陳 洋，蔣 剛，梁 山，王肇喜

（上海航天精密機(jī)械研究所，上海 201600）

0 引 言

隨機(jī)振動試驗(yàn)是防空導(dǎo)彈、飛機(jī)、高速列車、船舶及電力工程等領(lǐng)域研制過程中的一個重要環(huán)節(jié)，對于結(jié)構(gòu)可靠性的驗(yàn)證有著至關(guān)重要的作用。數(shù)值仿真方法可以在研制階段代替部分實(shí)物試驗(yàn)，節(jié)省成本，縮短研制周期。目前常用的動力學(xué)數(shù)值計(jì)算方法是建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，進(jìn)行隨機(jī)振動仿真分析，并結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)修正仿真模型［1］。采用有限元方法可以分析隨機(jī)振動環(huán)境下結(jié)構(gòu)連接可靠性、疲勞壽命、應(yīng)力應(yīng)變等［2-4］。對于小于500 Hz 的低頻振動，由于其結(jié)構(gòu)的模態(tài)較為稀疏，使用有限元單元離散技術(shù)的方法能取得較為精確的結(jié)果［5］。隨著結(jié)構(gòu)振動頻段的升高，有限元方法的單元網(wǎng)格需要不斷加密，導(dǎo)致系統(tǒng)自由度和計(jì)算量急劇增加。高頻模態(tài)分析和響應(yīng)計(jì)算結(jié)果對各種不確定性因素非常敏感，結(jié)構(gòu)模態(tài)密集，隨機(jī)特性影響突出，因此高頻振動的有限元仿真精度難以滿足工程需要。

對于高頻振動問題，統(tǒng)計(jì)能量法（statistical energy analysis，SEA）是目前主流的分析方法［6-8］。由于統(tǒng)計(jì)能量法從全局出發(fā)得到結(jié)構(gòu)或子結(jié)構(gòu)響應(yīng)在空間上的統(tǒng)計(jì)均值，無須關(guān)注結(jié)構(gòu)具體位置的響應(yīng)情況，因此適用于高頻振動問題［9-11］。但是僅當(dāng)每個子系統(tǒng)的模態(tài)密度＞5，并且模態(tài)重疊因子＞1時(shí)，統(tǒng)計(jì)能量法才有效，模態(tài)稀疏的低頻段往往無法滿足該要求［10-11］。

對于包含低、中、高頻的寬頻隨機(jī)振動問題，單獨(dú)采用有限元（finite element，F(xiàn)E）或者統(tǒng)計(jì)能量分析（statistical energy analysis，SEA）方法均無法獲得精確的結(jié)果。為了解決現(xiàn)有仿真方法無法滿足包含從低頻到高頻的寬頻域隨機(jī)振動問題，有研究人員提出一種思路，即根據(jù)結(jié)構(gòu)模態(tài)分析的結(jié)果，將系統(tǒng)劃分為確定性子系統(tǒng)和統(tǒng)計(jì)性子系統(tǒng)兩類，分別采用有限元建模和統(tǒng)計(jì)能量法建模，并將兩種子系統(tǒng)耦合起來［12-13］。FE-SEA 混合方法結(jié)合了有限元方法和統(tǒng)計(jì)能量分析方法各自在低頻與高頻段的優(yōu)勢，有望成為連接低頻與高頻問題的橋梁，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)全頻域的寬頻隨機(jī)振動高效、高精度仿真分析［14-15］。

防空導(dǎo)彈、運(yùn)載火箭等航天器服役過程中，低頻響應(yīng)和高頻振動響應(yīng)均對機(jī)電系統(tǒng)穩(wěn)定性、結(jié)構(gòu)可靠性有顯著影響［16］，但目前仿真還存在困難。為突破防空導(dǎo)彈系統(tǒng)隨機(jī)振動的高頻耦合建模難題，本文以典型艙體結(jié)構(gòu)為研究對象，采用基于波動耦合理論的FE-SEA分析方法，確定結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)劃分原則，研究艙體結(jié)構(gòu)在5～2 000 Hz頻率范圍內(nèi)典型隨機(jī)振動條件下的響應(yīng)，通過實(shí)物試驗(yàn)修正并驗(yàn)證仿真結(jié)果，以期為防空導(dǎo)彈艙體結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動試驗(yàn)建立一套有效的仿真分析模型。

1 FE-SEA混合分析方法

1.1 基于波動耦合的FE-SEA基本理論

基于波動耦合的混合建模方法，其基本原理為，基于能量守恒推導(dǎo)各SEA 子系統(tǒng)能量響應(yīng)方程，并從統(tǒng)計(jì)的角度建立FE子系統(tǒng)的位移響應(yīng)與SEA子系統(tǒng)的能量響應(yīng)之間的關(guān)系，從而達(dá)到耦合FE 子系統(tǒng)和SEA子系統(tǒng)的目的。

一般而言，對于確定性子系統(tǒng)其總體動力學(xué)方程表示為

式中：N為SEA 子系統(tǒng)的總數(shù)目；u為FE 子系統(tǒng)的總自由度數(shù)；fre(k)為FE 子系統(tǒng)邊界處的混響場載荷（上標(biāo)k表示第k個SEA 子系統(tǒng)）；fex為作用于FE 子系統(tǒng)的外部激勵；Dtou為FE子系統(tǒng)總體動剛度。

Dtou可以表示為

式中：Dd為在邊界處FE 子系統(tǒng)的動剛度；為第k個SEA子系統(tǒng)對于FE子系統(tǒng)的直接動剛度。

通過式（2）可以求得FE子系統(tǒng)的自由度數(shù)為

當(dāng)SEA 子系統(tǒng)中有足夠參數(shù)為不確定性時(shí)，耦合邊界上的混響力則可由擴(kuò)散場互易表示為

式中：為混響力的互譜矩陣；Ek為第k個SEA子系統(tǒng)能量響應(yīng)；Im{ }為取虛部；nk為第k個SEA 子系統(tǒng)模態(tài)密度；ω為圓頻率。

式（4）建立了SEA 子系統(tǒng)能量響應(yīng)與SEA 子系統(tǒng)耦合邊界上作用于FE 子系統(tǒng)載荷之間的關(guān)系，提供了計(jì)算的方法。通過式（3）與式（4）可得到FE子系統(tǒng)自由度u的互譜矩陣如下：

式中：上標(biāo)“H”為“Hermitian轉(zhuǎn)置”。

同時(shí)，由式（1）—式（5）可以推導(dǎo)得到混合FESEA系統(tǒng)的功率平衡方程如下：

式中：ηj，k為子系統(tǒng)j和子系統(tǒng)k的耦合損耗因子；ηj為SEA 子系統(tǒng)與FE 子系統(tǒng)j之間的阻尼損耗因子；Pj為由外界輸入SEA 子系統(tǒng)j中的功率；為第j個SEA子系統(tǒng)接收的輸入功率，其來源是作用在FE 子系統(tǒng)上的外部激勵；Sff為施加到FE 子系統(tǒng)的載荷力的互譜矩陣。

在建立FE-SEA 混合后，SEA 子系統(tǒng)的平均振動能量可以通過式（6）求解得到。根據(jù)SEA 子系統(tǒng)能量響應(yīng)與FE子系統(tǒng)荷載之間的關(guān)系，求解式（5）得到FE子系統(tǒng)振動速度、加速度。

1.2 基于波動理論的FE-SEA混合方法分析

基于波動理論的FE-SEA 混合方法的基本流程如圖1 所示。具體分析過程如下：① 劃分系統(tǒng)；②獲取邊界連接處的動剛度陣；③ 分析確定性子系統(tǒng)的參數(shù)；④ 分析與隨機(jī)子系統(tǒng)相關(guān)的參數(shù)；⑤ 隨機(jī)子系統(tǒng)響應(yīng)的求解；⑥ 確定性子系統(tǒng)響應(yīng)的求解；⑦ 重復(fù)步驟②～⑥，計(jì)算下一個頻段響應(yīng)的平均集合。

圖1 FE-SEA混合方法分析流程Fig.1 Analysis flow chart of the FE-SEA method

2 艙體結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動試驗(yàn)的FE-SEA仿真分析

2.1 建立振動試驗(yàn)系統(tǒng)模型

為了反映導(dǎo)彈艙體結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動試驗(yàn)中真實(shí)的響應(yīng)情況，建立振動臺動圈、滑臺以及艙體結(jié)構(gòu)的聯(lián)合模型，如圖2 所示。已知振動臺及滑臺部件在500～2 000 Hz 的模態(tài)數(shù)＜5，因此仿真分析中振動臺與滑臺都采用有限元模型。

圖2 振動臺動圈、滑臺以及艙體結(jié)構(gòu)的聯(lián)合模型Fig.2 Joint model combined by moving coil of vibration table，sliding table and cabin

振動臺動圈、滑臺與艙體之間通過螺栓連接，在HyperMesh 軟件中通過梁單元和節(jié)點(diǎn)耦合方式模擬螺栓功能實(shí)現(xiàn)3個部分的連接。振動臺動圈和滑臺由AZ31鎂合金制成，艙體為6061鋁合金結(jié)構(gòu)件，各部分的材料參數(shù)見表1。

表1 振動臺動圈、滑臺和艙體的材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of moving coil of vibration table，sliding and cabin

2.2 艙體結(jié)構(gòu)的子系統(tǒng)劃分

仿真分析工作中對艙體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡化，忽略了艙體上的細(xì)小附件以及內(nèi)部設(shè)備，填補(bǔ)對計(jì)算分析結(jié)果影響不大的孔洞，對艙體結(jié)構(gòu)存在的其他影響計(jì)算精度的部分進(jìn)行簡化與修正處理，最終得到簡化過后的艙體結(jié)構(gòu)模型，如圖3所示。艙體結(jié)構(gòu)主要分為5個部件：前圈、后圈、中間半圓柱板1、半圓柱板2及4個加強(qiáng)板，4個加強(qiáng)版厚度分別為5.5、5.5、1.5和8 mm。

圖3 艙體結(jié)構(gòu)模型Fig.3 Model of cabin structure

對艙體結(jié)構(gòu)劃分有限元網(wǎng)格并進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算頻率500～2 000 Hz，各個部件所對應(yīng)的模態(tài)數(shù)如圖4所示。

圖4 艙體各部件對應(yīng)模態(tài)數(shù)Fig.4 Model order of each component

由圖4 可見，500～2 000 Hz 時(shí)兩個半圓柱板所對應(yīng)的模態(tài)數(shù)均＞3，800 Hz 左右時(shí)均＞5，因此這兩個部分采用統(tǒng)計(jì)能量分析模型精度是足夠的。剩余的前圈、后圈以及加強(qiáng)板部分對應(yīng)的模態(tài)數(shù)較小，無法達(dá)到使用統(tǒng)計(jì)能量模型的要求，因此在分析中應(yīng)當(dāng)采用有限元模型。最終艙體子系統(tǒng)劃分方式及各部分能量傳遞關(guān)系如圖5 所示，其中紅色箭頭為SEA 子系統(tǒng)之間的能量傳遞，藍(lán)色箭頭為FE 子系統(tǒng)和SEA 子系統(tǒng)之間的能量傳遞。

圖5 艙體有限元-統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)劃分及能量傳遞方式Fig.5 Subsystem division and energy transfer path on cabin structure

2.3 振動臺 夾具 艙體結(jié)構(gòu)FE-SEA 分析模型建立

在艙體隨機(jī)振動試驗(yàn)仿真分析中，將振動臺動圈和滑臺作為虛擬振動試驗(yàn)系統(tǒng)，建立有限元模型，將艙體結(jié)構(gòu)通過螺栓連接安裝在滑臺上，如圖6 所示。通過虛擬振動試驗(yàn)系統(tǒng)對艙體施加激勵，整個過程類似于實(shí)物試驗(yàn)。所建立的振動臺-夾具-艙體結(jié)構(gòu)FE-SEA 分析模型及各部分能量傳遞方式如圖7 所示。FE-SEA 分析過程采用VA one 軟件進(jìn)行計(jì)算。在航空航天領(lǐng)域，鋁板的內(nèi)損耗因子約為0.02，因此采用該值作為內(nèi)損耗因子的大小。耦合損耗因子表征了兩個子系統(tǒng)之間的耦合程度，決定兩個子系統(tǒng)之間能量傳輸?shù)哪芰?，耦合損耗因子由軟件計(jì)算得到。

圖6 振動臺-夾具-艙體結(jié)構(gòu)FE-SEA模型Fig.6 FE-SEA model of the joint model

圖7 聯(lián)合模型有限元-統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)劃分及能量傳遞方式Fig.7 Subsystem division and energy transfer path on a joint model

2.4 隨機(jī)振動試驗(yàn)仿真計(jì)算結(jié)果

研究艙體結(jié)構(gòu)在振動臺提供隨機(jī)振動條件時(shí)的響應(yīng)，選擇一個典型的隨機(jī)激勵載荷，見表2。其功率譜密度值隨著頻率變化的曲線如圖8所示。

表2 給定隨機(jī)激勵載荷Tab.2 Random excitation load spectrum

圖8 隨機(jī)振動載荷Fig.8 Curve of random excitation load spectrum

計(jì)算獲得艙體各部件的振動加速度響應(yīng)如圖9所示，模型各部分之間能量傳遞關(guān)系如圖10所示。由圖9 可見，半圓柱板2 的加速度響應(yīng)略大于半圓柱板1 的響應(yīng)，說明其響應(yīng)大小由于各板連接之間存在耗散而不同，能量由半圓柱板2 傳至半圓柱板1 時(shí)有部分能量耗散。由圖10 可見半圓柱板1 的能量大部分由半圓柱板2 傳來，少部分能量由動圈通過有限元部分傳來。

圖9 振動響應(yīng)曲線Fig.9 Curve of vibration response

圖10 能量傳遞曲線Fig.10 Curve of energy transfer

2.5 試驗(yàn)結(jié)果及仿實(shí)一致性分析

根據(jù)2.4 節(jié)中模擬試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)隨機(jī)振動試驗(yàn)方案。如圖11（a）所示，將某型號電子艙通過夾具以及轉(zhuǎn)接工裝安裝于振動臺臺面，按照如圖11（b）所示方式布置振動傳感器測點(diǎn)，以CH1、CH2、CH3、CH4 為控制點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)振動試驗(yàn)，監(jiān)測點(diǎn)A1～A4 和A5～A8分別監(jiān)測半圓板1 和半圓板2 上的振動響應(yīng)。試驗(yàn)控制曲線及艙體響應(yīng)結(jié)果如圖12所示。

圖11 艙體隨機(jī)振動試驗(yàn)Fig.11 Random vibration test of cabin

圖12 艙體隨機(jī)振動試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.12 Random vibration test data of cabin

根據(jù)所劃分的艙體統(tǒng)計(jì)能量子系統(tǒng)，將兩個子系統(tǒng)上的測點(diǎn)響應(yīng)平均處理，按1/12倍頻程帶寬計(jì)算各頻段中的振動響應(yīng)均方根（root mean square，RMS）值，試驗(yàn)與仿真結(jié)果的對比如圖13 所示，仿真數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。

圖13 仿真與試驗(yàn)的振動響應(yīng)RMS數(shù)據(jù)對比Fig.13 Comparison between simulation and test of vibratory response RMS

計(jì)算得到子系統(tǒng)1 在500～2 000 Hz 的試驗(yàn)結(jié)果，總振動響應(yīng)RMS 值為15.4g，仿真結(jié)果總振動響應(yīng)RMS 值為18.7g，子系統(tǒng)1 振動響應(yīng)有效值誤差約為1.6 dB。計(jì)算得到子系統(tǒng)2在500～2 000 Hz的試驗(yàn)結(jié)果，總振動響應(yīng)RMS值為17.3g，仿真結(jié)果總振動響應(yīng)RMS 值為22.1g，子系統(tǒng)2 振動響應(yīng)有效值誤差約為2.1 dB。兩個子系統(tǒng)振動響應(yīng)有效值誤差均小于3 dB，反映出導(dǎo)彈模擬艙體的高頻隨機(jī)響應(yīng)仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性。

3 結(jié)束語

本文完成了典型艙體結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)能量分析建模方法，通過開展頻率特性分析，將艙體結(jié)構(gòu)上模態(tài)數(shù)＞5 的部分作為統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)，建立艙體結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)能量分析模型；討論了基于波動理論的FE-SEA 混合方法分析過程，基于有限元-統(tǒng)計(jì)能量分析對典型艙體結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)振動試驗(yàn)仿真分析，得到艙體部件的加速度響應(yīng)。仿真數(shù)據(jù)與實(shí)物試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比，振動響應(yīng)有效值誤差均＜3 dB，說明采用FESEA 混合方法的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性。