李德彰 盧智偉 趙宇軍 楊小寶?

1) (華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院,廣州 510640)

2) (瑞典皇家理工學(xué)院工程科學(xué)院應(yīng)用物理系,斯德哥爾摩 SE-10691)

有限溫度下自旋半經(jīng)典系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為通常由隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程描述.本文在朗之萬隨機(jī)微分方程的框架內(nèi),推導(dǎo)出有效朗之萬方程的一般形式,及其對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck 方程的表達(dá)式.該有效朗之萬方程能正確描述正則系綜下自旋半經(jīng)典系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)物理性質(zhì),并且在阻尼項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)消失時(shí)能退化到自旋半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程,因此是隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程的一種推廣.在笛卡爾坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中,分別給出有效朗之萬方程的一般形式和對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck 方程的顯式表達(dá)式.在球坐標(biāo)系中,討論了朗之萬方程中的縱場(chǎng)效應(yīng),并從方程采取的形式中給出是否包含縱場(chǎng)效應(yīng)的判斷依據(jù).最后,有效朗之萬方程在一個(gè)單自旋、定值外磁場(chǎng)的體系中進(jìn)行應(yīng)用.對(duì)方程采取特定的形式進(jìn)行簡(jiǎn)便的求解,并成功得到玻爾茲曼穩(wěn)定分布,該結(jié)果也檢驗(yàn)了有效朗之萬方程的準(zhǔn)確性.

1 引言

自旋是粒子的一種內(nèi)稟性質(zhì),是量子力學(xué)導(dǎo)出的結(jié)果.對(duì)磁性物質(zhì)和磁性體系,自旋是必不可少的研究要素.無論是理論分析、實(shí)驗(yàn)觀測(cè),還是在計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展中興起的計(jì)算模擬,研究磁性都需要考慮自旋效應(yīng).本文并不從量子力學(xué)的角度研究磁性體系中的自旋效應(yīng)和磁學(xué)性質(zhì),而是以統(tǒng)計(jì)物理的觀點(diǎn)考察自旋系統(tǒng).自旋并沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng),盡管它與經(jīng)典力學(xué)中的角動(dòng)量有相似之處.因此,本文在半經(jīng)典近似的框架內(nèi),考慮自旋半經(jīng)典系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)物理性質(zhì).在該框架內(nèi),自旋以半經(jīng)典力學(xué)量來處理.對(duì)于自旋半經(jīng)典系統(tǒng),本文研究的統(tǒng)計(jì)分布是正則系綜下的經(jīng)典玻爾茲曼分布.主要工具則是自旋半經(jīng)典系統(tǒng)的朗之萬隨機(jī)微分方程.

以3 維向量S表示半經(jīng)典系統(tǒng)中的自旋變量.系統(tǒng)的半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程為[1-5]

這是一個(gè)朗之萬隨機(jī)微分方程,在半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程的基礎(chǔ)上加入了阻尼項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng).其中γS是阻尼因子,h(t) 是高斯白噪聲隨機(jī)向量,滿足

本文的主要研究對(duì)象是用于描述自旋半經(jīng)典變量隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的有效朗之萬方程.文中將具體討論該有效朗之萬方程的一般形式,及其對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck 方程的穩(wěn)定解.由此得到的結(jié)果,可看作是對(duì)隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程的推廣和補(bǔ)充.對(duì)有效朗之萬方程一般形式的考慮,以滿足兩點(diǎn)要求為基礎(chǔ): 1) 以經(jīng)典的玻爾茲曼分布為穩(wěn)定分布,從而可以正確描述自旋體系在正則系綜下的統(tǒng)計(jì)性質(zhì);2) 阻尼和隨機(jī)漲落這兩項(xiàng)如果消失,朗之萬方程將退化到自旋半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程(1)式.本文的第2 節(jié),將在笛卡爾坐標(biāo)系中根據(jù)以上兩點(diǎn)要求,推導(dǎo)有效朗之萬方程一般形式的表達(dá)式.第3 節(jié)將把第2 節(jié)得到的結(jié)果表達(dá)成球坐標(biāo)的形式,得到球坐標(biāo)系下的有效朗之萬方程和對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck 方程.在球坐標(biāo)系形式下,可以比較簡(jiǎn)便地討論和判斷朗之萬方程中的縱場(chǎng)效應(yīng).此外,文中以一個(gè)具體的簡(jiǎn)單系統(tǒng)為例子,展示了選取有效朗之萬方程的特定形式并加以求解的過程.選取適當(dāng)?shù)男问搅罘匠痰那蠼狻?duì)系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分布的分析變得簡(jiǎn)便.最后第4 節(jié)是本文的總結(jié).

2 自旋半經(jīng)典朗之萬方程和Fokker-Planck 方程

考慮一個(gè)由朗之萬方程描述的系統(tǒng),以S表示系統(tǒng)的變量.在我們研究的具體例子中,S則為自旋向量.朗之萬方程一般采用以下形式:

其中a(S) 是與S維數(shù)相同的向量;B(S) 是隨機(jī)過程h(t) 前的系數(shù)矩陣,h(t) 是高斯隨機(jī)向量,與(2)式中的隨機(jī)過程性質(zhì)相同,滿足(3)式和(4)式.h(t)可看成維納過程對(duì)時(shí)間的形式導(dǎo)數(shù).朗之萬方程(5)式,由決定性部分a(S) 與隨機(jī)過程部分B(S)h(t) 組成.如果系數(shù)B(S) 由系統(tǒng)變量S決定,則該隨機(jī)部分稱為乘性(multiplicative)噪聲,否則稱為加性(additive)噪聲(例如B為常數(shù)矩陣).系統(tǒng)遵循朗之萬方程做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí),其含時(shí)概率密度分布ρ(S,t) 的時(shí)間演化規(guī)律通常由著名的Fokker-Planck 方程來描述.對(duì)朗之萬方程采取不同的隨機(jī)積分方式,相應(yīng)地會(huì)導(dǎo)出不同形式的Fokker-Planck 方程,最常見的有It?隨機(jī)積分形式和Stratonovich 隨機(jī)積分形式.這兩種積分形式在處理noise-induced drift 項(xiàng)時(shí)可能產(chǎn)生差異,由此導(dǎo)出不同表達(dá)式的Fokker-Planck 方程.對(duì)于乘性噪聲的隨機(jī)過程,這個(gè)差異不為0,對(duì)于加性噪聲,這個(gè)差異則不存在.由于通常在物理應(yīng)用中Stratonovich 隨機(jī)積分更被青睞,這里采取Stratonovich隨機(jī)積分所導(dǎo)出的形式,該形式的Fokker-Planck方程為[16-19]

這里Si指S的第i個(gè)分量,Bik(S)指B(S) 第i行第k列的矩陣元.容易看出,對(duì)于加性噪聲的隨機(jī)過程,方程中右端的第2 項(xiàng)為0,剩余部分是It?隨機(jī)積分與Stratonovich 隨機(jī)積分的共同結(jié)果.把方程的右端寫成時(shí)間演化算符L的形式,則

概率密度分布函數(shù)ρ(S,t) 從0 時(shí)刻的初始分布(例如ρ(S,0)=δ(S-S0))出發(fā),按照Fokker-Planck方程(6)式進(jìn)行演化,最終到達(dá)長時(shí)極限的穩(wěn)態(tài)ρ(S,∞),也就是Fokker-Planck 方程的穩(wěn)定解.通常稱ρ(S,∞) 為穩(wěn)定分布或不變分布,本文以ρst(S)標(biāo)記穩(wěn)定分布,下標(biāo)st 表示穩(wěn)定(stationary).顯然ρst(S) 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是0,因此把ρst(S) 代 入Fokker-Planck 方程(6)式的右端結(jié)果是0,即Lρst(S)=0.

本文研究的系統(tǒng)是自旋半經(jīng)典系統(tǒng).本文的研究框架是探討適用于自旋半經(jīng)典系統(tǒng)的朗之萬方程,使其以經(jīng)典玻爾茲曼分布為穩(wěn)定解,并在阻尼項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)消失時(shí)能回到自旋半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程(1)式.由此出發(fā),針對(duì)自旋系統(tǒng)這一具體例子,朗之萬方程的形式可以定為

半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程和阻尼項(xiàng)一起構(gòu)成方程的決定性部分,γS是阻尼系數(shù).隨機(jī)部分仍然寫成系數(shù)矩陣B(S) 與高斯白噪聲隨機(jī)向量h(t) 的乘積,為方便,我們加入了一個(gè)常數(shù)系數(shù),類似隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程(2)式.朗之萬方程采取這種形式,顯然滿足在阻尼和隨機(jī)兩部分消失時(shí)回到半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程(1)式的要求.再分析其對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck 方程.根據(jù)(6)式可以直接寫出:

其中第1 項(xiàng),由向量代數(shù)分析不難得出為0;第2 項(xiàng)要保證為0,一個(gè)自然的選擇方式是

(15)式是漲落-耗散關(guān)系.這樣,則滿足以玻爾茲曼分布為該Fokker-Planck 方程的穩(wěn)定解.這時(shí)朗之萬方程的表達(dá)式(8)式可具體寫為

同時(shí)相對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck 方程的表達(dá)式可以整理成:

(16)式和(17)式是一個(gè)有效的統(tǒng)一框架,表達(dá)式中的矩陣B(S) 待定.適當(dāng)?shù)剡x取矩陣B(S),均可以得到描述自旋半經(jīng)典系統(tǒng)在正則系綜下統(tǒng)計(jì)行為的有效朗之萬方程.這是本文在笛卡爾坐標(biāo)系中得到的主要結(jié)果.需要指出的是,有效朗之萬方程(16)式是以自旋半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程為基礎(chǔ),并以有限溫度下滿足玻爾茲曼分布為目標(biāo)所推導(dǎo)得到的.因此,其適用對(duì)象是可用半經(jīng)典理論描述、并服從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)規(guī)律的自旋系統(tǒng)或磁性系統(tǒng).本質(zhì)上,該方程可以看作朗之萬隨機(jī)微分方程應(yīng)用在這樣的自旋/磁性系統(tǒng)上而得到的一種表述形式.

容易驗(yàn)證,如果選取矩陣B(S) 為

這正是隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程(2)式.可見隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程可以看作是這里得到的有效朗之萬方程的一種具體形式,本文把(18)式中對(duì)B(S)的 選取標(biāo)記為BLL(S) .同時(shí)可以把BLL(S)代入(17)式,直接寫出其Fokker-Planck 方程的顯式表達(dá)式:

之前的很多研究工作,已經(jīng)對(duì)該表達(dá)式進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)和分析[8,20-25],這里可把它看作一個(gè)統(tǒng)一框架的一種具體的形式.

3 有效朗之萬方程的球坐標(biāo)形式

分析隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程(20)式,不難看出,自旋變量的模|S|在 方程中保持不變,因?yàn)镾隨時(shí)間的變?cè)诜较蛏吓cS垂直,|S|在時(shí)間演化中不發(fā)生改變.于是求解隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程,將得到S在一個(gè)固定半徑的球面上的概率分布.這表明隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程只包含橫場(chǎng)作用,而沒有縱場(chǎng)效應(yīng).對(duì)于球面上的概率分布,一個(gè)自然的想法是把系統(tǒng)變換到球坐標(biāo)系下,分析隨機(jī)微分方程的形式及其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù).本節(jié)將推導(dǎo)球坐標(biāo)系中有效朗之萬方程的一般形式,得到其對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck 方程,并判斷朗之萬方程中是否體現(xiàn)縱場(chǎng)效應(yīng).

3.1 球坐標(biāo)系中的有效朗之萬方程和Fokker-Planck 方程

坐標(biāo)變換的雅可比矩陣及其逆矩陣分別是

|C|=S2sinθ是坐標(biāo)變換的雅可比行列式.當(dāng)θ=0及θ=π 時(shí),雅可比行列式為0,這時(shí)變換矩陣C不可逆.原因在于,θ=0 時(shí)S向量指向z軸正方向,θ=π時(shí)則指向負(fù)方向,兩種情況下在xy平面上的投影均為坐標(biāo)零點(diǎn),φ沒有定義,也即這時(shí)的球坐標(biāo)沒有良好的定義.因此,θ=0 及θ=π (或者等價(jià)地,Sx=Sy=0)是坐標(biāo)變換的奇點(diǎn).本節(jié)的討論均建立在球坐標(biāo)有良好定義的前提下,因此不包括奇點(diǎn)處的分析.但是,球坐標(biāo)變換的奇點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系中仍然連續(xù),因此仍可包含在第2 節(jié)笛卡爾坐標(biāo)系的討論中.

對(duì)球坐標(biāo)Ssph,玻爾茲曼分布的形式為

其中定義有效的球坐標(biāo)哈密頓量:

利用變換矩陣,可以方便地把上一節(jié)得到的朗之萬方程(16)式轉(zhuǎn)換到球坐標(biāo)系:

這里定義D=C-1B.逐項(xiàng)分析(27)式的右端.首先對(duì)應(yīng)隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程中的BLL[見(18)式],有

于是(27)式右端第1 項(xiàng)為

對(duì)第2 項(xiàng),首先有

再分析向量b(S) .在(10)式中定義了b(S) 的元素,這里用球坐標(biāo)變量來表示b(S) :

由(32)式顯然可以把向量b(S) 表達(dá)成更緊湊的形式:

可以看出定義方式與b(S) 在笛卡爾坐標(biāo)系中的形式相似.現(xiàn)在把(30)式、(31)式和(34)式代入(27)式,得到:

這是有效朗之萬方程(16)式的球坐標(biāo)形式.對(duì)矩陣B的選取,現(xiàn)在轉(zhuǎn)化為對(duì)D的選取.對(duì)應(yīng)隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程的取法,是(28)式中的DLL.這時(shí)含時(shí)概率密度函數(shù)ρsph(Ssph,t) 的時(shí)間演化,則滿足球坐標(biāo)系的Fokker-Planck 方程.與第2 節(jié)的分析完全類似地,可以得到(36)式對(duì)應(yīng)的球坐標(biāo)系Fokker-Planck方程:

不難檢驗(yàn),球坐標(biāo)的玻爾茲曼分布(25)式是該Fokker-Planck 方程的穩(wěn)定解.把(25)式代入(37)式右端,得到

結(jié)果顯然是0.這表明該朗之萬方程在球坐標(biāo)系中的有效性.(36)式和(37)式是有效朗之萬方程及其Fokker-Planck 方程的一般形式(16)式和(17)式,在球坐標(biāo)系中的表現(xiàn)形式.這是本文在球坐標(biāo)系中得到的主要結(jié)果.

3.2 縱場(chǎng)效應(yīng)的討論

從球坐標(biāo)形式的有效朗之萬方程(36)式可以直接看出,如果只有橫場(chǎng)作用,保持模S守恒,則必須滿足矩陣D的第1 行是零向量.隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程中的DLL[見(28)式]是滿足該條件的一個(gè)例子.把隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程對(duì)應(yīng)的球坐標(biāo)形式顯式地寫出,為

相應(yīng)地,概率密度函數(shù)ρsph(θ,φ,t) 只包含兩個(gè)角度變量和時(shí)間變量,Fokker-Planck 方程可整理得到:

這個(gè)結(jié)果已經(jīng)被很多工作分析和討論過[22,26-34].矩陣D的第1 行如果不是零向量,則朗之萬方程中包含縱場(chǎng)效應(yīng),模S不能保持不變.在文獻(xiàn)[35]中,作者提出了一個(gè)包含縱場(chǎng)漲落的朗之萬方程,并說明隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程是該方程在以S為半徑的球面上的投影.在本文的框架中,該方程是(16)式對(duì)矩陣B簡(jiǎn)單選取為B=1 得到的結(jié)果,或者等價(jià)地在球坐標(biāo)系中選取D=C-1.這樣選取的矩陣D的第1 行顯然不是零向量,因此方程中包含縱場(chǎng)效應(yīng).除了朗之萬方程以外,縱場(chǎng)效應(yīng)的研究也可見于蒙特卡羅模擬的相關(guān)工作中[36].

如果只考慮橫場(chǎng)作用,有效朗之萬方程也可以采取隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程以外的形式.在文獻(xiàn)[32]中,作者采用了

可以看出,該形式的朗之萬方程與隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程(40)式相比,兩個(gè)角度變量在動(dòng)力學(xué)演化時(shí)都發(fā)生耦合,即運(yùn)動(dòng)方程不獨(dú)立.主要區(qū)別則在隨機(jī)部分,該方程只需要一個(gè)2 維的高斯隨機(jī)向量場(chǎng),隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程則需要完整的3 維高斯隨機(jī)過程.對(duì)該方程具體的分析和數(shù)值計(jì)算,這里不詳細(xì)討論.

3.3 簡(jiǎn)單的應(yīng)用

本文已經(jīng)得到適用于自旋半經(jīng)典系統(tǒng)的有效朗之萬方程的一般形式,在笛卡爾坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中分別展示了有效朗之萬方程及其對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck 方程的表達(dá)式.對(duì)于具體的系統(tǒng)、具體的哈密頓量,選取特定的形式可能會(huì)令方程的求解變得簡(jiǎn)便.本節(jié)將討論一種較為簡(jiǎn)單的體系,對(duì)該體系選取有效朗之萬方程的一種形式并加以求解.

考慮一個(gè)單自旋的系統(tǒng),處于定值外磁場(chǎng)H當(dāng)中,系統(tǒng)的哈密頓量為自旋與外場(chǎng)的相互作用:

由于H是定值向量,為方便起見可把H的方向設(shè)為z軸正方向,則哈密頓量為H=-SHcosθ,不包含φ.球坐標(biāo)哈密頓量有簡(jiǎn)單的形式:

代入有效朗之萬方程的一般形式(36)式,得到:

為確保系統(tǒng)有合法的玻爾茲曼分布,我們不引入縱場(chǎng)效應(yīng),于是S是常數(shù),同時(shí)系統(tǒng)的玻爾茲曼分布中不顯含φ.對(duì)矩陣D,我們選取非常簡(jiǎn)單的形式:

可以看到,兩個(gè)角度變量的運(yùn)動(dòng)方程是獨(dú)立的朗之萬方程.對(duì)這兩個(gè)方程分別求解,就得到θ和φ各自的概率分布.

首先分析θ的運(yùn)動(dòng)方程

這是一個(gè)過阻尼形式(overdamped)的朗之萬方程.顯然,這個(gè)方程有加性噪聲的隨機(jī)過程,隨機(jī)項(xiàng)前面的系數(shù)和阻尼因子滿足漲落-耗散關(guān)系.利用第2 節(jié)的分析方法,容易知道該朗之萬方程得到的穩(wěn)定分布是θ的玻爾茲曼分布再看φ的運(yùn)動(dòng)方程:

其中φ0是初始條件.從形式解中得出,φ(t) 服從高斯分布,均值為φ0-γHt,方差為

如果φ是實(shí)數(shù)域上的無界變量,則上式的含時(shí)概率密度在長時(shí)極限下只有平庸解0,不存在穩(wěn)定分布.但在球坐標(biāo)系中,φ被限定在 [ 0,2π) 區(qū)間上,朗之萬方程的形式解(51)式中應(yīng)包含周期邊界條件.顯然,在周期邊界條件的作用下,隨機(jī)變量φ(t) 的均值也在 [ 0,2π) 區(qū)間上.這時(shí),(53)式的高斯概率密度,在長時(shí)極限下應(yīng)該趨于隨機(jī)變量所在區(qū)間上的等概率密度.從而,φ的穩(wěn)定分布是 [ 0,2π) 區(qū)間上的均勻分布 1/(2π) .于是,系統(tǒng)在球坐標(biāo)系中總的穩(wěn)定分布可以得到:

這正是球坐標(biāo)系中的玻爾茲曼分布.

本節(jié)對(duì)具體的體系進(jìn)行分析,選取有效朗之萬方程的一個(gè)特定的形式,從而可以相對(duì)簡(jiǎn)便地求解,以得到穩(wěn)定的玻爾茲曼分布.這是對(duì)文中得到的有效朗之萬方程一般形式的一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.此外,橫場(chǎng)自旋半經(jīng)典朗之萬方程在隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程之外有更多可能的形式,本節(jié)提供了一個(gè)具體的例子.最后需要指出,本節(jié)考慮的是非常簡(jiǎn)單的例子.對(duì)于哈密頓量更加復(fù)雜的體系,朗之萬方程往往難以(甚至無法)嚴(yán)格求解,這時(shí)必須采用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算,方程形式的選擇也將影響數(shù)值計(jì)算的效果.

4 結(jié)論

本文以正則系綜下的經(jīng)典玻爾茲曼分布為目標(biāo),從朗之萬隨機(jī)微分方程出發(fā),推導(dǎo)出自旋半經(jīng)典系統(tǒng)有效朗之萬方程的一般形式,以及對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck 方程.該有效朗之萬方程以玻爾茲曼分布為穩(wěn)定分布,因此可以正確描述自旋體系在正則系綜下的統(tǒng)計(jì)物理性質(zhì).同時(shí)方程中阻尼項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)消失時(shí)能退回到自旋半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程,因此也能包含自旋系統(tǒng)的半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)模式.這個(gè)結(jié)果是對(duì)隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程的推廣和補(bǔ)充.在球坐標(biāo)系中,方程的形式可以簡(jiǎn)便地判斷是否包含縱場(chǎng)效應(yīng).在一個(gè)單自旋、定值外磁場(chǎng)的具體體系中,成功地應(yīng)用有效朗之萬方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分布的分析,檢驗(yàn)了方程的準(zhǔn)確性,同時(shí)也為橫場(chǎng)自旋朗之萬方程在隨機(jī)Landau-Lifshitz 方程之外更多的形式上的選擇,提供了具體的例子.本文的工作可以拓寬朗之萬隨機(jī)微分方程作為一種理論和計(jì)算工具的應(yīng)用范圍,同時(shí)也為自旋半經(jīng)典系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)研究提供理論工具層面的參考.