周蕾

摘 要：在計算法則教學過程中，教師應該以學生的已有知識儲備為基礎，幫助學生內(nèi)化法則，明確算理的規(guī)定由來，建立法則之間的通道，滿足學生在規(guī)則學習過程中的明理需求.達到這一目標，需要創(chuàng)設合理的教學情境，設計任務目的明確的問題.本文以有理數(shù)乘法法則教學中符號確定規(guī)則的理解為例，展示通過情景設置，問題推動的方式促使學生思考并理解算法的來源，學會算法的表述，主動將新的計算要素加入到已有的算理結構中的過程.

關鍵詞：算理教學；核心素養(yǎng)；有理數(shù)乘法法則

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）的頒布正式宣告了以核心素養(yǎng)為導向，推動基礎教育課程由學科立場向教育立場轉型的要求，即以學生的發(fā)展需求來安排課程教學，并將培養(yǎng)素養(yǎng)作為教學的一貫性目標.以計算法則教學為例，學習者只有產(chǎn)生通過計算來解決問題的需求，才需要找到對應的法則來進行計算，而是否能夠準確快速地找到法則，則是由學習者是否理清了各種法則間的關系脈絡決定的.因而，教師對法則的教學過程應該關注算理的前后關聯(lián)，即為學理；明晰算理的規(guī)定由來，即為明理；說清算理的內(nèi)容本質，即說理，才能幫助學習者正確內(nèi)化法則，并讓內(nèi)化過程充滿數(shù)學的規(guī)則和意識，才能使數(shù)學素養(yǎng)的提升成為學習過程的必然結果.

數(shù)學計算作為貫穿數(shù)學學習過程的“大血管”，作為所有數(shù)學知識的粘合劑，是所有知識學習最基礎的需求.初中學生在進行運算及其法則學習時，本質需求是知道“為什么這樣算”，因而教師不能將“會計算”作為唯一的教學目標，而應該考慮學生從小學開始積累的所有運算知識，能夠帶領學生探索從“非負數(shù)計算”到“有理數(shù)計算”的發(fā)展，感知因數(shù)域擴充帶來的法則擴展的必然性.教學內(nèi)容的選擇與環(huán)節(jié)安排應實現(xiàn)“不單純介紹概念”的要求，通過合適情境、合適問題讓學生思考并理解算法的來源，學會算法的表述，主動將新的計算要素加入到已有的算理結構中，生成新的知識聯(lián)系.下面以蘇科版教材數(shù)學七年級上冊2.6節(jié)有理數(shù)的乘法和除法（第1課時）設計為例，討論以上設想的實現(xiàn).

1 內(nèi)容分析

1.1 教材背景

蘇科版教材數(shù)學七年級上冊2.6有理數(shù)的乘法和除法（第1課時）內(nèi)容是有理數(shù)的乘法法則教學，有理數(shù)乘法法則的學習建立在已經(jīng)掌握理解有理數(shù)加減運算的基礎上，也是后續(xù)學習有理數(shù)除法、乘方運算的知識儲備.

通過學習，要求學生掌握有理數(shù)的乘法法則，理解算理，進一步培養(yǎng)學生的“符號意識”，發(fā)展運算與推理能力.

1.2 學生背景

“應當根據(jù)學生已有的知識去準備教學”（美，奧蘇貝爾）.學生在小學階段已經(jīng)了解了一些有理數(shù)的知識，同時，學生通過“有理數(shù)相關概念”“有理數(shù)加減法”的學習，經(jīng)歷了“數(shù)域擴充”，“在實際情境中體會運算”，“抽象歸納表述加減法則”的過程，積累了一定的學習經(jīng)驗，具備了探究乘法法則的能力.

在課堂教學開始之前，班級大部分學生通過課外學習或自學對有理數(shù)的乘法法則有所了解，符號規(guī)則“同號得正、異號得負”耳熟能詳.但是，大部分學生不僅無法解釋此規(guī)則的合理性，而且缺乏基本的質疑與探究.他們對法則的理解，僅僅完成了“模仿套用”的步驟.

2 目標設定

《標準》要求加強“數(shù)與代數(shù)”中代數(shù)推理能力的培養(yǎng)，在教學中這一要求可以體現(xiàn)為“能夠形成由特殊到一般的探究思路，理解代數(shù)推理的基本要求，培養(yǎng)數(shù)學邏輯表述的習慣”.通過對法則的探究，讓學生經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)—質疑—思考—說理（表達）”的過程，實現(xiàn)在教學中貫穿數(shù)學核心素養(yǎng)的目標.

根據(jù)以上思考，本節(jié)課的教學目標如下：

（1） 熟練掌握有理數(shù)乘法法則，發(fā)展運算能力；

（2） 經(jīng)歷由實際中抽象算式的過程，發(fā)展抽象能力；

（3） 感受質疑過程，理解邏輯推理的必要性，初步掌握推理的形式與規(guī)則，發(fā)展推理能力與意識.

3 教學實施

3.1 問題引入，承上啟下

問題1：填空：（1） 4+4+4+4+4=____.

（2） （-4）+（-4）+（-4）+（-4）+（-4）=____.

師：上面的加法算式能轉化為其他類型的運算嗎？

生：可以用乘法表達，4+4+4+4+4=4×5、（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+（-4）=（-4）×5.

師：這兩種運算什么關系？

生：小學學過，相同數(shù)連續(xù)相加的簡便運算就是乘法.

師追問：小學學過的應該是非負數(shù)的乘法，那在有理數(shù)范圍內(nèi)會有哪些類型的兩數(shù)相乘？

生1：正數(shù)×正數(shù)，負數(shù)×正數(shù) 這兩個就是上面兩個算式的類型.

生2：負數(shù)×負數(shù)，0×正數(shù)，0×負數(shù).

生3：正數(shù)×負數(shù)，正數(shù)×0，負數(shù)×0.

生4：前面兩個說的是一回事，不就是乘法交換律嘛.

師再問：同意4的說法嗎？

討論：法則與運算律的關系.

師歸納：使用乘法交換律的基礎是乘法法則在有理數(shù)范圍內(nèi)成立，不能顛倒.所以，我們先來討論如何在有理數(shù)范圍內(nèi)進行乘法運算.有理數(shù)的運算包含了以上8種類型的數(shù)相乘.

【設計意圖】通過加法引出乘法，體現(xiàn)乘法定義的一貫性，明確運算之間的關系.要求學生分類說明有理數(shù)乘法的類型，延續(xù)加法法則教學的基本步驟，培養(yǎng)學生的數(shù)學分類意識，也是正確“說理”的基本，體現(xiàn)法則教學模式的一貫性.

“能否用乘法運算律來說明法則的合理性”的問題討論可以讓學生明確說理的規(guī)則，理解說理的邏輯順序，邏輯正確是正確說理的基礎.

3.2 情境設置，探究算理

試著填一填，說說你是如何得到結果的：

① 4×5=________；

② （-4）×5=________；

③ （-4）×（-5）=_________.

生1：①是小學學過的乘法，①②就等于剛才的加法算式結果.可以用有理數(shù)的加法法則來運算.③的結果是20，我預習了乘法法則，利用法則我可以直接算這3個式子.

師：那你能解釋一下是怎么利用法則來運算的嗎？

生1：負負得正，然后絕對值相乘.

追問：③ 好像不能表達為加法運算了，所以同學們說用乘法法則，那這個法則為什么這樣定呢？能說一說嗎？

生1：說不清楚，好像就是這樣定的

【設計意圖】通過加法引出乘法，可以利用加法法則計算某些類型的乘法，但是遇到負數(shù)與負數(shù)相乘學生就會感到有困難，于是轉向直接使用乘法法則.“學理”的過程好像提前完成了，但卻沒有“明理”.使用乘法法則只是模仿，“說理”才能真正“明理”，于是就引出了“負負得正”的合理性討論.

提出問題的能力和質疑的意識是數(shù)學的基本素養(yǎng)，大部分學生預習運算法則后按法則進行運算都不思考來由和算理.單純的模仿后再運算的學習模式導致學生學習動機不足，讓計算法則教學顯得枯燥而蒼白.提出一些“寫答案”之外的問題，讓學生發(fā)現(xiàn)知識的空白點，引發(fā)討論和思考.

師：數(shù)學是講道理的，規(guī)定也要合理才行.大家看看怎么能理解這是個合理的規(guī)定.

生：模仿前面學習加減法那樣通過實際情境來理解？

師：2022年南京遭遇“史上最熱”的夏天.玄武湖、石臼湖、固城湖等湖泊、水庫水位變化明顯.為了表示水位變化情況，我們規(guī)定水位上升為正，水位下降為負；幾天后為正，幾天前為負.

（1） 分別說出①②③表達的實際意義.

（2） 進行以下計算.

4×5=________（-4）×5=________

4×4=________（-4）×4=________

4×3=________（-4）×3=________

4×2=________（-4）×2=________

4×1=________（-4）×1=________

4×0=________（-4）×0=________

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？說具體一點.

生，討論回答：同一列的算式一個因數(shù)不變，另一個在不斷變小，所以積也在隨之變化.左邊的一列從上到下積依次減少4，從20減少到0.右邊的一列從上到下積依次減少-4，也就是變大4，從-20增加到0.

（3） 能用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來確定下面這些算式的結果嗎？

4×（-1）=________（-4）×（-1）=________

4×（-2）=________（-4）×（-2）=________

4×（-3）=________（-4）×（-3）=________

4×（-4）=________（-4）×（-4）=________

4×（-5）=________（-4）×（-5）=________

師：很好，大家發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律從積的變化上就能夠解釋剛才法則里說的“負負得正”的合理性了.

【設計意圖】合理的實際情境引出各種類型的有理數(shù)乘法算式，再根據(jù)實際意義寫出運算結果，便于學生理解運算結果的正確.同時利用固定一個因數(shù)，設定另一個因數(shù)變化的一組算式，讓學生看到隨著因數(shù)符號的變化，積的符號變化的規(guī)律，回答前面“負負得正”的規(guī)定的合理性的.

（2）（3）兩組算式之間插入發(fā)現(xiàn)規(guī)律的探索過程，是為了避免學生根據(jù)乘法法則直接填寫結果，在明確規(guī)律變化后引導學生按規(guī)律填寫結果，讓學生看到積由正變負的必然性，通過表述規(guī)律理解“負負得正”的合理性.這部分在蘇科版教材呈現(xiàn)方式基礎上做了修改，讓課堂討論和問題生成更加合理和必要.

3.3 提煉法則，依理計算

師：上面兩列算式包含了我們歸納的有理數(shù)乘法的幾個類型了嗎？

生：再補0×4=________，0×（-4）=_________.

師：根據(jù)以上算式，說說兩個有理數(shù)相乘如何確定積的符號和絕對值.

生1：符號這樣定：

正數(shù)×正數(shù)＞0，負數(shù)×正數(shù)＜0，負數(shù)×負數(shù)＞0，正數(shù)×負數(shù)＜0，0×正數(shù)=0，0×負數(shù)=0，正數(shù)×0=0，負數(shù)×0=0.

絕對值：因數(shù)的絕對值相乘得積的絕對值.

生2：太復雜了，符號分三類吧，同號得正，異號得負，與0相乘都得0.

師：板書乘法法則.

【設計意圖】經(jīng)歷了前面的討論，抽象出有理數(shù)乘法法則，完成了從實例到法則的提煉，完成了理解乘法法則的目標.表述法則時，引導學生類比加減法法則，分為符號、絕對值兩部分來確定積的值，并根據(jù)符號異同進行再次分類，強化數(shù)域擴充后的符號意識，培養(yǎng)學生的分類、類比能力，體會數(shù)學語言的科學和精煉.這些過程都是在培養(yǎng)學生的邏輯說理基本能力.

例1 計算下列各式.

例2 回答以下問題.

（1） 若ab＞0，請判斷a、b兩數(shù)的符號；

（2） 若ab＞0，a+b＞0，請判斷a、b兩數(shù)的符號；

（3） 若ab＞0，a+b＜0，請判斷a、b兩數(shù)的符號；

（4） 若ab＜0，a+b＞0，請判斷a、b兩數(shù)的符號.

練習2 從-7，-4，-2，3，9，0中任選兩數(shù)相乘，乘積最大的一組是哪兩個數(shù)？最小呢？

【設計意圖】熟練運用法則進行計算，是“明理”的檢驗.進行有理數(shù)乘法，學生需要對符號與絕對值分別做判斷，這與小學里乘法運算只需考慮單方面問題不同，在處理過程上難度翻倍，打破了原有的運算習慣，需要通過訓練逐步熟悉并熟練，同時固化符號判斷意識.例1與練習1是各種類型的有理數(shù)相乘；例2難度較大，涉及到加法、乘法算理的逆向使用、混合運用；練習2考察了有理數(shù)范圍內(nèi)的乘法法則及數(shù)的大小比較，部分學生的“最小數(shù)”意識仍停留在0上.例2與練習2的解答過程要求學生能夠逐步使用規(guī)范的邏輯語言進行“說理”.

4 小結思考，合情推廣

問題1：有理數(shù)的乘法法則：與加減法法則探索過程、結論有何異同？

問題2：根據(jù)你的學習經(jīng)驗，對有理數(shù)乘法的學習還有本節(jié)課沒有探索的內(nèi)容嗎？

【設計意圖】從特殊到一般再由一般到特殊，學生通過對比、發(fā)現(xiàn)、歸納獲得寶貴的數(shù)學研究經(jīng)歷，積累發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)新問題的經(jīng)驗.通過不同法則的類似研究過程類比，感受到運算之間的聯(lián)系，激發(fā)學生的學習動機，引發(fā)合理的后續(xù)學習需求.

5 反思感悟

有理數(shù)的乘法運算作為培養(yǎng)學生在數(shù)域擴充后建立“數(shù)感”和“符號意識”的重要教學內(nèi)容，在教學時常會出現(xiàn)教師不重視算理卻覺得不影響學生記住運算法則的情況，這與教學目標的設定、特別是教師對《標準》要求的理解有關.法則學習是“學理”，但“學理”的目的不僅僅是為了操作，它的本質需求是“明理”，“說理”則可以用來驗證是否“明理”，三個目標環(huán)環(huán)相連，又互為印證.

本節(jié)課的設計把“有理數(shù)乘法”放在整個運算體系里，依托學生已有知識經(jīng)驗提出問題，通過課堂活動讓學生明白“法則”的前后聯(lián)系與發(fā)展脈絡.“負負得正”的合理性探索激發(fā)學生的質疑能力，觸發(fā)學習動機，讓學生分類討論、抽象算式、總結規(guī)律、歸納法則，培養(yǎng)邏輯表達能力.讓學生能夠“明理”“說理”，感受邏輯的嚴謹，由此才完成“學理”.

核心素養(yǎng)是在長期的教學過程中逐漸形成的，課堂的每一個環(huán)節(jié)、每一個問題都要對應到一定的課程目標中，才能完成《標準》提出的“素養(yǎng)”培養(yǎng)目標.這就要求“計算法則”的教學要脫離“單純介紹概念、模仿套入計算”的枯燥學習模式.教師只有構建合理的情境，才能真正幫助學生理解概念、法則；使用邏輯推理對數(shù)學結論進行說理或驗證，才能培養(yǎng)學生的推理意識、能力；讓學生接觸規(guī)范的推理語言、規(guī)則，才能幫助學生獲得用“數(shù)學的眼光觀察、用數(shù)學的思維思考、用數(shù)學的語言表達”的能力.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.