謝小軍，馬 虹，薛申芳，黃 鵬

（1.廣州工商學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院，廣州 510850；2.廣東金融學(xué)院 金融數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣州 510521）

0 引言

在研究區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法時(shí)，如何確定組合權(quán)重系數(shù)，并且能夠具有更好的精確預(yù)測(cè)值，一直是研究者所關(guān)注的核心問(wèn)題。已有相關(guān)文獻(xiàn)給出了一些區(qū)間型組合預(yù)測(cè)問(wèn)題中求權(quán)重的不同方法，主要通過(guò)結(jié)合一些誘導(dǎo)算子構(gòu)建某個(gè)準(zhǔn)則下的最優(yōu)模型。文獻(xiàn)[1]結(jié)合誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子（IOWA）構(gòu)建了區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[2]引入誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均算子（IGOWLA），建立以誤差平方和為最優(yōu)準(zhǔn)則的組合預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[3]以灰色趨勢(shì)關(guān)聯(lián)度為最優(yōu)準(zhǔn)則，并引入廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子（GIOWA）構(gòu)建了組合模型。文獻(xiàn)[4]引入誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子（IOWGA），以用區(qū)間中心和區(qū)間半徑預(yù)測(cè)誤差絕對(duì)值之和最小為準(zhǔn)則建立了組合預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[5]引入連續(xù)有序加權(quán)平均算子（COWA）,以相關(guān)系數(shù)為最優(yōu)準(zhǔn)則建立了優(yōu)化組合預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[6]通過(guò)引入誘導(dǎo)連續(xù)有序加權(quán)平均算子（ICOWA），以預(yù)測(cè)有效度為最優(yōu)準(zhǔn)則構(gòu)建區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[7]引入誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子（IOWGA），以三角模糊數(shù)左右區(qū)間的相似度作為最優(yōu)準(zhǔn)則構(gòu)建最優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[8]通過(guò)結(jié)合連續(xù)區(qū)間的廣義有序加權(quán)多重平均算子（C-GOWMA）和誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子（IOWA），建立以指數(shù)支撐度為最優(yōu)準(zhǔn)則的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[9]引入誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)多重平均算子（IGOWMA）,以廣義向量夾角余弦為最優(yōu)化準(zhǔn)則構(gòu)建區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[10]通過(guò)信息熵的不同形式，給出了三種可行的研究方法來(lái)確定區(qū)間型組合預(yù)測(cè)權(quán)重。鑒于向量投影是一個(gè)綜合性測(cè)度，既能反映兩個(gè)向量指標(biāo)對(duì)象之間的距離，又能反映他們之間的夾角，因此本文將已有研究者提出的一些向量投影測(cè)度公式引入，并在此基礎(chǔ)上提出了一種新的投影測(cè)度公式。對(duì)這些投影測(cè)度公式加以推廣用來(lái)描述兩個(gè)區(qū)間數(shù)時(shí)間序列的接近程度，以組合預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)序列與實(shí)際區(qū)間數(shù)時(shí)間序列平均標(biāo)準(zhǔn)化投影測(cè)度為最優(yōu)化準(zhǔn)則，構(gòu)建了四個(gè)不同平均標(biāo)準(zhǔn)化投影測(cè)度的全新區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型；并通過(guò)實(shí)例分析，將預(yù)測(cè)結(jié)果與已有研究文獻(xiàn)中的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)優(yōu)化模型進(jìn)行對(duì)比。

1 相關(guān)概念

定義1[1]：設(shè)a=[al,au]，其中，al,au?R，且滿足0

因此文獻(xiàn)[12]給出了如下公式：

該文獻(xiàn)提出以下標(biāo)準(zhǔn)化投影測(cè)度公式：

文獻(xiàn)[13]給出了如下標(biāo)準(zhǔn)化投影公式：

文獻(xiàn)[14]給出了如下標(biāo)準(zhǔn)化投影公式：

定義3：設(shè)任意兩個(gè)區(qū)間數(shù)a=[al,au] 和b=[bl,bu]，其中0

其中，RPb(a)=(ab)/b2，ab=albl+aubu，a2=(al)2+(au)2，b2=(bl)2+(bu)2，可知NPb(a)越大，表示區(qū)間數(shù)a和區(qū)間數(shù)b越接近。

2 模型的建立

（2）基于向量標(biāo)準(zhǔn)化投影的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型II

（3）基于向量標(biāo)準(zhǔn)化投影的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型III

（4）基于向量標(biāo)準(zhǔn)化投影的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型IV

3 實(shí)例分析

為了說(shuō)明本文提出的四種模型的有效性，并和已有文獻(xiàn)的預(yù)測(cè)方法的結(jié)果作對(duì)比研究，本文選取文獻(xiàn)[1,10]中實(shí)例分析中的數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 原序列值和各單項(xiàng)預(yù)測(cè)序列值

將表1 數(shù)據(jù)利用式（10）計(jì)算m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的組合預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)序列，分別用式（11）至式（14）計(jì)算組合預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)序列與實(shí)際區(qū)間數(shù)時(shí)間序列的平均標(biāo)準(zhǔn)化投影NPX()，然后分別代入建立的四個(gè)優(yōu)化模型中，利用Lingo11計(jì)算求得對(duì)應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)，見(jiàn)表2。

表2 組合模型的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)

通過(guò)求解得到的表2 所建立的四種模型的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)，可以進(jìn)一步計(jì)算得到組合預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)序列以及其等價(jià)表示，結(jié)果見(jiàn)表3。

為了對(duì)本文提出的方法的預(yù)測(cè)結(jié)果作出客觀評(píng)價(jià)，驗(yàn)證基于向量投影測(cè)度的四種區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型的有效性，以區(qū)間數(shù)序列的絕對(duì)誤差指標(biāo)（MSEP、MSEL、MSEI）和區(qū)間數(shù)序列的相對(duì)誤差指標(biāo)（MRIE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，計(jì)算公式如下：

根據(jù)表3 中實(shí)際值區(qū)間數(shù)和四種基于向量平均標(biāo)準(zhǔn)化投影的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)值區(qū)間數(shù)及其等價(jià)表示，依據(jù)上述區(qū)間數(shù)序列的絕對(duì)誤差和區(qū)間數(shù)序列的相對(duì)誤差公式對(duì)各預(yù)測(cè)方法的效果評(píng)價(jià)指標(biāo)值進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下頁(yè)表4。

表4 預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)值

從表4中各預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)誤差指標(biāo)來(lái)看：

（1）本文提出的基于向量投影測(cè)度的四種區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型要優(yōu)于所有單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法。四種基于向量投影測(cè)度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型的四個(gè)誤差指標(biāo)MSEP、MSEL、MSEI、MRIE在數(shù)值上都明顯小于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法相應(yīng)的誤差指標(biāo)。

（2）四種基于向量投影測(cè)度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型也優(yōu)越于文獻(xiàn)[1]中提出的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法。在四種基于向量投影測(cè)度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型中，MSEP、MSEL、MSEI、MRIE在數(shù)值上都明顯小于文獻(xiàn)[1]中所提預(yù)測(cè)方法相應(yīng)的誤差指標(biāo)值。

（3）四種基于向量投影測(cè)度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型與文獻(xiàn)[10]中提出的三種基于熵值的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法效果相當(dāng)。在四種基于向量投影測(cè)度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型中，MSEP在數(shù)值上都小于文獻(xiàn)[10]中基于熵值的三種區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法；四種組合預(yù)測(cè)模型的MSEL、MSEI在數(shù)值上都大于文獻(xiàn)[10]中基于熵值的三種區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法；四種組合預(yù)測(cè)模型的MRIE在數(shù)值上小于文獻(xiàn)[10]中提出的Shannon 熵的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法和聯(lián)系熵的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法，略大于文獻(xiàn)[10]中提出的相對(duì)熵的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法。

（4）在四種基于向量投影測(cè)度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型中，組合預(yù)測(cè)模型I在絕對(duì)誤差指標(biāo)MSEP、MSEL、MSEI上更加優(yōu)越，組合預(yù)測(cè)模型IV在相對(duì)誤差指標(biāo)MRIE上更加優(yōu)越，而組合預(yù)測(cè)模型II和組合預(yù)測(cè)模型III效果一樣。

綜上可知，本文提出的四種基于向量投影測(cè)度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型能有效減少預(yù)測(cè)誤差，提高單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度，是一種非劣性區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型。

4 結(jié)論

本文對(duì)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型進(jìn)行研究，區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型的核心問(wèn)題是如何確定各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的權(quán)重。鑒于向量投影具有更好的綜合測(cè)度，它可以同時(shí)反映兩個(gè)向量指標(biāo)之間的距離和夾角，因此，本文通過(guò)引入向量投影測(cè)度公式，并在此基礎(chǔ)上提出了一種新的投影測(cè)度公式。通過(guò)對(duì)向量投影測(cè)度公式加以推廣用來(lái)描述兩個(gè)區(qū)間數(shù)時(shí)間序列的接近程度，以平均標(biāo)準(zhǔn)化投影測(cè)度為最優(yōu)化準(zhǔn)則，構(gòu)建了四個(gè)不同投影測(cè)度的全新區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型。并通過(guò)實(shí)例分析驗(yàn)證了所構(gòu)建的組合預(yù)測(cè)模型是一類有效的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型。