趙春明，龔立嬌，周天爍，司金冬

（石河子大學(xué)機(jī)械電氣工程學(xué)院，新疆 石河子 832003）

1 引言

壓電振子是壓電換能器和壓電驅(qū)動(dòng)器的核心部件。利用壓電材料的正壓電效應(yīng)可將振動(dòng)能轉(zhuǎn)換為電能，匹配能量采集電路，為負(fù)載提供電能。通常，壓電振子的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且易實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能的相互轉(zhuǎn)換，受到國(guó)內(nèi)外專家的廣泛研究［1-3］。

對(duì)于壓電振子，工作時(shí)的頻率和外界頻率相匹配時(shí)，其輸出電能最大。

目前，對(duì)壓電振子發(fā)電性能的研究涉及較多。文獻(xiàn)［4］提出的一種折疊式壓電振子由彈性折疊梁和壓電陶瓷片組成，其中壓電陶瓷片粘貼在彈性薄梁層的上下表面。通過(guò)對(duì)折疊彈性梁施加外力，引起彈性層的彎曲變形，使得壓電層產(chǎn)生電荷。實(shí)現(xiàn)在（1～200）Hz內(nèi)，折疊壓電振子利用前兩階固有頻率采集能量。文獻(xiàn)［5］利用逆壓電效應(yīng)，將折疊振子和壓電晶片組成的壓電振子與泵體部分組成了諧振型壓電泵。當(dāng)給壓電片施加驅(qū)動(dòng)電壓時(shí)，激勵(lì)折疊振子產(chǎn)生振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了流量控制。

同時(shí)，壓電振子的結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究對(duì)輸出性能影響明顯［6-7］。文獻(xiàn)［8］將人步行產(chǎn)生的能量收集并對(duì)其壓電發(fā)電裝置結(jié)構(gòu)進(jìn)行角度優(yōu)化，在跑步機(jī)上進(jìn)行試驗(yàn)分析，當(dāng)壓電懸臂梁相對(duì)于人腿部的坐標(biāo)系的設(shè)計(jì)角度為70°時(shí)，壓電采集裝置獲得最大功率。文獻(xiàn)［9-10］通過(guò)建立了一種軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)聲場(chǎng)耦合的有限元模型，定義結(jié)構(gòu)中軸對(duì)稱圓頂?shù)目v橫比為優(yōu)化分析的設(shè)計(jì)變量；建立結(jié)構(gòu)聲學(xué)形狀優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，設(shè)置該軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)聲場(chǎng)內(nèi)部某一節(jié)點(diǎn)的頻率響應(yīng)的均值為目標(biāo)函數(shù)，然后通過(guò)掃頻分析，使其結(jié)構(gòu)在中低頻的噪聲響應(yīng)達(dá)到最小，最后得到優(yōu)化后的圓頂形狀。

在壓電振動(dòng)能量采集過(guò)程中，其發(fā)電量取決于壓電振子的應(yīng)力分布或變形形狀［11］。

為使壓電材料的利用率和能量轉(zhuǎn)換效率更高，能量采集的頻率更廣，這里重點(diǎn)以折疊壓電振子為研究對(duì)象，對(duì)折疊壓電振子進(jìn)行響應(yīng)曲面優(yōu)化分析。

首先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化理論分析，通過(guò)Ansys Workbench 建立有限元模型；其次，對(duì)折疊壓電振子施加不同的力，進(jìn)行靜力分析，得出彈性層的應(yīng)力分布，確定結(jié)構(gòu)在不產(chǎn)生疲勞損壞的載荷情況下，能有效使用；然后利用優(yōu)化設(shè)計(jì)Design Exploration模塊，為使壓電片表面應(yīng)力均勻且最大，對(duì)折疊式壓電振子進(jìn)行響應(yīng)曲面優(yōu)化設(shè)計(jì)；最后探究施加外載荷的大小和彎曲梁厚度對(duì)折疊壓電振子壓電陶瓷片的應(yīng)力之間的關(guān)系，通過(guò)優(yōu)化分析計(jì)算獲得優(yōu)化結(jié)果。

2 折疊式壓電振子結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論分析

折疊式壓電振子由彈性折疊梁和壓電陶瓷片組成，F(xiàn)為施加的外力，如圖1（a）所示。

圖1 折疊式壓電振子結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Folding Piezoelectric Vibrator Structure Model

彈性折疊中間層的上、下表面粘貼壓電陶瓷片，折疊梁的長(zhǎng)、寬、高、分別為l、w、h，其中彈性層的厚度為hm，折疊彎曲梁厚度為ht；壓電片的長(zhǎng)度、厚度分別為lp、hp。建立折疊式壓電振子的局部坐標(biāo)系，如圖1（b）所示。u(x)，t為彎曲梁在受迫振動(dòng)下產(chǎn)生的橫向位移。

假設(shè)折疊壓電振子：同一層的材料性能與厚度相同；各層材料為各向同性材料。由折疊壓電振子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及工作方式可知，通過(guò)第一類壓電方程［12-13］：

由式（1）、式（2）可得：

聯(lián)立式（3）、式（4），則壓電振子的波動(dòng)方程式：

壓電振子在簡(jiǎn)諧力作用下，電場(chǎng)強(qiáng)度和橫向振動(dòng)位移是時(shí)間的正弦函數(shù)。則：E3=E0ei?t；u=u0ei?t，代入式（5），有：

由壓電振子的邊界條件（當(dāng)x= 0，x=lp時(shí)，T1= 0），聯(lián)立式（6）解得，折疊壓電振子的彈性層應(yīng)力：

由式（7）可見(jiàn)，當(dāng)折疊壓電振子受迫簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，彈性折疊梁壓電結(jié)構(gòu)產(chǎn)生彎曲變形。粘貼在彈性中間薄梁層的上、下表面的壓電片通過(guò)正壓電效應(yīng)，按照極化方向，壓電片的電極面產(chǎn)生電荷，并在其厚度方向形成電勢(shì)差。施加的外載荷越大，彈性層彎曲形變?cè)酱螅瑝弘妼拥膽?yīng)力分布區(qū)域越大，則產(chǎn)生的自由電荷越多，其輸出電壓越高?？紤]到折疊彈性梁的位移限制及結(jié)構(gòu)材料的強(qiáng)度極限值，施加的外載荷大小和折疊彎曲梁厚度ht將會(huì)影響折疊壓電振子的使用壽命。

由以上理論分析可知，折疊壓電梁機(jī)械變形影響著彈性層應(yīng)力的分布情況，從而影響壓電晶體片的應(yīng)力變化。載荷的變化不僅影響折疊壓電振子的使用壽命，同時(shí)也影響輸出電能。因此，為使折疊壓電振子的壓電片表面應(yīng)力變化區(qū)域大，以施加的外部適用載荷和折疊彎曲梁厚度為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，以壓電晶體片應(yīng)力變化情況為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)響應(yīng)曲面目標(biāo)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化功能進(jìn)行優(yōu)化分析。得出折疊壓電振子的壓電晶體片表面應(yīng)力分布情況，是否充分變形滿足要求，從而提高壓電材料的利用率和壓電振子的輸出性能。

3 折疊式壓電振子的建模與靜力分析

3.1 建模方法與過(guò)程

通過(guò)Ansys Workbench 建立如圖1（a）所示的一種折疊式壓電振子結(jié)構(gòu)的有限元模型。在建模過(guò)程中，粘貼于彈性層上、下表面的4個(gè)壓電陶瓷片，因同一層的變形區(qū)域相同，可等效粘貼為上、下兩個(gè)壓電片。其中，為提高有限元分析的計(jì)算和精度，同時(shí)可忽略對(duì)結(jié)果影響不大的壓電層與彈性層之間的粘結(jié)層。

折疊梁結(jié)構(gòu)尺寸：l= 34mm，w= 27mm，h= 19.5mm。對(duì)于折疊式壓電振子的組成材料，彈性折疊梁選用304鋼，壓電材料選用P-51。折疊式壓電振子結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 折疊式壓電振子參數(shù)Tab.1 Folding Piezoelectric Vibrator Parameters

首先對(duì)折疊式壓電振子設(shè)置材料屬性，然后進(jìn)行網(wǎng)格劃分：彈性折疊梁采用四面體單元類型，壓電層采用六面體單元類型。而在彈性層兩端圓角的過(guò)渡位置，為避免應(yīng)力奇異點(diǎn)，采用局部網(wǎng)格優(yōu)化。網(wǎng)格劃分完畢后，共有117 819 個(gè)節(jié)點(diǎn)，50 332 個(gè)單元。折疊式壓電振子有限元模型，如圖2所示。

圖2 折疊式壓電振子有限元模型Fig.2 Finite Element Model of Folding Piezoelectric Vibrator

3.2 折疊壓電振子靜力分析

網(wǎng)格劃分之后，對(duì)折疊式壓電振子進(jìn)行靜力分析。假設(shè)彈性層與壓電層受力均勻。針對(duì)折疊式壓電振子常見(jiàn)的工作狀態(tài)，定義約束時(shí)，將其底面采取固定約束，上端自由。

在同一約束條件下，對(duì)折疊壓電振子的上表面分別施加大小為4N，8N，12N，16N，20N，24N，28N的載荷，方向沿z軸負(fù)方向豎直向下。得到彈性層應(yīng)力與壓電晶體片應(yīng)力隨載荷變化的曲線圖，如圖3所示。

圖3 彈性層應(yīng)力和壓電晶體片應(yīng)力隨載荷變化曲線Fig.3 Curves of Elastic Layer Stress and Piezoelectric Crystal Sheet Stress with Load

由圖3可知，彈性層與壓電片的應(yīng)力隨外部載荷的變化呈線性增大。彈性層材料的屈服強(qiáng)度為205MPa。當(dāng)載荷為24N時(shí)，彈性層所受等效應(yīng)力值為209.88MPa，大于其屈服強(qiáng)度，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的受迫振動(dòng)，壓電振子結(jié)構(gòu)將出現(xiàn)疲勞損壞。對(duì)于粘貼在彈性層上下表面的壓電片，其應(yīng)力變化小于彈性層的等效應(yīng)力。為避免折疊壓電振子產(chǎn)生疲勞損壞，其適用外部載荷為20N。

折疊壓電振子在20N的載荷條件下，彈性層等效應(yīng)力和壓電層等效應(yīng)力云圖，如圖4、圖5所示。

圖4 20N作用下彈性層的等效應(yīng)力分布云圖Fig.4 Equivalent Stress Distribution Diagram of the Elastic Layer Under the Action of 20N

圖5 20N作用下壓電層的等效應(yīng)力分布云圖Fig.5 Equivalent Stress Distribution Cloud Diagram of the Piezoelectric Layer Under the Action of 20N

由圖4可見(jiàn)，折疊壓電振子發(fā)生上、下橫向振動(dòng)。當(dāng)載荷為20N時(shí)，彈性層等效應(yīng)力值小于彈性層材料屈服強(qiáng)度，滿足工作條件，應(yīng)力集中體現(xiàn)在折疊梁兩端圓角的過(guò)渡位置。壓電晶體片的等效應(yīng)力分布云圖，如圖5所示。由于折疊梁結(jié)構(gòu)的影響，壓電片的一端出現(xiàn)區(qū)域較大的應(yīng)力集中現(xiàn)象。在工作過(guò)程中，壓電振子的振幅增大，達(dá)到諧振頻率時(shí)，壓電片將會(huì)因?yàn)閼?yīng)力集中而出現(xiàn)損壞。因此，在折疊壓電振子的上、下橫向振動(dòng)過(guò)程中，為使壓電片表面應(yīng)力變化均勻且提高壓電片的利用率，現(xiàn)對(duì)其所受等效應(yīng)力進(jìn)行優(yōu)化分析。

4 折疊式壓電振子結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析

4.1 響應(yīng)曲面優(yōu)化理論

結(jié)構(gòu)優(yōu)化的目標(biāo)是通過(guò)定義約束條件，由響應(yīng)曲面優(yōu)化分析得到設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)解。在對(duì)折疊壓電振子結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化分析過(guò)程中，確保優(yōu)化參數(shù)在合理范圍的同時(shí)，還需對(duì)結(jié)構(gòu)性能和設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行約束。即折疊彎曲梁的厚度參數(shù)和受迫振動(dòng)力載荷，兩者保持線性獨(dú)立，可定義為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。

針對(duì)上述折疊式壓電振子結(jié)構(gòu)，在上下橫向振動(dòng)過(guò)程中，為實(shí)現(xiàn)壓電片表面應(yīng)力均勻且最大，在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，定義壓電晶體片表面等效應(yīng)力為目標(biāo)函數(shù)。

4.2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲面優(yōu)化分析

對(duì)折疊壓電振子結(jié)構(gòu)優(yōu)化的目的是減小彎曲梁的應(yīng)力集中，實(shí)現(xiàn)壓電晶體片變形均勻且不發(fā)生疲勞損壞。結(jié)構(gòu)優(yōu)化的主要內(nèi)容是確定折疊振子的適用載荷及彎曲梁的最佳厚度。本文基于Ansys Workbench Design Exploration 優(yōu)化模塊對(duì)折疊壓電振子結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)曲面優(yōu)化分析。由靜力分析可見(jiàn)，當(dāng)施加簡(jiǎn)諧力載荷為20N時(shí)，滿足折疊壓電振子的工作條件。

由響應(yīng)曲面優(yōu)化理論，為保證優(yōu)化分析在合理范圍，設(shè)置彎曲梁厚度優(yōu)化參數(shù)為P1，輸入數(shù)據(jù)（1.8～2.2）mm；折疊壓電振子施加簡(jiǎn)諧力載荷優(yōu)化參數(shù)為P2，載荷范圍（18～22）N。以折疊壓電振子壓電晶體片的等效應(yīng)力P3為目標(biāo)函數(shù)。

通過(guò)優(yōu)化計(jì)算，折疊壓電振子響應(yīng)曲面優(yōu)化結(jié)果，如表2所示。壓電片最大等效應(yīng)力曲面及優(yōu)化后的等效應(yīng)力分布云圖，如圖6、圖7所示。

表2 折疊壓電振子響應(yīng)曲面優(yōu)化數(shù)據(jù)Tab.2 Response Surface Optimization Data of Folded Piezoelectric Vibrator

圖6 折疊壓電振子壓電片最大等效應(yīng)力響應(yīng)曲面圖Fig.6 The Maximum Equivalent Stress Response Surface Diagram of the Piezoelectric Sheet of the Folded Piezoelectric Vibrator

圖7 優(yōu)化后的壓電片等效應(yīng)力分布云圖Fig.7 Optimized Equivalent Stress Distribution Cloud Diagram of Piezoelectric Sheet

由圖6可見(jiàn)，在壓電片等效應(yīng)力的響應(yīng)曲面優(yōu)化結(jié)果中，當(dāng)施加的外部載荷和彎曲梁厚度在合理范圍內(nèi)時(shí)，壓電片表面應(yīng)力變化區(qū)域均勻且大，提高了壓電材料的利用率。對(duì)比優(yōu)化前的壓電片所受等效應(yīng)力，由圖7 可知，振動(dòng)中產(chǎn)生的應(yīng)力集中減少10%。在長(zhǎng)周期的簡(jiǎn)諧力作用下，可增加折疊壓電振子的疲勞壽命。在壓電片表面等效應(yīng)力的分布云圖中，可利用應(yīng)力最大變化區(qū)域增大，壓電材料通過(guò)正壓電效應(yīng)產(chǎn)生的電能增大。

同時(shí)基于折疊式壓電振子的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，相比于傳統(tǒng)的懸臂梁振子，壓電片在相同的應(yīng)力變化區(qū)域內(nèi)，折疊結(jié)構(gòu)能有效地減小壓電振子的體積，且綜合提高了壓電片的利用率。

5 結(jié)論

以結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論和靜力分析為基礎(chǔ)，建立折疊式壓電振子結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，通過(guò)Ansys Static Structural 模塊和Design Exploration 模塊對(duì)壓電振子結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)曲面優(yōu)化。結(jié)果表明，在滿足折疊壓電振子的屈服強(qiáng)度工作條件下，相比于優(yōu)化前的靜力分析結(jié)果，折疊壓電振子壓電片表面應(yīng)力區(qū)域變化均勻，且應(yīng)力集中減少10%。通過(guò)響應(yīng)曲面優(yōu)化分析，提高了折疊壓電振子的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和使用壽命，同時(shí)為今后在壓電振子應(yīng)用設(shè)計(jì)方面提供理論參考。