◎ 蔣 娟

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》對(duì)數(shù)學(xué)的課程性質(zhì)明確表述為“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”。數(shù)學(xué)課程目標(biāo)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法去發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”）。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容組織，需要重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的直觀表述，處理好直觀與抽象之間的關(guān)系。學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)主動(dòng)的過程，要促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法，獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。［1］數(shù)形結(jié)合作為小學(xué)數(shù)學(xué)中最為普遍應(yīng)用的思想方法之一，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建起著非常關(guān)鍵的作用，它對(duì)“促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理解的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是提高數(shù)學(xué)記憶功能，二是圖形語言有利于提升學(xué)生抽象數(shù)學(xué)思維能力。”［2］教師需要充分了解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，理解其對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要價(jià)值，才能正確將數(shù)形結(jié)合運(yùn)用于教學(xué)中，從而發(fā)揮良好的效果。

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵闡釋

不論是數(shù)學(xué)理論探討，還是教學(xué)實(shí)踐研究，數(shù)形結(jié)合思想及其應(yīng)用都已經(jīng)有了較長(zhǎng)歷史，而對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，卻一直沒有統(tǒng)一的界定。不過普遍都是從“數(shù)”和“形”兩者的特征和關(guān)系來進(jìn)行解釋的，認(rèn)為“數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法，數(shù)形結(jié)合中的‘?dāng)?shù)’是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等，‘形’主要是指幾何圖形和函數(shù)圖像等”。［3］數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用一般分為兩種形式，一種是將抽象的“數(shù)”通過具體的“形”來表現(xiàn)的“以形助數(shù)”，另一種是借助數(shù)的精確性來闡述形的性質(zhì)的“以數(shù)解形”。

二、數(shù)形結(jié)合對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值與意義

教師在教學(xué)實(shí)踐中有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的方法，對(duì)促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著非常重要的價(jià)值。

抽象知識(shí)的形象化，能夠降低數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性，提升學(xué)習(xí)效果。數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的高度抽象性，對(duì)學(xué)習(xí)興趣受到感性認(rèn)知影響強(qiáng)烈的小學(xué)生而言，顯得晦澀又枯燥。教師如果利用圖形將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為具象化的內(nèi)容，能夠幫助學(xué)生降低學(xué)習(xí)難度，更準(zhǔn)確地把握問題的關(guān)鍵，進(jìn)而有效地習(xí)得知識(shí)和學(xué)會(huì)問題的解決。

數(shù)學(xué)方法日常的滲透，能夠幫助學(xué)生去理解和解決數(shù)學(xué)問題，鍛煉他們的邏輯思維能力。相較于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)方法在日常教學(xué)中的滲透，讓學(xué)生學(xué)會(huì)并內(nèi)化方法，學(xué)會(huì)、掌握并習(xí)慣運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法解決問題，這不僅僅能夠幫助學(xué)生更順利地解決數(shù)學(xué)問題，更是一種良好數(shù)學(xué)思維方式的培養(yǎng)。

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理解的教學(xué)實(shí)踐

本文以滬教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)第一學(xué)期“整理與提高”單元中的“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”教學(xué)為例，呈現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體實(shí)踐與思考。

（一）理清概念，分析教材與學(xué)情，明確學(xué)習(xí)起點(diǎn)

“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”是小學(xué)階段最后一節(jié)分?jǐn)?shù)教學(xué)課，是對(duì)分?jǐn)?shù)內(nèi)容的整理與提高。而數(shù)射線作為一種學(xué)習(xí)數(shù)的工具，學(xué)生從進(jìn)入小學(xué)開始就會(huì)接觸，比如數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的大小比較、整數(shù)的加減，都是借助數(shù)射線開展學(xué)習(xí)的。學(xué)生要學(xué)會(huì)在數(shù)射線上找到計(jì)數(shù)單位，能直觀地比較數(shù)的大小，進(jìn)行數(shù)的加減計(jì)算。把數(shù)射線作為學(xué)習(xí)工具，在教材的編排上是有連續(xù)性的。

“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生來說，已經(jīng)有了在數(shù)射線上進(jìn)行整數(shù)的大小比較和加減計(jì)算的能力，再向前邁進(jìn)一步，改變“計(jì)數(shù)單位”（原來的計(jì)數(shù)單位是1，現(xiàn)在變成幾分之一），將技能遷移到在數(shù)射線上進(jìn)行分?jǐn)?shù)的大小比較和加減計(jì)算顯得順理成章。因此，運(yùn)用數(shù)射線來進(jìn)一步開展分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)，能夠幫助學(xué)生初步嘗試數(shù)形結(jié)合，建立分?jǐn)?shù)計(jì)算的數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。

（二）復(fù)習(xí)引入，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)接已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

在引入環(huán)節(jié)，教師考慮到學(xué)生已有的數(shù)射線知識(shí)還是在一年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)的，所以設(shè)計(jì)了從復(fù)習(xí)出發(fā)，回顧以往學(xué)習(xí)中數(shù)射線的作用，并為了對(duì)接分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)主題，著重復(fù)習(xí)“計(jì)數(shù)單位”，以及數(shù)的大小比較，數(shù)的加減計(jì)算的本質(zhì)——“計(jì)數(shù)單位”個(gè)數(shù)發(fā)生了變化。

例題 2<4，因?yàn)楫?dāng)計(jì)數(shù)單位是1 的時(shí)候，4 里面有4 個(gè)1，2 里面有2 個(gè)1，所以2<4。

3+4=7，在原來3 個(gè)1 的基礎(chǔ)上加上4 個(gè)1，得到了7 個(gè)1，所以等于7。

雖然通過回憶學(xué)生能夠很快就對(duì)數(shù)射線的概念和運(yùn)用熟悉起來，而且在前一階段的學(xué)習(xí)后對(duì)分?jǐn)?shù)概念也建立起了較好的基礎(chǔ)，但根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷，學(xué)生對(duì)“在數(shù)射線上表示分?jǐn)?shù)”的學(xué)習(xí)還是存在一定困難的。原因可能在于，從長(zhǎng)度模型中用分?jǐn)?shù)表示長(zhǎng)度，要轉(zhuǎn)化到數(shù)射線上用分?jǐn)?shù)表示位置，這個(gè)遷移過程對(duì)四年級(jí)學(xué)生來說跨度較大，因?yàn)椤坝?jì)數(shù)單位”可以根據(jù)研究問題的需要發(fā)生變化。因此，為了幫助學(xué)生順利過渡，教師設(shè)計(jì)在“數(shù)射線上表示整數(shù)”復(fù)習(xí)中體驗(yàn)“計(jì)數(shù)單位”的個(gè)數(shù)變化。

（三）活動(dòng)探究，指導(dǎo)學(xué)生遷移學(xué)習(xí)改造原有經(jīng)驗(yàn)

圖1

在正式教學(xué)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)了在“數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)”活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生遷移在數(shù)射線上找整數(shù)的方法，在數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)。首先在媒體中，大家一起先尋找一個(gè)分?jǐn)?shù)，口述尋找的過程：將0—1 這段數(shù)射線平均分成5 份，從0開始向右數(shù)3 份，這里的計(jì)數(shù)單位為，然后讓學(xué)生繼續(xù)尋找其他的分?jǐn)?shù)。

在這個(gè)環(huán)節(jié)，教師不僅要關(guān)注學(xué)生是否能夠準(zhǔn)確找到分?jǐn)?shù)值在數(shù)射線上的位置，還要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)與找整數(shù)的主要區(qū)別：要將單位1 平均分得到分?jǐn)?shù)單位。通過這個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷和感受計(jì)數(shù)單位從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的變化，在原有對(duì)數(shù)的理解結(jié)構(gòu)中螺旋上升做出調(diào)整。同時(shí)，在教學(xué)過程中，通過讓學(xué)生描述找分?jǐn)?shù)的過程，鍛煉學(xué)生使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力。

活動(dòng)2：分?jǐn)?shù)的大小比較

通過學(xué)生分組活動(dòng)，嘗試解決兩個(gè)不同類型的分?jǐn)?shù)大小比較問題，探究借助數(shù)射線解決分?jǐn)?shù)問題的過程。

經(jīng)過活動(dòng)1 的練習(xí)后，學(xué)生已經(jīng)掌握了在數(shù)射線上準(zhǔn)確找出分?jǐn)?shù)位置的方法，進(jìn)而再嘗試通過位置比較，來確認(rèn)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系。在解決問題中發(fā)現(xiàn)，同分母的分?jǐn)?shù)可以在一條數(shù)射線上表示，比較的是相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)越多數(shù)就越大；同分子的分?jǐn)?shù)可以在兩條數(shù)射線上表示，再對(duì)計(jì)數(shù)單位的大小進(jìn)行比較，相同數(shù)量的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位越大，數(shù)就越大。因此有：

活動(dòng)3：分?jǐn)?shù)的加減計(jì)算

當(dāng)準(zhǔn)確理解和把握數(shù)射線上計(jì)數(shù)單位變化的規(guī)律后，再解決分?jǐn)?shù)的加減問題學(xué)生就會(huì)覺得輕松。例如，在數(shù)射線上，把0—1 這段平均分成7 份，每格是，計(jì)數(shù)單位就是，先找到，往右跳3 個(gè)，跳到，結(jié)果就是。

在問題解決過程中，學(xué)生在數(shù)射線上準(zhǔn)確定位分?jǐn)?shù)時(shí)知道了這里的一格表示幾分之一，進(jìn)一步明確計(jì)數(shù)單位是幾分之一，再次深入體驗(yàn)到和自然數(shù)相比，計(jì)數(shù)單位如何發(fā)生變化。

（四）觀察對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)加深學(xué)習(xí)理解

在前期學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過借用分?jǐn)?shù)墻來進(jìn)行分?jǐn)?shù)的大小比較以及加減計(jì)算的方法。本節(jié)課再指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)射線來解決同樣的問題，為了能夠引導(dǎo)學(xué)生感受和深入思考，教師設(shè)計(jì)了問題反思環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過討論和表達(dá)，激發(fā)更多的思考。

師：既然有這么多方法來解決這些分?jǐn)?shù)的問題，特別是分?jǐn)?shù)墻和數(shù)射線很相似（見圖2），那今天我們?yōu)槭裁催€要使用數(shù)射線呢？

圖2

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、對(duì)比。學(xué)生自己總結(jié)表達(dá)了利用數(shù)射線來解決分?jǐn)?shù)問題的優(yōu)勢(shì)。

（1）在數(shù)射線上出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)可以直觀地進(jìn)行比較，不僅僅局限于同分母和分子。

（2）在數(shù)射線上做分?jǐn)?shù)的加減可以更加直觀地看到計(jì)算結(jié)果。

（3）在一條數(shù)射線上可以表示很多分?jǐn)?shù)，可以表示比1 小的分?jǐn)?shù)，也可以表示比1 大的分?jǐn)?shù)。

（4）分?jǐn)?shù)墻中的一條只能表示同一分母的分?jǐn)?shù)，如果要表示不同分母的分?jǐn)?shù)要另外疊加一條。不同分母的分?jǐn)?shù)越多，這堵墻會(huì)越來越高，但是不同分母的分?jǐn)?shù)卻可以在一條數(shù)射線上表示。

（5）在數(shù)射線上表示分?jǐn)?shù)沒有局限性，可以表示出所有的分?jǐn)?shù)，以后也可以表示所有的小數(shù)。

教師通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)不同知識(shí)之間的觀察、對(duì)比與思考，嘗試列舉并歸納觀點(diǎn)，不僅加深了學(xué)生對(duì)數(shù)射線解決分?jǐn)?shù)問題的方法理解，初步建立起分?jǐn)?shù)計(jì)算數(shù)學(xué)模型，還更深層理解了數(shù)形結(jié)合這一思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的優(yōu)勢(shì)。

（五）延伸拓展，指導(dǎo)學(xué)生在問題解決中鍛煉數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)是為了培養(yǎng)學(xué)生理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式的學(xué)科。要讓學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間建立起邏輯聯(lián)系，需要從小學(xué)階段就注重學(xué)生在問題解決過程中數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。為了對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)效果進(jìn)行反饋，也為了能夠讓學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題，教師在教學(xué)的最后環(huán)節(jié)做了如下設(shè)計(jì)。

拓展活動(dòng)：小丁、小巧、小亞要包裝禮物，小丁拿走整條包裝繩的，小巧需要剩下包裝繩的，那么小亞能夠拿到整條包裝繩的多少呢？

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過列式解答的方法，會(huì)有不少學(xué)生在理解過程中出現(xiàn)偏差，甚至有部分學(xué)生會(huì)無從入手。而經(jīng)過本節(jié)課前面部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生自然會(huì)想到運(yùn)用數(shù)射線來輔助解決問題。如圖3 所示，將0—1 這段線段看作包裝繩，將它平均分成4 份，然后取走它的，然后把剩下的包裝繩平均分成6 份，取走后，就能發(fā)現(xiàn)小亞能夠拿到剩下包裝繩的，也就是整條包裝繩的。

圖3

借助數(shù)射線直觀地解決了問題，讓學(xué)生再一次感悟了數(shù)形結(jié)合思想方法的便利性與有效性，有助于強(qiáng)化學(xué)生在今后解決同類問題時(shí)方法的遷移意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的初步養(yǎng)成。

四、教學(xué)反思

“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”一課的教學(xué)是一次數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生積極地嘗試學(xué)習(xí)。借助形的直觀表現(xiàn)，初步實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念從“過程”到“對(duì)象”的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生體驗(yàn)分?jǐn)?shù)知識(shí)可以從動(dòng)手操作、觀察實(shí)物中去學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在觀察、比較和歸納的過程中，不僅對(duì)分?jǐn)?shù)這部分學(xué)科內(nèi)容有了抽象的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，還在數(shù)形結(jié)合方法的經(jīng)歷過程中，初步嘗試了建立分?jǐn)?shù)計(jì)算數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題。在小學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，幫助學(xué)生建立形和數(shù)的聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的敏銳度。通過啟發(fā)式的教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理解，提高學(xué)生分析解決數(shù)學(xué)問題的靈活性。