葉正偉, 鄧生文, 梁相玲

(1. 廣東科技學(xué)院 通識教育學(xué)院, 廣東 東莞 523000;2. 廣東理工學(xué)院 基礎(chǔ)課教學(xué)研究部, 廣東 肇慶 526100;3. 喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 喀什 844000)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)是一種新型電機,具有高功率密度、大轉(zhuǎn)矩慣性比、小體積等特點,廣泛應(yīng)用于船舶、航天、新能源汽車等領(lǐng)域．其模型作為典型的非線性系統(tǒng),最早由Hemati等[1-2]于20世紀90年代提出,后經(jīng)發(fā)展逐漸完善．我國學(xué)者對其及相關(guān)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了深入的研究．文獻[3]運用非線性動力學(xué)理論和方法分析了永磁同步電機系統(tǒng)在特定參數(shù)變化下的混沌和分岔．文獻[4]以永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ),根據(jù)中心流形定理進行降維簡化處理,討論了永磁同步電機模型的Hopf分岔問題．唐傳勝等[5]提出了一種考慮不確定參數(shù)混沌系統(tǒng)的改進控制器,并進行了數(shù)值仿真,模擬結(jié)果表明改進的控制器有更強的魯棒性．文獻[6]通過Lyapunov指數(shù)圖、Poincare截面、相軌跡,研究了各種參數(shù)變化下系統(tǒng)的分岔及混沌控制．文獻[7-8]基于GPU計算,探究了多參數(shù)變化下的旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)的動力學(xué)行為,發(fā)現(xiàn)了一些有趣的分岔結(jié)構(gòu)．永磁同步電機模型是一個典型的強非線性動力系統(tǒng)模型,大量的研究工作是基于確定的理論展開的,除了確定的永磁同步電機系統(tǒng)的非線性動力學(xué)分析外,一些文獻在永磁同步電動機模型中引入擾動項．文獻[9]運用非線性動力學(xué)理論分析了正弦擾動項下非均勻氣隙的永磁同步電機模型的穩(wěn)定性．文獻[10]利用根據(jù)包映射有向圖法分析了噪聲干擾下永磁同步風(fēng)力發(fā)電機的隨機分岔,通過數(shù)值模擬得到了整體結(jié)構(gòu)的演化規(guī)律．

許多研究表明,任何動力系統(tǒng)都無法避免外界干擾,而普遍存在的隨機噪聲會對系統(tǒng)產(chǎn)生雙重影響：一方面,隨機噪聲可以促進系統(tǒng)進入理想狀態(tài),如隨機共振[11-13]、神經(jīng)元脈沖放電和網(wǎng)絡(luò)同步;另一方面,噪聲會干擾動態(tài)系統(tǒng)的周期振蕩行為,引起混沌．在實際應(yīng)用中,這種影響廣泛存在于生物工程、機械工程等多領(lǐng)域．文獻[14]研究了Markov狀態(tài)切換和白噪聲擾動下的一類具有Gilpin-Ayala增長的隨機捕食-食餌模型的動力學(xué)行為,得到了系統(tǒng)隨機持久和滅絕的閾值,并根據(jù)數(shù)值模擬驗證了結(jié)論的有效性．文獻[15]對網(wǎng)絡(luò)傳染病模型引入白噪聲,通過隨機動力系統(tǒng)理論,得到了隨機滅絕和持久的條件,由數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果．文獻[16-17]通過隨機動力學(xué)理論介紹了隨機噪聲激勵下調(diào)速器系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性,并由數(shù)值模擬,探究了系統(tǒng)在雙參數(shù)空間中的復(fù)雜動力學(xué)行為．文獻[18]建立了色噪聲激勵下的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng),探究了系統(tǒng)的隨機分岔,并通過數(shù)值模擬驗證．文獻[19]討論了眼動系統(tǒng)在Gauss白噪聲激勵下的隨機分岔,噪聲強度和抑制性神經(jīng)元的作用強度都能誘導(dǎo)產(chǎn)生隨機P分岔現(xiàn)象．在實際工作中,永磁同步電動機系統(tǒng)也不可避免地受到外部環(huán)境和內(nèi)部傳動系統(tǒng)的影響,例如溫度起伏、磁場變換[20]、阻尼改變等．這些影響因素可能會對內(nèi)部機理起到消極作用,將這些影響因素視作隨機噪聲更接近實際情況[21]．由此,本文建立了Gauss白噪聲激勵的永磁同步電動機模型,進行了隨機噪聲激勵下的分岔分析,從而為其平穩(wěn)運行增加魯棒性提供了理論意義．

本文的主要結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)將Gauss白噪聲引入永磁同步電機系統(tǒng),通過極坐標變換和隨機平均法得到It隨機微分方程;在第2節(jié)中,通過計算推導(dǎo)得到了系統(tǒng)概率密度函數(shù),并進行了數(shù)值模擬,隨著噪聲強度的增加,系統(tǒng)在概率密度函數(shù)的演化過程中出現(xiàn)P-分岔;第3節(jié)在雙參數(shù)空間中探究了引入噪聲前后系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)特性;第4節(jié)總結(jié)了噪聲對永磁同步電動機系統(tǒng)的影響,其結(jié)果有助于研究該電機系統(tǒng)的平穩(wěn)運行．

1 模 型 處 理

以電流id,iq及轉(zhuǎn)子角速度ω為變量的永磁同步電動機模型為

(1)

其中,參數(shù)Ld,Lq表示d-q軸電感;R1為定子繞組;TL為負載轉(zhuǎn)矩;ψr為永磁磁通;β為阻尼系數(shù);P為極對數(shù);J為轉(zhuǎn)動慣量;ud,uq表示定子d-q軸電壓．

考慮一般情形,交直軸電感近似相等Ld=Lq=L,此時模型(1)進一步變?yōu)?/p>

(1)′

考慮系統(tǒng)(1)′容易受隨機因素影響變得不穩(wěn)定,對其引入Gauss白噪聲ξ(t)得到隨機微分方程為

(2)

(3)

令

其中

方程(3)可化為

(4)

其中

M=M21M32-M22M31,N=M21M32-M22M31-M23M32．

此時系統(tǒng)具有局部不變流行：

可對方程(4)降維得

(5)

ζ的全微分方程為dζ/dt=?hφ·dφ/dt+?hη·dη/dt．

接下來,我們可以得到

-(a+ε)h+c1φ2+c2φη+c3φh+c4η2+c5ηh+Dhξ(t),

(6)

且h(φ,η)的逼近式為

h(φ,η)=h1φ2+h2φη+h3φDξ(t)+h4η2+h5ηDξ(t)+…．

(7)

一定的誤差范圍內(nèi),系統(tǒng)(5)可變?yōu)?/p>

(8)

令φ=rcosθ,η=rsinθ, 經(jīng)過極坐標變換,系統(tǒng)(8)可變?yōu)?/p>

(9)

其中

f1(r,θ,ξ(t))=a1r2cos3θ+b4r2sin3θ+(a2+b1)r2cos2θsinθ+a3h1r3cos4θ+

(a3h2+a5h1)r3cos3θsinθ+(a3h4+a5h2+b3h2+b5h1)r3cos2θsin2θ+

(a5h4+b3h4+b5h2)r3cosθsin3θ+(b2+a4)r2cosθsin2θ+

b3h1r3cos3θsinθ+b5h4r3sin4θ+Drcosθ·ξ(t),

b3h2r2cos3θsinθ+(b3h4+b5h2-a3h2-a5h1)r2cos2θsin2θ+

(b4-a2)rcosθsin2θ+(b5h1-a3h1)r2+(b5h1-a3h1)r2cos3θsinθ+

cos3θsinθ+(b5h4-a3h4-a5h2)r2cosθsin3θ-a5h4r2sin4θ+Drsinθ·ξ(t)．

已知反應(yīng){r(t),θ(t)}弱收斂于二維Markov過程,根據(jù)隨機平均法,方程(9)的It微分方程如下：

(10)

其中w(t)為標準Wiener過程[22],dt和dw分別為漂移系數(shù)和擴散系數(shù),且

v1=8D2,v2=3a3h1+a3h4+a5h2+b3h2+b5h1+3b5h4,v3=8D2,

v4=3b3h1+b3h4+b5h2-a3h2-a5h1-3a5h4,v5=D2/2．

基于擴散矩陣,可得到一維的Markov過程的平均振幅r(t)：

(11)

2 P-分岔

當(dāng)平穩(wěn)概率密度的性態(tài)發(fā)生變化時,系統(tǒng)將會發(fā)生P-分岔,所以我們通過平穩(wěn)概率密度函數(shù)研究P-分岔．根據(jù)It微分方程(11),得到相應(yīng)的FPK方程如下：

(12)

(13)

(14)

設(shè)置一組參數(shù)：

Ld=Lq=L=12 mH,R1=0.84 Ω,ψr=0.8 Wb,P=3,J=10-5kg·m2,

β=0.017 5 N·m·s,TL=0.25 N·m,ud=13.2 V,uq=45 V．

討論噪聲強度D對系統(tǒng)分岔的影響,其仿真圖像見圖1．

圖1 隨噪聲強度D變化的聯(lián)合概率密度圖及其俯視圖Fig. 1 The joint probability density function with the change of noise intensity D

從圖1(a)可以看出,當(dāng)噪聲強度D=0.1時,聯(lián)合概率密度函數(shù)為單峰形狀,函數(shù)p(φ,η)的最高點為固定值,表明系統(tǒng)可能不絕對趨于平衡位置,但有較大概率收斂到平衡位置．圖1(b)為圖1(a)的俯視圖,整體呈圓環(huán)狀,最內(nèi)環(huán)的紅色區(qū)域?qū)?yīng)圖1(a)最高區(qū)域為有限值．如圖1(c)所示,當(dāng)噪聲強度D=0.2時,聯(lián)合概率密度函數(shù)高度下降、寬度增加,形狀由單峰變?yōu)榛鹕娇?與圖1(a)相比,此時系統(tǒng)(11)的性態(tài)發(fā)生了改變,即系統(tǒng)發(fā)生P-分岔,在這種情形下,系統(tǒng)的廣義變量φ和η可能不為零,系統(tǒng)變得不穩(wěn)定．圖1(d)為圖1(c)的俯視圖,俯視圖中最內(nèi)環(huán)紅色區(qū)域?qū)?yīng)值減小,圓環(huán)整體擴大,很形象地說明了函數(shù)p(φ,η)的變化趨勢．當(dāng)噪聲強度D=0.3時,聯(lián)合概率密度及俯視圖分別如圖1(e)、1(f)所示,函數(shù)p(φ,η)這種變化趨勢更加明顯,這也意味著系統(tǒng)的廣義變量φ和η都可能增大,系統(tǒng)(11)變得更加不穩(wěn)定．

噪聲強度D分別為0.2, 0.3, 0.4和0.5時,平穩(wěn)概率密度函數(shù)如圖2所示．根據(jù)圖2可以看出,隨著噪聲強度D的不斷增大,概率密度函數(shù)的頂點減小,函數(shù)形狀趨于平緩,變化趨勢與聯(lián)合概率函數(shù)的變化趨勢形成對應(yīng),這也表明系統(tǒng)性態(tài)改變愈發(fā)明顯．另外,在系統(tǒng)發(fā)生P-分岔時,概率密度函數(shù)圖形由單峰變?yōu)殡p峰,此時廣義變量φ和η的收斂解的變化,一定程度上可反應(yīng)系統(tǒng)(1)變量的收斂情況,如角速度ω變化反饋到永磁同步電動機實際運行中,可能是平穩(wěn)轉(zhuǎn)動狀態(tài)到異常轉(zhuǎn)動狀態(tài)的臨界點,概率密度函數(shù)趨于平緩的過程中,方程(11)解變得發(fā)散．在實際運行中,永磁同步電動機可能會發(fā)生轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定的現(xiàn)象．

圖2 不同噪聲強度D下的平穩(wěn)概率密度圖Fig. 2 The stationary probability density function with the change of noise intensity D

為進一步探討噪聲強度的影響,除對概率密度函數(shù)分析外,我們還對系統(tǒng)進行動力學(xué)行為分析．固定無量綱化參數(shù)γ=130,Ud=3,Uq=10,Tm=5,選取σ作為分岔參數(shù),討論不同噪聲強度值下變量x的分岔如圖3所示．從圖3(a)中可以看出,在未引入噪聲前,系統(tǒng)(3)在區(qū)間σ∈[10,24.18]范圍內(nèi)表現(xiàn)出伴隨混沌的加周期分岔行為, 其中區(qū)間[16.75,17.14]和[21.11,21.54]分別為2周期和3周期窗口, 當(dāng)參數(shù)σ大于24.18時,系統(tǒng)從周期6→周期12→周期6→周期3．當(dāng)噪聲強度D=0.1時,相較于圖3(a),圖3(b)中周期窗口由穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)檩p微振蕩,隨著噪聲強度D的增加,這種不穩(wěn)定性進一步增強．由圖3(c)和圖3(d)可以看出,系統(tǒng)幾乎變成完全混沌狀態(tài),這證實了上述結(jié)論的有效性．

圖3 不同噪聲強度D下的系統(tǒng)分岔圖Fig. 3 The bifurcation diagram with the change of noise intensity D

3 雙參數(shù)分岔

永磁同步電動機系統(tǒng)在運行過程中可能會受到隨機因素的干擾,這些干擾可能導(dǎo)致兩個甚至多個參數(shù)同時發(fā)生變化．所以對系統(tǒng)(3)在雙參數(shù)空間中研究分岔結(jié)構(gòu)更具有參考意義．本節(jié)保持參數(shù)值不變,采用四階隨機Runge-Kutta算法進行數(shù)值模擬,用500×500相同距離點覆蓋,如圖4所示．圖中的圖例顏色欄標記了不同數(shù)字,代表不同的振蕩狀態(tài),左圖圖例表示周期數(shù),右圖圖例表示Lyapunov指數(shù)．另外,在圖4(a)和4(b)的左圖中,白色區(qū)域表示周期數(shù)大于19的周期振蕩狀態(tài)或混沌狀態(tài)．

(a) σ∈[10,30], Ud∈[-5,80]

圖4(a)左圖為系統(tǒng)(3)變量x在參數(shù)σ∈[10,30],Ud∈[-5,80]平面上的分岔圖,如圖所示右上方黃色區(qū)域為穩(wěn)定態(tài)區(qū)域,首先通過Hopf分岔生成1周期吸引子,并由倍周期分岔進入廣泛的白色振蕩區(qū)域．由于仿真精度所限,無法確定該振蕩區(qū)域是擬周期振蕩態(tài)或是混沌態(tài),我們的思路是計算對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)值[23]．圖4(a)右圖為左圖分岔結(jié)構(gòu)對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù),其中綠色區(qū)域為最大Lyapunov指數(shù)值遠小于零的穩(wěn)定態(tài),黃色區(qū)域表示最大Lyapunov指數(shù)值在區(qū)間[-0.001,0.001]周期振蕩狀態(tài),紅色區(qū)域為混沌態(tài)．對圖4(a)綜合分析,在參數(shù)平面上右上方穩(wěn)定態(tài)經(jīng)倍周期分岔最終進入混沌狀態(tài),值得關(guān)注的是,混沌區(qū)域內(nèi)鑲嵌了一些“魚”形周期區(qū)域,且它們呈分形結(jié)構(gòu)．參數(shù)σ∈[15,35],Uq∈[-5,30]平面上系統(tǒng)分岔圖與其最大Lyapunov指數(shù)圖見圖4(b)．周期振蕩區(qū)域通過倍周期分岔方式進入混沌區(qū)域,類似地,混沌區(qū)域鑲嵌著很多 “魚”形周期區(qū)域．

我們接下來討論噪聲激勵對分岔的影響,參數(shù)σ∈[10,30],Ud∈[-5,80]平面上不同噪聲強度D下的最大Lyapunov指數(shù)圖見圖5．圖5(a)、5(b)分別為噪聲強度D=0和D=10-8時的情形．對比兩圖可以看出,最大Lyapunov指數(shù)的值沒有發(fā)生顯著改變,則系統(tǒng)對低強度白噪聲具有一定的抗干擾性．如圖5(c)所示,當(dāng)噪聲強度為D=10-6時,“魚”形周期區(qū)域受到侵蝕尾部演變?yōu)榛煦鐟B(tài),有趣的是,“魚”形結(jié)構(gòu)的頭部卻保持原本特征,這說明“魚”形結(jié)構(gòu)不同區(qū)域魯棒性也有差異．如圖5(d)所示,當(dāng)噪聲強度為D=10-4時,這種演化趨勢更加明顯,“魚”形周期區(qū)域幾乎完全變?yōu)榛煦鐟B(tài)．此外,對比觀察圖5發(fā)現(xiàn),大范圍黃色“帶”狀周期振蕩區(qū)域并未發(fā)生明顯收縮,這說明在不同周期振蕩區(qū)域,抗干擾性也不同．值得注意的是,圖5(d)中部分黃色周期振蕩區(qū)域變?yōu)榫G色收斂狀態(tài),這也說明了噪聲對系統(tǒng)影響的兩面性．它不僅可以破壞“魚”形周期振蕩區(qū)域,使其混沌態(tài),還可以使周期振蕩區(qū)域轉(zhuǎn)變?yōu)槭諗繎B(tài)．從上面的分析可以看出,噪聲對系統(tǒng)的周期振蕩區(qū)域有顯著的影響,但通過優(yōu)化參數(shù)也可誘導(dǎo)周期振蕩區(qū)域產(chǎn)生收斂振蕩行為．

圖5 隨噪聲強度D變化的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig. 5 The largest Lyapunov exponent diagram with the change of the noise intensity

4 結(jié) 論

本文研究了永磁同步電動機系統(tǒng)在Gauss白噪聲擾動下的分岔問題,根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果,隨著噪聲強度

D的不斷增大,聯(lián)合概率密度函數(shù)由單峰狀變?yōu)榛鹕娇谛螤?即系統(tǒng)發(fā)生P-分岔．同時平穩(wěn)概率密度函數(shù)頂點降低坡度變緩,這也說明系統(tǒng)穩(wěn)定性的改變．對永磁同步電機系統(tǒng)進一步研究發(fā)現(xiàn)：它在雙參數(shù)空間中具有分形結(jié)構(gòu)的“魚”形周期區(qū)域,大量數(shù)值模擬結(jié)果證實了白噪聲強度對該周期區(qū)域的邊界具有更強的侵蝕作用．值得注意的是,大范圍黃色“帶”狀的周期區(qū)域?qū)Π自肼晠s表現(xiàn)為很強的魯棒性,特別地,白噪聲能夠誘導(dǎo)周期振蕩使其產(chǎn)生收斂的振蕩行為．此外,這些研究方法可以直接應(yīng)用到白噪聲對其他系統(tǒng)的相關(guān)研究中,以便其與本文所得出的結(jié)論進行對比．