4963 a.u.和—0.2537 a.u.,RCICP 計(jì)算的結(jié)果為2.1683 a.u..基態(tài)2s1/2的超極化率的貢獻(xiàn)主要來(lái)自于與極化率相關(guān)的α1β0項(xiàng).對(duì)于B+離子基態(tài)2s21S0的偶極極化率是9.6220 a.u.,2s2p3P0態(tài)的偶極極化率是7.7594 a.u.,計(jì)算的鐘躍遷2s2p3P0→ 2s21S0的黑體輻射頻移是0.01605 Hz,這個(gè)黑體輻射頻移比堿土金屬原子的鐘躍遷黑體輻射頻移小1—2 個(gè)數(shù)量級(jí).