文/林中獎(jiǎng)

引 言

眾所周知，數(shù)學(xué)建模是從數(shù)學(xué)視角出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征現(xiàn)實(shí)事物邏輯關(guān)系的一種思維活動(dòng)[1]。為保證數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的順利開展，教師不僅需要儲(chǔ)備相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還需要掌握數(shù)學(xué)建模的相關(guān)理論。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的重要性，做好數(shù)學(xué)建模教學(xué)規(guī)劃，并結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容制訂實(shí)施細(xì)則，為建模教學(xué)活動(dòng)的開展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

一、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的問題

（一）數(shù)學(xué)建模知識(shí)講解不夠系統(tǒng)

部分高中數(shù)學(xué)教師將數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用題解答混為一談，將教學(xué)的重點(diǎn)放在如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)的應(yīng)用題上，在實(shí)踐中，要么不講解數(shù)學(xué)建模知識(shí)，要么講解的數(shù)學(xué)建模知識(shí)不夠深入。多數(shù)教師只是按照課本中的內(nèi)容簡(jiǎn)單介紹數(shù)學(xué)建模，導(dǎo)致學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)建模知識(shí)不夠系統(tǒng)，應(yīng)用時(shí)常常感覺力不從心，或者因忽略某一環(huán)節(jié)而得出錯(cuò)誤結(jié)果[2]。例如，制訂一個(gè)“課下時(shí)間段學(xué)生體育鍛煉考核”的評(píng)分制，需要構(gòu)建每天得分y 和每天鍛煉時(shí)間x（分鐘）的模型。要求如下：（1）在區(qū)間（0，90）上為增函數(shù)；（2）每天參加運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0，得分為0；（3）每天運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)時(shí)間為30 分鐘，得分為3 分；（4）每天最多得分不超過6 分。

部分學(xué)生構(gòu)建模型時(shí)只是單純地從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行思考，未結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果構(gòu)建了錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)實(shí)際情況可知，隨著學(xué)生鍛煉時(shí)間的增加，其得分的增長(zhǎng)是逐漸放緩的，因此，構(gòu)建對(duì)數(shù)類型的模型才更加符合題意。

（二）學(xué)生數(shù)學(xué)建模存在認(rèn)知障礙

高中數(shù)學(xué)建模涉及的情境與人們的生活密切相關(guān)，其中一些情境會(huì)涉及一些術(shù)語(yǔ)[3]。大多數(shù)學(xué)生因缺乏對(duì)社會(huì)時(shí)事的關(guān)注，對(duì)題目中的一些術(shù)語(yǔ)感到陌生，不理解其含義，進(jìn)而無(wú)法判斷需要構(gòu)建的模型類型。例如當(dāng)面對(duì)這樣的題目：“王先生購(gòu)買的股票A 連續(xù)四個(gè)跌停，則至少需要幾個(gè)漲停才能不虧損？（其中，跌停、漲停分別表示比前一天收市價(jià)下跌、上漲10%）”大部分學(xué)生缺乏股票知識(shí)，即便題干中給出“跌?！焙汀皾q?！钡母拍?，仍不能充分理解其含義，更不知道如何運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，導(dǎo)致無(wú)法構(gòu)建出正確模型。

（三）學(xué)生無(wú)法找到參數(shù)邏輯關(guān)系

數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生提煉有用知識(shí)及分析問題的能力要求較高[4]。部分學(xué)生會(huì)因問題情境的文字描述較多或?qū)?nèi)容較為陌生，而不能迅速?gòu)闹刑釤挸鲇杏眯畔?，無(wú)法找到參數(shù)之間的邏輯關(guān)系，無(wú)法構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。例如：“某環(huán)線公交車內(nèi)外線同時(shí)運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線長(zhǎng)均為30 km，不考慮兩線的長(zhǎng)度差異，要求內(nèi)環(huán)線和外環(huán)線公交車平均速度分別為20 km/h，30 km/h?，F(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18 輛公交車全部投入運(yùn)營(yíng)。不考慮公交車進(jìn)站、出站，要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長(zhǎng)候車時(shí)間之差在1 分鐘以內(nèi)，問內(nèi)、外環(huán)線需各投入幾輛公交車運(yùn)行？當(dāng)兩線乘客候車最長(zhǎng)時(shí)間之和最小時(shí)呢？”該情境雖然文字描述不多，但是一些學(xué)生對(duì)“內(nèi)外環(huán)線”并不了解，而且題干中參數(shù)之間的邏輯關(guān)系并不明顯，所以學(xué)生讀完題目后一頭霧水，既無(wú)法判斷模型類型，又不知道如何切入。

（四）學(xué)生不注重?cái)?shù)學(xué)建模方法總結(jié)

高中數(shù)學(xué)中需要通過構(gòu)建模型解決問題的情境類型較多。學(xué)生提高數(shù)學(xué)建模水平，做好不同情境類型以及數(shù)學(xué)建模技巧的總結(jié)尤為重要。然而部分學(xué)生并未認(rèn)識(shí)到總結(jié)的重要性，而是將時(shí)間放在做更多的題上，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型并得出正確結(jié)果后便將習(xí)題放在一邊，不進(jìn)行總結(jié)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)建模水平提升緩慢。

二、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)問題解決途徑

（一）做好建模理論知識(shí)的系統(tǒng)講解

為了給學(xué)生數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的順利開展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)正確處理建模知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)傳授之間的關(guān)系，將數(shù)學(xué)建模理論知識(shí)講解融入教學(xué)活動(dòng)，給學(xué)生帶來(lái)無(wú)形的影響。

首先，做好教學(xué)規(guī)劃，制訂教學(xué)目標(biāo)。教師在教學(xué)中應(yīng)認(rèn)真分析教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模知識(shí)之間的契合點(diǎn)，結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)做好系統(tǒng)的教學(xué)規(guī)劃。同時(shí)，結(jié)合教學(xué)進(jìn)度制訂教學(xué)目標(biāo)，并將教學(xué)目標(biāo)細(xì)化到每一個(gè)課時(shí)上，保證教學(xué)目標(biāo)的順利達(dá)成。

其次，注重課堂互動(dòng)，嚴(yán)把教學(xué)質(zhì)量。部分?jǐn)?shù)學(xué)建模理論知識(shí)需要學(xué)生理解與記憶。在實(shí)踐中為了防止學(xué)生產(chǎn)生枯燥感，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)建模注意事項(xiàng)，教師要注重在課堂上圍繞問題與學(xué)生積極互動(dòng)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模理論知識(shí)的印象，促使學(xué)生自覺地將理論知識(shí)作為數(shù)學(xué)建模的重要依據(jù)。

最后，給予學(xué)生引導(dǎo)，做好知識(shí)整理。教師在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模的過程，總結(jié)數(shù)學(xué)建模的步驟，同時(shí)，預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生應(yīng)用思維導(dǎo)圖做好數(shù)學(xué)建模理論知識(shí)的歸納。

例如，“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題”的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，要求學(xué)生首先自主完成課本內(nèi)容的閱讀與學(xué)習(xí)。學(xué)生通過學(xué)習(xí)不難得出數(shù)學(xué)建模需要在觀察實(shí)際情景的基礎(chǔ)上完成如下步驟：發(fā)現(xiàn)和提出問題—收集數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—建立模型—檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀蠼鈫栴}。之后，學(xué)生認(rèn)真回顧所學(xué)數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用思維導(dǎo)圖做好對(duì)不同數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)的總結(jié)，以及呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模應(yīng)注意的細(xì)節(jié)等，在頭腦中形成系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，為順利構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題提供保障。

（二）注重培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言理解能力

在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，為幫助學(xué)生克服認(rèn)知障礙，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言理解能力，這里的“語(yǔ)言”主要是數(shù)學(xué)語(yǔ)言。在實(shí)踐中，教師應(yīng)注重以下內(nèi)容的認(rèn)真落實(shí)。

其一，高中數(shù)學(xué)中的很多問題情境都來(lái)源于生活，在教學(xué)實(shí)踐中要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成多關(guān)注生活、善于閱讀的良好習(xí)慣。其中，學(xué)生關(guān)注生活時(shí)應(yīng)具備從數(shù)學(xué)視角分析問題的意識(shí)，鍛煉學(xué)以致用的能力；開展閱讀活動(dòng)時(shí)應(yīng)做好數(shù)學(xué)相關(guān)術(shù)語(yǔ)的積累，通過查閱資料搞清楚其含義，防止因?qū)πg(shù)語(yǔ)不熟悉而不能順利建立數(shù)學(xué)模型。

其二，在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，熟練掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言是基礎(chǔ)。因此，在實(shí)踐中，教師應(yīng)要求學(xué)生建立文字與數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以更好地尋找數(shù)學(xué)建模的切入點(diǎn)。如題目要求“制訂的方案最合理”，往往就需要學(xué)生將其與數(shù)學(xué)中的最值問題對(duì)應(yīng)起來(lái)，包括“利潤(rùn)最大值”“成本最小值”“最節(jié)省材料”等概念。

例如：圖1 中，l是海岸線，點(diǎn)P為海中的一座觀光小島。旅游公司在海岸線選擇兩點(diǎn)M、N設(shè)置游客接待處。其中P、M、N中任意兩點(diǎn)間的距離相等，均為20 km。同時(shí)，在M、N點(diǎn)之間設(shè)置游客集中處點(diǎn)Q，游客在該點(diǎn)乘坐游輪前往觀光小島。統(tǒng)計(jì)得知，將每批游客從M、N向Q點(diǎn)集中時(shí)分別需要發(fā)車2 輛和4 輛。每輛汽車每千米消耗的費(fèi)用為20 元，每艘游輪每千米消耗的費(fèi)用為120 元。設(shè)∠PQM=α。

圖1

該題目需要學(xué)生在閱讀中建立其與所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，提出合理的問題后構(gòu)建相關(guān)模型。通過閱讀可知，其是以三角形知識(shí)為背景的費(fèi)用問題，可提出問題：點(diǎn)M、Q的距離為多遠(yuǎn)時(shí)，運(yùn)輸每批游客的總成本最低？在此基礎(chǔ)上借助正弦定理不難構(gòu)建出對(duì)應(yīng)模型：設(shè)運(yùn)輸每批游客的總成本為f（α），則根據(jù)題意，在△MPQ中，，∠PQM=α，則∠MPQ=，由正弦定理易得，構(gòu)建的函數(shù)模型為：。借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)不難求出當(dāng)時(shí)f（α）的值最小，此時(shí)，。

（三）加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維訓(xùn)練

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵在于通過讀題明確參數(shù)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系。教學(xué)實(shí)踐中，為使學(xué)生能夠找到構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維的訓(xùn)練，避免學(xué)生在建模過程中走彎路。一方面，教師要結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)做好數(shù)學(xué)建模經(jīng)典例題的篩選，尤其在講解例題過程中多給學(xué)生預(yù)留思考的時(shí)間，引導(dǎo)其尋找構(gòu)建模型的思路，參與到數(shù)學(xué)建模的過程，進(jìn)一步加深印象。另一方面，教師要結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備，積極組織其開展數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練活動(dòng)，使其有效積累數(shù)學(xué)建模的相關(guān)思路，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)建模習(xí)慣，樹立數(shù)學(xué)建模的自信心。

以上述“公交車在內(nèi)外環(huán)線運(yùn)行”的題目為例。部分學(xué)生之所以無(wú)法構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)模型，主要是對(duì)公交車在環(huán)線運(yùn)行的情境不熟悉。教師可以在課堂上設(shè)計(jì)以下問題幫助學(xué)生尋找數(shù)學(xué)建模思路：（1）若內(nèi)外環(huán)線均只有一輛公交車，怎樣表示對(duì)應(yīng)線上乘客等車的最長(zhǎng)時(shí)間？（2）怎樣表示內(nèi)外環(huán)線乘客等車時(shí)間之差與和？（3）構(gòu)建模型時(shí)該怎樣確定自變量范圍？

學(xué)生通過畫輔助草圖，經(jīng)過思考，就能夠找到上述問題的答案：（1）若內(nèi)外環(huán)線上均只有一輛公交車，則內(nèi)外環(huán)線上乘客候車時(shí)間最長(zhǎng)分別為×60=60；在題目中設(shè)內(nèi)環(huán)線上投入的公交車為x輛，則內(nèi)外環(huán)線上乘客候車時(shí)間最長(zhǎng)分別為、；（2）乘客候車時(shí)間之差與和分別表示為|t1-t2|、t1+t2；（3）考慮到內(nèi)環(huán)線上不能沒有公交車運(yùn)行，則對(duì)應(yīng)的自變量范圍為1 ≤x≤17 且x∈N*。最終，學(xué)生構(gòu)建以下兩個(gè)函數(shù)模型：

（四）引導(dǎo)學(xué)生做好數(shù)學(xué)建?？偨Y(jié)

在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，為更好地提升學(xué)生的建模能力，并使其充分認(rèn)識(shí)到建?？偨Y(jié)的重要性，教師應(yīng)給予學(xué)生有針對(duì)性的引導(dǎo)，使其認(rèn)真開展數(shù)學(xué)建?？偨Y(jié)活動(dòng)。在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師可采用以下思路對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)。其一，根據(jù)數(shù)學(xué)建模教學(xué)計(jì)劃，可預(yù)留一節(jié)課的時(shí)間，通過提問學(xué)生有關(guān)數(shù)學(xué)建模理論知識(shí)的問題，驅(qū)使學(xué)生主動(dòng)回顧與歸納所學(xué)。同時(shí)，要求學(xué)生結(jié)合自身回答問題的情況，分析其中暴露出的數(shù)學(xué)建模知識(shí)漏洞，并及時(shí)查漏補(bǔ)缺，尤其要求學(xué)生圍繞“數(shù)學(xué)建模”畫出相關(guān)思維導(dǎo)圖，清晰而條理地整理理論知識(shí)。其二，要求學(xué)生積極開展數(shù)學(xué)建模心得交流活動(dòng)，鼓勵(lì)其相互分享數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)不同數(shù)學(xué)模型對(duì)應(yīng)的情境特點(diǎn)，進(jìn)而在以后的解題中根據(jù)題干中的關(guān)鍵詞迅速判斷對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型類型，并基于對(duì)情境邏輯關(guān)系的分析完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

以數(shù)列模型為例，高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列模型包含等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，在實(shí)踐中要求學(xué)生總結(jié)數(shù)列模型的特點(diǎn)。通過總結(jié)我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)問題情境中含有“多”“少”等字眼時(shí)，通常需要構(gòu)建等差數(shù)列模型；當(dāng)問題情境中含有“倍”、百分?jǐn)?shù)時(shí)，通常需要構(gòu)建等比數(shù)列模型。當(dāng)確定模型類型后，學(xué)生找到首項(xiàng)、公差或公比，便能順利地構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)列模型。

結(jié) 語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，為保證教學(xué)目標(biāo)的順利達(dá)成，教師不能滿足現(xiàn)狀，應(yīng)做好自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，分析教學(xué)過程中存在的問題，找到癥結(jié)所在并做出相應(yīng)的改善；同時(shí)，針對(duì)存在的問題及時(shí)查閱資料，向經(jīng)驗(yàn)豐富的教師請(qǐng)教，積極與同事溝通交流，尋找解決途徑，做好細(xì)節(jié)上的優(yōu)化。