李光芳, 劉昉昉, 于 靜, 李聯(lián)和

(1. 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 呼和浩特 010018;2. 內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心, 呼和浩特 010022;3. 內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 呼和浩特 010022)

0 引 言

1984年,以色列科學(xué)家Shechtman采用急速冷凝法研究Al-Mn合金時(shí)發(fā)現(xiàn)了準(zhǔn)晶材料[1],其具有準(zhǔn)周期的長(zhǎng)程平移對(duì)稱性和取向?qū)ΨQ性．由于準(zhǔn)晶材料特殊的物理性能,使其具有廣泛的應(yīng)用前景．Ding等[2]建立了準(zhǔn)晶線彈性理論．范天佑[3]通過引入復(fù)變量或廣義復(fù)變量,研究了若干準(zhǔn)晶斷裂力學(xué)問題．郭俊宏等[4]構(gòu)造保角映射,解決了一維六方準(zhǔn)晶材料中含雙裂紋的橢圓孔口反平面剪切問題．Li等[5]研究了十八次對(duì)稱準(zhǔn)晶體的彈性問題．肖萬(wàn)伸等[6]研究了一維六方準(zhǔn)晶復(fù)合材料夾雜界面層中螺型位錯(cuò)與夾雜以及無(wú)限大基體的干涉效應(yīng)．Wang等[7]研究了均勻十次準(zhǔn)晶材料裂紋尖端附近的彈性場(chǎng)．Zhang等[8]研究了二維六方準(zhǔn)晶材料半空間上的摩擦接觸問題和半平面黏著接觸問題．

壓電效應(yīng)是準(zhǔn)晶材料重要的物理性質(zhì)之一,在其應(yīng)用中可能會(huì)遇到復(fù)雜的機(jī)電負(fù)載,因此研究準(zhǔn)晶壓電材料對(duì)外部施加載荷的響應(yīng)非常重要．文獻(xiàn)[9-10]發(fā)展了準(zhǔn)晶壓電材料的線彈性理論．Zhang等[11]獲得了一維正交壓電準(zhǔn)晶材料平面彈性問題的一般解．Li等[12]采用算子理論方法獲得了一維六方壓電準(zhǔn)晶的三維彈性問題的一般解．Fan等[13]發(fā)展了含復(fù)雜缺陷一維六方壓電準(zhǔn)晶的間斷有限元方法．白巧梅等[14]利用復(fù)變函數(shù)方法得到了一維六方準(zhǔn)晶壓電材料裂紋尖端的應(yīng)力分布和場(chǎng)強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式．Li等[15]研究了考慮熱效應(yīng)的一維六方壓電準(zhǔn)晶中的三維裂紋問題．劉興偉等[16]利用復(fù)變函數(shù)方法研究了一維六方壓電準(zhǔn)晶中正n邊形孔邊裂紋的反平面問題．Cheng等[17]利用Trefftz方法研究了一維六方壓電準(zhǔn)晶反平面斷裂問題．目前,關(guān)于三維準(zhǔn)晶彈性問題的研究較少,然而實(shí)際應(yīng)用中三維準(zhǔn)晶材料的占比非常高．周旺民等[18]考慮了立方準(zhǔn)晶中的位錯(cuò)誘導(dǎo)彈性場(chǎng)．Gao等[19]采用復(fù)變函數(shù)方法研究了含橢圓孔立方準(zhǔn)晶斷裂力學(xué)問題．Li等[20]研究了三維二十面體準(zhǔn)晶的Stroh形式,并將其應(yīng)用于位錯(cuò)問題的研究．Long等[21]研究了立方準(zhǔn)晶圓盤的熱彈性問題．三維準(zhǔn)晶半空間問題的Green函數(shù)解是研究層合材料、界面問題等實(shí)際問題的理論基礎(chǔ),尚未看到有關(guān)研究．

本文研究了在反平面機(jī)械載荷和面內(nèi)電載荷作用下立方準(zhǔn)晶壓電材料的半空間問題．首先給出了控制方程,然后采用復(fù)變函數(shù)方法,對(duì)半無(wú)限域區(qū)域表面邊界條件進(jìn)行積分,獲得了立方準(zhǔn)晶壓電材料半空間問題的基本解．在此基礎(chǔ)上,給出了集中線力作用下立方準(zhǔn)晶壓電材料半空間問題應(yīng)力、位移的解析表達(dá)式．

1 立方準(zhǔn)晶壓電材料的基本方程

在空間直角坐標(biāo)系下,立方準(zhǔn)晶壓電材料反平面問題的本構(gòu)方程為[22]

(1)

其中σij,εij分別表示聲子場(chǎng)的應(yīng)力、應(yīng)變;Hij,ωij分別表示相位子場(chǎng)的應(yīng)力、應(yīng)變;Di表示電位移;Ei表示電場(chǎng)強(qiáng)度;C44為聲子場(chǎng)彈性常數(shù);K44為相位子場(chǎng)彈性常數(shù);R3為聲子場(chǎng)與相位子場(chǎng)耦合常數(shù);e14和d123分別為聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)壓電常數(shù);λ11為介電常數(shù)．

平衡方程為(不考慮體力的情況)

σiz,i=0,Hiz,i=0,Di,i=0,i=x,y;

(2)

幾何方程為

(3)

其中uz表示聲子場(chǎng)位移,wz表示相位子場(chǎng)位移,Φ表示電勢(shì)．

由方程(1)—(3)可以獲得由位移和電勢(shì)表示的控制方程：

(4)

方程(4)可以改寫為[13]

AU=0,

(5)

其中U=(uz,wz,Φ)T,A是微分算子矩陣,

(6)

由方程(6)可知A的行列式為

(7)

下面我們引入位移函數(shù)F,其滿足方程

(8)

根據(jù)算子理論,方程(5)的一般解可表示為

uz=Ai1F,wz=Ai2F,Φ=Ai3F,i=1,2,3．

(9)

取i=2,由方程(6)可知|A|的代數(shù)余子式為

(10)

把方程(10)代入方程(9)得

(11)

(12)

(13)

假設(shè)復(fù)函數(shù)F(x,y)的形式為F(x,μy),則μ須滿足如下特征方程[23]：

aμ6+bμ4+bμ2+a=0．

(14)

方程(14)有6個(gè)純虛數(shù)根：

μ4=-μ1,μ5=-μ2,μ6=-μ3,

根據(jù)解析函數(shù)的性質(zhì)和方程(8),位移函數(shù)F可以表示為

(15)

其中Re(·)表示實(shí)部,Fk(zk)為關(guān)于zk=x+μky(k=1,2,3)的任意解析函數(shù)．結(jié)合方程(1)、(3)、(11)、(12)、(13)可知,應(yīng)力和電位移的復(fù)表示為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

其中

2 立方壓電準(zhǔn)晶材料半空間問題基本解

圖1 力電載荷作用下的半無(wú)限區(qū)域Fig. 1 The semi-infinite region under electromechanical load

由于當(dāng)y=0時(shí),z1=z2=z3=ξ,ξ為實(shí)數(shù),則方程(13)、(16)、(18)可以改寫為

(22)

其中

對(duì)方程(22)積分可得

(23)

其中ai(i=1,2,3)為常數(shù)(見附錄)．方程(23)為立方壓電準(zhǔn)晶材料半空間問題基本解,結(jié)合邊界條件,可以得到彈性場(chǎng)分析．作為具體應(yīng)用,下面討論集中線力作用下立方壓電準(zhǔn)晶材料半空間問題．

3 集中線力作用在半空間表面

(24)

(25)

(26)

由方程(24)—(26)可得聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)的位移、電勢(shì)表達(dá)式為

(27)

(28)

(29)

其中ai(i=4,5,…,8)為常數(shù)(見附錄)．當(dāng)不考慮相位子場(chǎng)時(shí),聲子場(chǎng)位移表達(dá)式可以退化為

(30)

且電勢(shì)處處為零,與文獻(xiàn)[24]結(jié)果一致．由方程(24)—(26)也可得到聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)應(yīng)力及電位移表達(dá)式(見附錄)．

下面討論聲子場(chǎng)位移、相位子場(chǎng)位移和電勢(shì)分布情況,材料常數(shù)為[12]

C44=5.0×1010N·m-2,K44=3×108N·m-2,R3=1.2×109N·m-2,

e14=-0.138 C·m-2,d123=-0.16 C·m-2,λ11=8.26×10-11C2·N-1·m-2,

S1=2 000 N·m-1,S2=2 500 N·m-1．

圖2 無(wú)量綱聲子場(chǎng)位移等勢(shì)圖 圖3 無(wú)量綱相位子場(chǎng)位移等勢(shì)圖Fig. 2 The contour of dimensionless phonon field displacement

圖4 無(wú)量綱電勢(shì)等勢(shì)圖Fig. 4 The contour of dimensionless potential

4 結(jié) 論

本文采用復(fù)變函數(shù)方法獲得了反平面機(jī)械載荷和面內(nèi)電載荷作用下,立方準(zhǔn)晶壓電材料半空間問題的基本解．在此基礎(chǔ)上,給出了集中線力作用下,立方準(zhǔn)晶壓電材料半空間問題的位移、應(yīng)力和電場(chǎng)的解析表達(dá)式,并用數(shù)值結(jié)果說明了聲子場(chǎng)、相位子場(chǎng)位移和電勢(shì)的分布情況．本文獲得的立方準(zhǔn)晶壓電材料半空間問題的基本解可應(yīng)用于其他半空間邊值問題的研究中．

致謝本文作者衷心感謝內(nèi)蒙古師范大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)(2022JBZD010; 2022JBXC013)、內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(JC2020002)和內(nèi)蒙古師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金(CXJJB22011)對(duì)本文的資助．

附 錄

a4=4a1(d123S1-e14S2),

a5=a1(a2S1+S2),

其中

b1=2(C44d123-e14R3),

b2=2(e14K44-d123R3),