范俊杰, 李聯(lián)和, 阿拉坦倉

(1. 內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 呼和浩特 010022;2. 內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心, 呼和浩特 010022;3. 無窮維哈密頓系統(tǒng)及其算法應(yīng)用教育部重點實驗室, 呼和浩特 010022)

0 引 言

自Shechtman等[1]在1984年首次發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體之后,人們對準(zhǔn)晶的電子結(jié)構(gòu)、光學(xué)、磁性、熱和彈性理論進行了大量研究[2]．準(zhǔn)晶體是具有準(zhǔn)周期原子排列和旋轉(zhuǎn)對稱性的新的固體結(jié)構(gòu)．準(zhǔn)晶中有兩種不同類型的低頻元激發(fā),即聲子場和相位子場．

近年來,一些定量描述和分析準(zhǔn)晶彈性理論的數(shù)學(xué)方法也得到了很大發(fā)展,并取得了一系列有價值的結(jié)果．Fan[3]和他的團隊發(fā)展了經(jīng)典彈性理論中的消元法,將復(fù)雜的準(zhǔn)晶彈性方程簡化為一個或幾個高階偏微分方程,然后通過Fourier變換法或復(fù)變函數(shù)法求解．此外,廣義攝動方法[4]、Green函數(shù)方法[5]、積分變換法[6]、復(fù)變函數(shù)法[7-8]、半逆解法[9]、勢理論方法[10]和Stroh形式法[11]也成功地被推廣和應(yīng)用到準(zhǔn)晶彈性理論問題的研究中．

辛方法由鐘萬勰[12]在20世紀(jì)90年代提出,用于求解彈性板和梁等問題．該方法的主要特點是求解過程在具有對偶變量的辛空間中進行,而不是在具有一種變量的Euclid空間中進行．在Hamilton系統(tǒng)的框架內(nèi),可以通過變量分離和辛特征函數(shù)展開的方法獲得所考慮問題的精確解,而無需對解形式進行任何先驗假設(shè),這顯示了辛方法的獨特優(yōu)勢．辛方法理論基礎(chǔ)是無窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的完備性,Alatancang等[13-14]在該領(lǐng)域取得了一些成果．目前,辛方法已應(yīng)用于各種研究領(lǐng)域,如彈性[15-18]、黏彈性[19-20]、納米力學(xué)[21-22]、斷裂力學(xué)[23]、壓電[24-25]、功能梯度效應(yīng)[26]、波傳播[27]等．Zhou等[28]研究了有限尺寸一維六方壓電準(zhǔn)晶雙材料中V形界面缺口的Ⅲ型斷裂行為．Yang等[29]分析了具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的壓電石英晶體的Ⅲ型斷裂行為．Wang等[30-31]研究了二維準(zhǔn)晶的平面彈性問題．Qiao等[32]將辛方法推廣到八次對稱二維準(zhǔn)晶的平面彈性問題．

本文首次研究了十次對稱二維準(zhǔn)晶中厚板問題的辛方法及其數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)．通過引入適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)函數(shù),將十次對稱二維準(zhǔn)晶中厚板彈性的位移平衡方程轉(zhuǎn)化為一組由一階常微分方程組成的Hamilton對偶方程,并給出了相應(yīng)Hamilton算子矩陣的特征值．基于辛特征函數(shù)系的完備性定理,得到了給定邊界條件下二維十次對稱準(zhǔn)晶中厚板彎曲問題彈性場的解析表達式,并與已有結(jié)論進行了比較．

1 十次對稱二維準(zhǔn)晶板彎曲問題的基本方程

假設(shè)z方向為十次對稱二維準(zhǔn)晶周期方向,xoy平面是準(zhǔn)周期平面．對于十次對稱二維準(zhǔn)晶,由準(zhǔn)晶彈性理論[3],有變形的幾何方程

(1)

不考慮體力情況下的平衡方程

(2)

廣義Hooke定律

(3)

其中C66=(C11-C12)/2;σij(σij=σji),εij(εij=εji),ui和Cij分別是聲子場的應(yīng)力、應(yīng)變、位移和彈性常數(shù);Hij(Hij≠Hji),wij(wij≠wji),wi和Ki是相位子場的應(yīng)力、應(yīng)變、位移和彈性常數(shù);R是聲子場和相位子場的耦合彈性常數(shù)．這里記(x,y,z)=(x1,x2,x3)．

基于Mindlin板理論,關(guān)于十次對稱二維準(zhǔn)晶板彎曲問題假設(shè)如下[33]：

(4)

其中uz(x,y)為中面撓度,φx(x,y),φy(x,y)和vx(x,y),vy(x,y)分別是聲子場和相位子場中xoz與yoz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角．

將式(4)代入式(1)中,得到

(5)

彎矩Mxx,Myy和Mxy, 剪力Qx和Qy,廣義彎矩Nxx,Nyy,Nxy和Nyx可以表示為

(6)

其中h是板的厚度．

將式(3)和(5)代入式(6),得到彎矩、廣義彎矩和剪力的表達式為

其中τ=h3/12．

十次對稱二維準(zhǔn)晶板的力和力矩平衡方程可以表示為

(7)

其中q是板在單位面積上的橫向荷載．

2 十次對稱二維準(zhǔn)晶板彎曲問題的Hamilton對偶方程

引入狀態(tài)函數(shù)

(8)

則由式(7)和(8)可得到Hamilton正則方程為

(9)

這里H為Hamilton算子,且

(10)

Z=(uz,φ1,φx,vx,φ2,Qy,φy,φ3,φ4,vy)T,

f=(0,0,0,0,0,-q,0,0,0,0)T．

下面將采用辛方法求解對邊簡支矩形十次對稱二維準(zhǔn)晶中厚板問題,板的坐標(biāo)和尺寸如圖1所示．此問題的邊界條件可以表示為

圖1 矩形準(zhǔn)晶中厚板示意圖Fig. 1 Schematic diagram of a rectangular quasicrystal medium thickness plate

uz(x)|x=0,a=0,φy(x)|x=0,a=0,Mx(x)|x=0,a=0,vy(x)|x=0,a=0,Nxx(x)|x=0,a=0．

(11)

3 十次對稱二維準(zhǔn)晶板彎曲問題的辛分析

式(8)對應(yīng)的齊次Hamilton方程為

(12)

設(shè)Z=X(x)Y(y),并將其代入式(12),得到

(13)

HX(x)=μX(x),

(14)

其中,μ是Hamilton算子矩陣H的特征值,

X(x)=[uz(x),φ1(x),φx(x),vx(x),φ2(x),Qy(x),φy(x),φ3(x),φ4(x),vy(x)]T

(15)

是滿足邊界條件(11)的特征向量．

由式(14)求得Hamilton算子矩陣H的特征多項式為

(16)

Xi(x)=(Ai+Bix+Cix2+Dix3)cos(μx)+

(Ei+Fix+Gix2+Hix3)sin(μx)+Sicos(ξx)+Risin(ξx),

(17)

其中Ai,Bi,Ci,Di,Ei,Fi,Gi,Hi,Si和Ri(i=1,2,…,10)是待定常數(shù)．將式(17)代入式(14)中可以得到常數(shù)之間的關(guān)系．

3.1 Hamilton算子H的特征值和特征向量

將式(17)代入邊界條件(11),為使式(17)存在非零解,令對應(yīng)的系數(shù)行列式為零得

sin4(aξ)sin(aξ)=0,

(18)

進而可得

(19)

(20)

式(19)是四重根,式(20)是單根．

將式(19)代入式(14)可得μn,μ-n相應(yīng)的特征函數(shù)為

3.2 特征函數(shù)系的辛正交性和完備性

下面討論Hamilton算子H的特征函數(shù)系的辛正交性,給出了特征函數(shù)的展開系數(shù),并討論了特征函數(shù)系的完備性．

我們用X表示Hilbert空間L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)．

定義1 算子的所有特征向量和Jordan形式特征函數(shù)的集合

(21)

為廣義特征函數(shù)系．

〈U(x),U(x)〉=0, 〈U(x),V(x)〉=-〈V(x),U(x)〉．

引理1 由定義1給出的廣義特征函數(shù)系滿足如下辛正交關(guān)系：

其中

定理1 在Cauchy主值意義下,Hamilton算子的特征函數(shù)系(21)在Hilbert空間X中是完備的．

證明對于?F=[f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x),f6(x),f7(x),f8(x),f9(x),f10(x)]T∈X,在Cauchy主值意義下由廣義特征函數(shù)系(21)給出的辛-Fourier展開式為

(22)

根據(jù)引理1,可知

3.3 十次對稱二維準(zhǔn)晶板彎曲的辛解析解

由定理1和解的疊加原理,式(9)的通解可以表示為

(23)

式(9)中向量f=(0,0,0,0,0,-q,0,0,0,0)T可以表示為

(24)

其中

其余系數(shù)全為零．

將式(23)和式(24)代入式(9)得到微分方程組

(25)

解微分方程組(25)得

(26)

(27)

撓度uz(x,y)的解析表達式為

(28)

其中

彎矩Myy,Mxx和廣義彎矩Nxx,Nyy的解析解表達式為

(29)

(30)

(31)

(32)

當(dāng)不考慮相位子場時,式(28)和式(29)與文獻[34]中經(jīng)典板的解完全相同．

4 數(shù) 值 結(jié) 果

為討論所提出方法的有效性,本節(jié)給出了十次對稱二維準(zhǔn)晶板在不同長寬比下的撓度uz(qa4K1/η2)在中點處(a/2,0)的數(shù)值解,其中材料參數(shù)為[33]

C11=23.43 GPa,C12=5.741 GPa,K1=12.2 GPa,K2=2.4 GPa,R=-0.11 GPa．

如表1所示,本文獲得的級數(shù)解具有較好的收斂性．

表1 不同寬度和厚度比下中點處的撓度

5 結(jié) 論

本文將辛方法應(yīng)用于十次對稱二維準(zhǔn)晶中厚板彎曲的問題研究,通過引入適當(dāng)?shù)膶ε甲兞?將問題表述為Hamilton正則系統(tǒng)．證明了相應(yīng)Hamilton算子矩陣的廣義特征函數(shù)系統(tǒng)在Cauchy主值意義下具有辛正交性和完備性,保證了Hamilton系統(tǒng)分離變量的可行性,并導(dǎo)出了精確解析解．隨后,對解析解進行了退化比較研究,并給出數(shù)值結(jié)果,以證明解析解的收斂性和準(zhǔn)確性．本文方法的優(yōu)點在于不需要提前假設(shè)任何函數(shù),方法直觀合理,為解決準(zhǔn)晶板的彈性問題提供了一種系統(tǒng)的方法．此外,該方法有望應(yīng)用于準(zhǔn)晶板的屈曲和振動等問題的研究中．

致謝本文作者衷心感謝內(nèi)蒙古師范大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(2022JBZD010;2022JBXC013)、內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科科研啟動基金項目(JC2020002)和內(nèi)蒙古師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金項目(CXJJB22011)對本文的資助．

附 錄 A

附 錄 B

其中n=±1,±2,…．

附 錄 C

附 錄 D

hn(y)=e-yμn(C11K1ebμn/2(-2+e(b+2y)μn(b-2y)μn+2yμn-e2yμn(b+2y)μn+

η2(2-bμn)+ebμn(-2+2yμn+η2(2+bμn)))+4(R2+C12k1)eyμn(1+ebμn)2-

e3bμn/2+2yμn(2R2(2+bμn-2yμn)+C12K1(4+bμn-2yμn))+

e(b+4y)μn/2(2R2(-2+bμn-2yμn)+C12K1(-4+bμn-2yμn))+

ebμn/2(2R2(-2yμn+η2(-2+bμn))-C12K1(2+2yμn+η2(2-bμn)))-

e3bμn/2(2R2(2yμn+η2(2+bμn))+C12K1(2+2yμn+η2(2+bμn)))),

η2(2-bμn)+ebμn(-2+2yμn+η2(2+bμn)))+4(C11K1-R2)eyμn(1+ebμn)2-

e3bμn/2+2yμn(C11K1(4+bμn-2yμn)-2R2(2+bμn-2yμn))+

e(b+4y)μn/2(2R2(2-bμn+2yμn)+C11K1(-4+bμn-2yμn))+

ebμn/2(2R2(2yμn-η2(-2+bμn))-C11K1(2+2yμn+η2(2-bμn)))-

e3bμn/2(C11K1(2+2yμn+η2(2+bμn))-2R2(2yμn+η2(2+bμn)))),