王 雪, 姜金平, 王思博, 魏 佳

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 延安 716000)

0 引 言

考慮帶線(xiàn)性記憶的Kirchhoff型耦合吊橋方程

(1)

指數(shù)吸引子的存在性。其中α,β>0,k2(u-v)+是恢復(fù)力,k表示彈性系數(shù),μ表示記憶核,函數(shù)(u-v)+=max{(u-v),0},外力項(xiàng)g1(x),g2(x)∈L2(Ω),Ω是2內(nèi)光滑邊界?Ω的有界開(kāi)區(qū)域。對(duì)于吊橋方程和指數(shù)吸引子的一些問(wèn)題已被很多學(xué)者研究[1-18];1990年,Lazer等首次提出耦合吊橋方程[1]

2018年,賈瀾等利用算子分解的方法研究了帶強(qiáng)阻尼的Kirchhoff型吊橋方程

指數(shù)吸引子的存在性[3]; 2019年,王美霞等通過(guò)緊性平移定理及構(gòu)造三元解相空間研究獲得了帶記憶項(xiàng)的Boussinesq方程

指數(shù)吸引子的存在性[4]; 2022年,王彩霞等利用能量估計(jì)和算子分解的方法研究了帶記憶項(xiàng)和線(xiàn)性阻尼的Kirchhoff梁方程

指數(shù)吸引子的存在性[5]。Kirchhoff型耦合吊橋方程比單個(gè)吊橋方程更加全面的考慮了其橋面的可拉伸性和主鏈的運(yùn)動(dòng)情況,但是對(duì)于Kirchhoff型耦合吊橋方程指數(shù)吸引子的研究很少,故基于以上文獻(xiàn)的啟發(fā),本文構(gòu)造三元解相空間將算子分解的方法應(yīng)用于耦合類(lèi)的方程中,對(duì)恢復(fù)力k2(u-v)+進(jìn)行新的處理,研究得到了帶線(xiàn)性記憶的Kirchhoff型耦合吊橋方程指數(shù)吸引子的存在性。

1 預(yù)備知識(shí)

首先需將問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化成確定的自治系統(tǒng),根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]的啟發(fā)引入歷史位移變量

η=ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s),γ=γt(x,s)=v(x,t)-v(x,t-s), (x,s)∈Ω×+,t≥0

則

(2)

邊值條件為

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),ηt(x,0)=0,η0(x,s)=η0(x,s)

v(0)=v(L)=0, (x,t)∈Ω×+,γ=γ(L)=0, (x,t,s)∈Ω×+×+

v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),γt(x,0)=0,γ0(x,s)=γ0(x,s)

其中

不失一般性,定義Hilbert空間族Vs=D(As/4),定義其范數(shù)和內(nèi)積為

用||Au||表示D(A)的范數(shù),其中

顯然,

式中:

分別是H、V1的對(duì)偶空間。特別地,有緊嵌入Vs+1?Vs和Poincare不等式

式中λ1是Δ2在D(A)中的第一特征值。

設(shè)方程(1)中的非線(xiàn)性函數(shù)f∈C(,)滿(mǎn)足條件

(H2)|fi(s)|≤C(1+|s|p),?s∈,p≥1,i=1,2

由條件(H1)和條件(H2)可知,存在正常數(shù)K1、K2、K3和K4,η=η(λ1)>0,γ=γ(λ1)>0,使得

f1(s)s+ηs2+K1≥0,F1(s)+ηs2+K2≥0,?s∈

(3)

f2(s)s+γs2+K3≥0,F2(s)+γs2+K4≥0,?s∈

(4)

設(shè)方程(1)中的記憶核函數(shù)μ(·)滿(mǎn)足條件

(H3)μ∈C1(+)∩L1(+),μ′(s)≤0≤μ(s),?s∈+

由條件(H3)、(H4)定義如下Hilbert空間

并在M上定義線(xiàn)性算子T,定義域?yàn)?/p>

D(T)={η,γ∈M|?sη,?sγ∈M,η(0)=0,γ(0)=0}

式中:Tη=-?sη,Tγ=-?sγ,?η,γ∈D(T),?sη表示η關(guān)于內(nèi)部變量s的分布導(dǎo)數(shù),?sγ表示γ關(guān)于內(nèi)部變量s的分布導(dǎo)數(shù),則D(T)空間上的內(nèi)積可定義為

(η1,η2)D(T)=(η1,η2)M+(?sη1,?sη2)M, (γ1,γ2)D(T)=(γ1,γ2)M+(?sγ1,?sγ2)M

定義1[6]給定η∈L,η在L中的尾部函數(shù)是Tη:[1,∞)→[0,∞),定義為

同樣可定義

引理1[6]若C?L滿(mǎn)足下列條件:

則C在L中相對(duì)緊。

記

且范數(shù)分別為:

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V=(u1,u2)V2+(v1,v2)H+(η1,η2)L

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))VT=((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V+(?sη1,?sη2)M

定義2(指數(shù)吸引子)[3]如果集合M?X,X為完備度量空間,滿(mǎn)足下列條件:

(1) 集合M在X中具有有限維的分形維數(shù)且是緊的;

(2) 集合M是正不變的,即S(T)M?M;

(3) 集合M為半群的指數(shù)吸引集,即對(duì)每一個(gè)有界集B?X,存在常數(shù)k=k(B),l>0,使得dist(S(T)B,M)≤W(||B||X)e-lt,其中{S(T)}t≥0為完備度量空間中X的半群,則集合M為半群{S(T)}t≥0的指數(shù)吸引子。

引理2[3]設(shè)Χ?H是一不變緊子集,且W到H是緊嵌入,存在時(shí)間t*>0,使得如下條件成立:

(1) 映射{(t,z0)S(T)}: [0,t*]×Χ×Χ是Lipschitz連續(xù)的;

(2) 映射S(t*):Χ→Χ有如下分解:

S(t*)=S0+S1,S0:Χ→H,S1:X→W

式中S0滿(mǎn)足

S1滿(mǎn)足

||S1(z1)-S2(z2)||W≤C*||z1-z2||H

則半群S(t*):X→X存在指數(shù)吸引子。

(1) 若初值(u0,v0,u1,v1,η0,γ0)∈H,那么問(wèn)題(2)有一個(gè)弱解

(u,v,ut,vt,ηt,γt)∈C([0,T],H),?T>0

并且滿(mǎn)足

|z1(T)-z2(T)|H≤ect|z1(0)-z2(0)|H,t∈[0,T]

因此,問(wèn)題(2)存在唯一的弱解(u(T),v(T),ut(T),vt(T),ηt,γt),定義算子S(T):H→H為

S(T)(u0,v0,u1,v1,η0,γ0)=(u(T),v(T),ut(T),vt(T),ηt,γt),t≥0

算子S(T)滿(mǎn)足半群的性質(zhì)且可定義一個(gè)在H上局部Lipschitz連續(xù)的非線(xiàn)性C0半群。

2 有界吸收集

2.1 H中的有界吸收集

證明取0<ε<1,在空間中用φ=ut+εu和ψ=vt+εv與問(wèn)題(2)中的兩個(gè)方程分別作內(nèi)積,整理得到

-ε(1-ε)(u,φ)+ε||Δu||2+(ηt,ut)M+ε(ηt,u)M+ε||?u||2+ε||?u||4

+(1-ε)||ψ||2-ε(1-ε)(v,ψ)+ε||?v||2+(γt,vt)M+ε(γt,v)M

+(k2(u-v)+,φ-ψ)+(f1(u),φ)+(f2(v),ψ)

=(g1(x),φ)+(g2(x),ψ)

(5)

式中

(6)

(7)

(8)

由式(2)、Holder不等式和條件(H4)得

(9)

(10)

利用Holder不等式、Young不等式和Poincare不等式得

(11)

將式(6)～式(11)代入式(5),整理后得到

≤0

(12)

令

(13)

≤0

(14)

根據(jù)式(3)、式(4)及Sobolev緊嵌入定理,有

(15)

式中:

同理可得

(16)

將式(15)和式(16)分別代入式(13)和式(14),得

(17)

(18)

取ε,η,γ充分小,令

則

E(T)≥C1(||φ||2+||Δu||2+||?u||2+||?u||4+||ψ||2+||?v||2

(19)

(20)

+k2||(u-v)+||2)-M3-M4]dτ+E(0)

(21)

B1={(u0,v0,u1,v1,η0,γ0)∈H:||u1+εu0||2+||Δu0||2+||?u0||2+||?u0||4

(22)

則B0是半群{S(T)}t≥0的一個(gè)有界吸收集。

2.2 VT中的有界吸收集

||z0||VT=||u0,v0,u1,v1,η0,γ0||VT≤ρ1

證明在空間中用-Δφ=-Δut-εΔu和-Δψ=-Δvt-εΔv與問(wèn)題(2)中的兩個(gè)方程分別作內(nèi)積,整理得到

-ε(1-ε)(?u,?φ)+ε||Δ?u||2+(ηt,ut)L+ε(ηt,u)L+ε||Δu||2+ε||?u||2||Δu||2-||Δu||2(?u,?ut)

+(1-ε)||?ψ||2-ε(1-ε)(?v,?ψ)+ε||Δv||2+(γt,vt)L+ε(γt,v)L+(k2(u-v)+,-Δφ)

-(k2(u-v)+,-Δψ)+(f1(u),-Δφ)+(f2(v),-Δψ)

=(g1(x),-Δφ)+(g2(x),-Δψ)

(23)

由Poincare不等式、Holder不等式、Young不等式、推論1中的有界性和式(22)可得

(1-ε)||?φ||2-ε(1-ε)(?u,?φ)+ε||Δ?u||2-||Δu||2(?u,?ut)+(1-ε)||?ψ||2-ε(1-ε)(?v,?ψ)+ε||Δv||2

(24)

事實(shí)上,有||((u-v)+)t||≤||(u-v)t||,即可得

(25)

同理

(26)

利用Sobolev嵌入定理可得,存在K>0,使得

||f(i)||L∞

有

(27)

(28)

將式(24)～式(28)代入式(23)整理,得到

(29)

取ε>0,令

則式(29)可進(jìn)一步改寫(xiě)為

(30)

令

則有

其中

由Gronwall引理可得

P(T)≤C2P(0)e-C2t+c1

(31)

由范數(shù)的等價(jià)性可得

(32)

所以由式(31)和式(32)得

(33)

根據(jù)文獻(xiàn)[4-5]可知,||?sγ||、||?sη||一定有界,其中γt(0)=0,ηt(0)=0且

(34)

故由式(33)和式(34)可知結(jié)論成立。

3 指數(shù)吸引子的存在性

引用文獻(xiàn) [6]中不變緊集的概念,設(shè)x*=x*(μ)≥1,當(dāng)滿(mǎn)足x≥x*時(shí),下式成立:

(35)

根據(jù)定理2及推論2,可令

則?tΝ>0,使得當(dāng)t≥tΝ時(shí),S(T)Β?Ν。

定理3對(duì)任意初值z(mì)1=(u10,u11,v10,v11,η10,γ10),z2=(u20,u21,v20,v21,η20,γ20)∈H,對(duì)?R>0當(dāng)||zi||H≤R(i=1,2)時(shí),存在一個(gè)與ε,λ1,ρ1,K,c4有關(guān)的常數(shù)P,有

||S(T)z1-S(T)z2||H≤P||z1-z2||H,?t∈+

(36)

(37)

(38)

其中

(39)

由Sobolev嵌入定理、Holder不等式、Young不等式、Poincare不等式及Minkowski不等式可得

(40)

同理可得

(41)

(42)

同理

(43)

且

(44)

將式(39)～式(44)代入式(38),整理得

(45)

進(jìn)一步估計(jì),可得

(46)

式中P是與ε、λ1、ρ1、K、c4有關(guān)的常數(shù),最后利用Gronwall引理即可證明此結(jié)論。

定理4存在正常數(shù)M,且z0=(u0,u1,v0,v1,η0,γ0),z(T)=(u(T),v(T),ut(T),vt(T),ηt(s),γt(s))使得

(47)

(48)

由Sobolev嵌入定理、Holder不等式、Young不等式、Poincare不等式及Minkowski不等式可得

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

將式(49)～式(53)代入式(48)整理得

(54)

取ε充分小,使得

令

(55)

利用Gronwall及定理1得

(56)

從而證得定理4,即

式中M>0。

定理5映射{(t,z0)S(T)}: [0,T]×X×X是Lipschitz連續(xù)的,其中?T>0。

證明對(duì)任意的t1,t2∈[0,T],z1,z2∈Χ,有

||S(t1)z1-S(t2)z2||H≤||S(t1)z2-S(t2)z2||H+||S(t1)z1-S(t1)z2||H

(57)

對(duì)于||S(t1)z1-S(t2)z2||H這項(xiàng),由定理4可得

(58)

對(duì)于||S(t1)z1-S(t2)z2||H這項(xiàng),由定理3可得,存在L=L(T)≥0,使得

||S(t1)z1-S(t2)z2||H≤L(|t1-t2|+||z1-z2||H)

(59)

綜上證得定理5成立。

定義線(xiàn)性空間

定理6設(shè)Z到H是緊嵌入的,且Χ?H是一不變緊子集,則存在C*>0和時(shí)間t*>0,使得映射S(t*):Χ→Χ有如下分解:

S(t*)=S0+S1,S0:X→H,S1:X→Z

式中S0滿(mǎn)足

S1滿(mǎn)足

||S1(z1)-S2(z2)||W≤C*||z1-z2||H

(60)

(61)

=0

(62)

由Holder不等式、Young不等式以及Poincare不等式作類(lèi)似估計(jì)得

≤0

(63)

定義泛函

(64)

取ε充分小得

(65)

式中a為正常數(shù)。取

可得

根據(jù)式(65),上式變?yōu)?/p>

由式(65)和Gronwall引理得

=0

(66)

式中

(67)

由Sobolev嵌入定理、Holder不等式、Young不等式、Poincare不等式及Minkowski不等式可得

(68)

同理可得

(69)

作與式(42)類(lèi)似估計(jì)得

(70)

同理

(71)

且與式(43)估計(jì)方法相同得

(72)

將式(67)～式(72)代入式(66),整理得

(73)

取ε充分小,則

(74)

(75)

接下來(lái)還需證明記憶項(xiàng)滿(mǎn)足

(76)

(77)

結(jié)合定理1～定理6即可得到問(wèn)題(2)指數(shù)吸引子的存在。

4 結(jié) 論

對(duì)于帶線(xiàn)性記憶的Kirchhoff型耦合吊橋方程,為了得到其指數(shù)吸引子的存在性,普通的證明方法,例如加強(qiáng)的平坦性條件大弱,不能夠證明含有記憶項(xiàng)方程的解半群的緊性,所以需要構(gòu)造三元解相空間,利用算子分解的方法來(lái)證明其指數(shù)吸引子的存在性。通過(guò)對(duì)定理1到定理6的證明即可得到問(wèn)題(1)指數(shù)吸引子存在。