摘 要：傳統(tǒng)技術(shù)分析方法無法在數(shù)學(xué)上證明其有效性，使用古老而原始的圖形和指標(biāo)分析手段來獲取股票價(jià)格中的基本波動信息，其分析結(jié)果不僅大大滯后于實(shí)際的股票價(jià)格變化趨勢，還受隨機(jī)噪聲的嚴(yán)重干擾，具有很大的不確定性。本文根據(jù)《數(shù)理金融學(xué)》的實(shí)證研究結(jié)果建立了股票價(jià)格數(shù)學(xué)模型，從數(shù)學(xué)上證明了在微觀尺度上表現(xiàn)出隨機(jī)性和不可預(yù)測性的股票價(jià)格波動，在宏觀尺度上具有總體的確定性和可預(yù)測性，并設(shè)計(jì)出LPD數(shù)字低通差分濾波器，可從股票價(jià)格數(shù)據(jù)中分離出相位超前的基本波動微分信號，提前預(yù)測基本波動的運(yùn)動狀態(tài)，以期為股票投資者提供及時(shí)有效的科學(xué)決策依據(jù)。

關(guān)鍵詞：技術(shù)分析；股票價(jià)格數(shù)學(xué)模型；布朗噪聲；微分超前預(yù)測；LPD低通差分濾波器

本文索引：高宏.<變量 2>[J].中國商論，2023（12）：-125.

中圖分類號：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-0298（2023）06（b）--05

1 引言

技術(shù)分析以股票市場過去和現(xiàn)在的價(jià)格和成交量等數(shù)據(jù)為分析對象，通過圖形或數(shù)據(jù)處理手段來預(yù)測股票價(jià)格未來的變化趨勢，從而為投資者確定股票買賣時(shí)機(jī)提供決策依據(jù)。現(xiàn)有技術(shù)分析理論只是一堆通過觀察和歸納獲得的個別經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，無法在數(shù)學(xué)上證明其有效性，也沒有形成邏輯上嚴(yán)密、完整、系統(tǒng)的理論體系。技術(shù)分析雖然最早可追溯到18世紀(jì)中葉日本大米期貨交易市場中使用的日式蠟燭圖，但是現(xiàn)有技術(shù)分析仍然使用古老而原始的圖形和指標(biāo)分析手段來獲取股票價(jià)格中的基本波動信息，其分析結(jié)果不僅大大滯后于實(shí)際的股票價(jià)格變化趨勢，還會受到隨機(jī)噪聲的嚴(yán)重干擾，使得分析結(jié)果因人而異，具有很大的主觀性、隨意性和不確定性。馬丁·普林格（Marin Pring）在其經(jīng)典著作《技術(shù)分析》導(dǎo)論中首先表明：“技術(shù)分析研究的是可能性，而非確定性，技術(shù)分析是一門發(fā)現(xiàn)市場轉(zhuǎn)折點(diǎn)的藝術(shù)”。此外，現(xiàn)有技術(shù)分析理論使用十字星、上吊線、墓碑線、頭肩頂、雙重底一系列帶有濃厚占星術(shù)色彩的術(shù)語來描述股票價(jià)格的運(yùn)動狀態(tài)，因而受到學(xué)術(shù)界的廣泛質(zhì)疑和嚴(yán)厲批判（羅聞全，2014）。伯頓·馬爾基爾（Burton Malkiel）在其暢銷書《漫步華爾街》中寫道 “在嚴(yán)格科學(xué)的檢驗(yàn)下，技術(shù)分析和占星術(shù)沒有區(qū)別”。

本文根據(jù)《數(shù)理金融學(xué)》“股票價(jià)格對數(shù)收益率為白噪聲”的實(shí)證研究結(jié)果建立了股票價(jià)格數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出了股票價(jià)格的功率譜密度，從數(shù)學(xué)上證明了在微觀尺度上表現(xiàn)出隨機(jī)性和不可預(yù)測性的股票價(jià)格波動，在宏觀尺度上具有總體的確定性和可預(yù)測性，使具有100多年發(fā)展歷史的技術(shù)分析學(xué)科從感性經(jīng)驗(yàn)總結(jié)上升到理性科學(xué)理論，從而使人們對股票價(jià)格波動現(xiàn)象及規(guī)律的認(rèn)識產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。本文設(shè)計(jì)了LPD數(shù)字低通差分濾波器，可從股票價(jià)格數(shù)據(jù)中提取相位超前的基本波動微分信號，提前預(yù)測股票價(jià)格基本波動的底部、上升、頂部和下降等運(yùn)動狀態(tài)，為股票投資者提供有效可靠的科學(xué)決策依據(jù)。

2 股票價(jià)格數(shù)學(xué)模型及功率譜密度

《數(shù)理金融學(xué)》研究領(lǐng)域的眾多學(xué)者通過對股票市場的長期觀察和實(shí)證研究，早就得出了“股票價(jià)格的對數(shù)收益率為白噪聲（White Noise）”的結(jié)論（Fama，1965）。圖1為2001—2022年的上證指數(shù)及其對數(shù)收益率（日），波形與電子線路中的白噪聲信號相同，表明上證指數(shù)的變化在下一時(shí)刻的方向和大小是完全隨機(jī)的。

假設(shè)s（t）為t時(shí)刻的股票價(jià)格，x（t）=ln s（t），則股票價(jià)格s（t）的對數(shù)收益率可表示為

式中，n（t）為零均值不相關(guān)白噪聲函數(shù)。

式（1）為x（t）的一階差分，設(shè)x（0）=0，則

從式（2）的股票價(jià)格模型可以看出，股票價(jià)格x（t）不僅與當(dāng)前時(shí)刻的n（t）有關(guān)，還與過去所有時(shí)刻的n（t）有關(guān)，表明x（t）具有很強(qiáng)的記憶性，投資者可以根據(jù)歷史價(jià)格和歷史價(jià)格的變化來預(yù)測其未來的走勢。

白噪聲n（t）的功率譜密度在整個頻域內(nèi)為常量，由式（2）立即可得x（t）的功率譜密度：

式（3）中，ω為諧波分量的角頻率；N0為白噪聲n（t）的功率譜密度，其物理意義表示白噪聲信號在單位電阻上產(chǎn)生的平均功率。

從式（3）可以看出，x（t）的功率譜密度與ω2成反比。Andreadis（2000）對1988年12月1日—1998年4月1日的S&P 500標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)（日）進(jìn)行了功率譜計(jì)算，得出了S&P 500指數(shù)的對數(shù)功率譜密度與頻率的平方成反比的實(shí)證結(jié)果，與式（3）的理論推導(dǎo)結(jié)果完全相同。

股票價(jià)格x（t）的功率譜密度與ω2成反比，表明股票價(jià)格x（t）是能量集中在低頻段的紅噪聲（Red Noise）或布朗噪聲（Brown Noise），具有 1/f 分形特征標(biāo)度變換下的結(jié)構(gòu)不變性（自相似性），在宏觀尺度上存在可以識別和利用的規(guī)律，具有可預(yù)測性。

此外，股票價(jià)格x（t）的功率譜密度與ω2成反比，表明x（t）中所有諧波分量的波動幅度與其波動周期成正比，與道氏理論和波浪理論對股票價(jià)格波動現(xiàn)象的描述完全一致。道氏理論用文字描述股票價(jià)格的這一現(xiàn)象，波浪理論則使用圖形描述這一現(xiàn)象，它們是通過對股票市場多年的觀察分析使用歸納方法得出的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律。

3 道氏理論的三種波動

道氏理論是技術(shù)分析的鼻祖，是由發(fā)明DJIA道瓊斯指數(shù)，并創(chuàng)辦《華爾街日報(bào)》的查爾斯·道（Charles Dow）在100年前創(chuàng)立的。查爾斯·道通過對股票市場的觀察發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格是由以下三種不同周期的波動疊加而成：

（1）基本波動：周期1年或1年以上的波動，其波動幅度最大，是造成投資者盈利或虧損的根本原因。基本波動的上升過程形成股票市場的牛市，下降過程形成股票市場的熊市?；静▌釉醋酝顿Y者心理情緒周期行為的驅(qū)動，具有很大的慣性，基本波動的運(yùn)動趨勢可以被跟蹤預(yù)測。受歷史條件的局限，查爾斯·道并沒有給出定量分析基本波動的有效方法。

（2）次級波動：周期3周到3個月的波動，波動幅度為基本波動幅度的1/3左右。次級波動的方向與基本波動的方向可能相同，也可能相反。當(dāng)次級波動的方向與基本波動相反時(shí)，在牛市中會形成幅度較大的中期調(diào)整，使投資者誤認(rèn)為股票市場開始下跌；在熊市中會形成幅度較大的反彈，使投資者誤認(rèn)為股票市場開始反轉(zhuǎn)。因此，次級波動具有很大的欺騙性，難以為股票投資者提供準(zhǔn)確、可靠的科學(xué)決策信息。

（3）日常波動：周期為幾天以內(nèi)的波動，具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，不可預(yù)測。日常波動的幅度雖然不大，但是會對判斷基本波動位置和趨勢帶來極大的隨機(jī)噪聲干擾。

查爾斯·道把上述三種波動形象地比喻為大海中的潮漲潮落，基本波動就像大海中的潮汐，海水在月球和太陽引力作用下形成確定性的周期波動；次級波動就像大海中的海浪，是海水受到風(fēng)力的作用而產(chǎn)生的波動，其大小和方向很難預(yù)測；日常波動就像海面上的漣漪，小而不定，具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。

道氏理論認(rèn)為：股票指數(shù)或股票價(jià)格的日常波動可能受到人為操縱，次級波動也可能在某種有限的程度上受到人為操縱，但是股票指數(shù)或股票價(jià)格中的基本波動無法人為操縱，也就是說，人為操縱無法撼動股票指數(shù)或股票價(jià)格中基本波動的運(yùn)動趨勢。

4 股票價(jià)格技術(shù)分析模型

查爾斯·道只觀察了5年的股票市場數(shù)據(jù)，沒有發(fā)現(xiàn)股票價(jià)格波動中存在的長期線性趨勢。第一位獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家薩繆爾森（Samuelson）通過對半個世紀(jì)的美國股票市場進(jìn)行實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格中存在長期線性趨勢。

根據(jù)股票價(jià)格x（t）的功率譜密度與ω2成反比的性質(zhì)及道氏理論對股票價(jià)格波動現(xiàn)象的描述方法，可將式（2）表示的股票價(jià)格數(shù)學(xué)模型簡化為圖2所示的技術(shù)分析模型。

由圖2可以看出，實(shí)際股票價(jià)格由線性趨勢（零頻波動）、基本波動、次級波動和日常波動四種不同周期（頻率）的波動疊加而成，因此股票價(jià)格可用公式定性表示為：

股票價(jià)格=線性趨勢+基本波動+次級波動+日常波動

在四種不同周期的波動中，基本波動的幅度在有限時(shí)間內(nèi)最大，是產(chǎn)生股票投資盈利或虧損的直接原因。基本波動帶有股票投資者所需的所有信息，如果能在基本波動的底部（極小值）買入和頂部（極大值）賣出，就可消除投資風(fēng)險(xiǎn)，并實(shí)現(xiàn)投資收益最大化。

調(diào)整圖2股票價(jià)格技術(shù)分析模型中次級波動的頻率、幅值及初始相位，可模擬出傳統(tǒng)技術(shù)分析理論中的所有典型股票價(jià)格圖形及形態(tài)。

在2005—2007年的牛市中，上證指數(shù)從2005年6月6日的998.23點(diǎn)一直上升到2007年10月16日的6124.04點(diǎn)，增長幅度高達(dá)613.48%，但是平均到每天的上升趨勢（基本波動）變化只有0.3%，而上證指數(shù)日常波動的最大幅度為9%，波動標(biāo)準(zhǔn)差為3.1%。因此，上證指數(shù)的上升趨勢（基本波動）完全被日常波動所淹沒，人們很難察覺到上升趨勢（基本波動）的存在。

傳統(tǒng)技術(shù)分析方法由于使用古老而原始的圖形和指標(biāo)分析手段來提取股票價(jià)格中的基本波動信息，不但難以消除隨機(jī)噪聲（日常波動）和短期波動（次級波動）對分析結(jié)果的干擾，因而造成分析結(jié)果因人而異，具有很大的主觀性、隨意性和不確定性，而且分析結(jié)果嚴(yán)重滯后于實(shí)際股票價(jià)格的變化趨勢，無法為股票投資者提供及時(shí)準(zhǔn)確的基本波動底部、上升、頂部和下降等狀態(tài)信息。

股票投資者的盈利和虧損完全取決于買入點(diǎn)和賣出點(diǎn)在基本波動曲線上的相對位置，但是基本波動完全被日常波動和次級波動所淹沒，而傳統(tǒng)技術(shù)分析方法又無法完全消除日常波動和次級波動對基本波動的干擾，因此技術(shù)分析必須借助現(xiàn)代數(shù)字信號分析技術(shù)。先把隱藏在日常波動和次級波動中的基本波動分離出來，再準(zhǔn)確判斷出基本波動的運(yùn)動狀態(tài)（底部、上升、頂部、下降），才能為股票投資者提供及時(shí)準(zhǔn)確的科學(xué)決策依據(jù)。

傳統(tǒng)技術(shù)分析有三條重要的基本假設(shè)（Murphy，2012）：

（1）市場行為包含一切信息；

（2）價(jià)格以趨勢方式演變；

（3）歷史會重演。

表面來看，技術(shù)分析似乎只關(guān)心股票價(jià)格本身的波動狀態(tài)及趨勢，而不關(guān)注引起股票價(jià)格變化的宏觀經(jīng)濟(jì)形勢、行業(yè)發(fā)展趨勢和企業(yè)經(jīng)營狀況等基本面因素。事實(shí)上，從股票市場系統(tǒng)模型來看（高宏，2020），股票價(jià)格是股票市場所有內(nèi)、外部因素綜合作用的結(jié)果，所有公開信息、內(nèi)部信息、歷史信息和噪聲信息對股票價(jià)格的影響都會反映在股票價(jià)格的變化上，因此“市場行為包含一切信息”的基本假設(shè)與客觀事實(shí)完全一致。

假設(shè)（2）和假設(shè)（3）實(shí)質(zhì)上描述的是股票價(jià)格基本波動特征。假設(shè)（2）所說的趨勢是指基本波動從波底上升到波頂?shù)拇_定性過程，或從波頂下降到波底的確定性過程；假設(shè)（3）則是指基本波動的循環(huán)往復(fù)現(xiàn)象。

5 MA移動平均線

1935年，哈羅德·M·伽利（Harold M. Gartley）在《從股市中贏利（Profits in the Stock Market）》一書中首先使用了MA（moving averages）算數(shù)移動平均方法對股票價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，以便清晰地看出股票價(jià)格中的基本波動變化趨勢。

MA移動平均線是利用連續(xù)N個交易日股票收盤價(jià)的算數(shù)平均值計(jì)算出來的，其計(jì)算公式如下：

式中，Ci為第i日的股票收盤價(jià)。

MA移動平均線可消除股票價(jià)格數(shù)據(jù)中的日常波動（隨機(jī)干擾）和次級波動（短期震蕩），使股票價(jià)格的運(yùn)動趨勢變得平滑，因而成為證券投資領(lǐng)域應(yīng)用最普遍的一種技術(shù)指標(biāo)。

從數(shù)字信號分析的角度來看，MA移動平均計(jì)算方法實(shí)際上相當(dāng)于一個FIR（Finite Impulse Response）數(shù)字低通濾波器，其單邊帶寬為2π/N，噪聲減小比NRR（Noise Reduction Ratio）為1/N，只要N足夠大，就能將日常波動和次級波動衰減到最低程度，因此長期MA移動平均線實(shí)質(zhì)上是股票價(jià)格基本波動曲線。

但是，MA移動平均線計(jì)算方法會產(chǎn)生τ =（N-1）/2的相位延遲，使MA移動平均線（基本波動的波形）嚴(yán)重滯后于實(shí)際股票價(jià)格的趨勢變化，無法為投資者提供及時(shí)準(zhǔn)確的基本波動狀態(tài)信息。

圖3為京東方2013年2月—2019年8月的周K線、48周MA移動平均線和LPD低通差分濾波器曲線。由圖3可以看出，MA移動平均線為連續(xù)、可微、無折點(diǎn)的光滑曲線，具有明顯的底部、上升、頂部和下降等運(yùn)動狀態(tài)信息，但是MA移動平均線嚴(yán)重滯后于實(shí)際股票價(jià)格曲線，無法為投資者提供及時(shí)準(zhǔn)確的買入和賣出信號。

6 微分超前預(yù)測原理

假設(shè)股票價(jià)格中的基本波動為簡諧振動，即基本波動是按正弦函數(shù)規(guī)律變化的周期振動，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，A為振幅；ω為振動角頻率；為初始相位。

假設(shè)T為基本波動完成一次振動所需的時(shí)間周期，則有：

對式（5）的基本波動進(jìn)行微分，可得基本波動的微分表達(dá)式：

比較式（5）和式（7）可知，基本波動的微分具有以下兩個重要特征：

（1）基本波動的微分是與基本波動具有相同頻率的簡諧振動；

（2）基本波動的微分較基本波動的相位超前π/2或1/4周期。

圖4為式（5）描述的基本波動曲線和式（7）描述的基本波動微分曲線，可以看出基本波動微分曲線與基本波動曲線具有相同的振動頻率，但其波形超前基本波動1/4周期，因此可用來提前預(yù)測基本波動的底部、上升、頂部和下降等運(yùn)動狀態(tài)。

簡諧振動的微分超前預(yù)測原理在自動控制領(lǐng)域中獲得了極為廣泛的應(yīng)用，各種自動控制系統(tǒng)中的微分控制器可對系統(tǒng)輸出偏差進(jìn)行超前校正，大幅度加快自動控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度，并降低系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量。

7 LPD低通差分濾波器

LPD（Low-Pass Difference）低通差分濾波器是一種FIR數(shù)字濾波器，其顯著特點(diǎn)是在實(shí)現(xiàn)低通濾波的同時(shí)一并進(jìn)行差分運(yùn)算，因此可用來提取股票價(jià)格數(shù)據(jù)中的基本波動微分信號波形，從而實(shí)現(xiàn)基本波動運(yùn)動狀態(tài)（底部、上升、頂部和下降）的超前預(yù)測。

FIR數(shù)字濾波器的輸入/輸出關(guān)系可表示為以下的差分方程：

式中，x（n）為FIR數(shù)字濾波器輸入序列（股票價(jià)格時(shí)間序列），y（n）為FIR數(shù)字濾波器輸出序列；h（n）為FIR數(shù)字濾波器系數(shù)，即FIR數(shù)字濾波器單位沖激響應(yīng)；N為FIR數(shù)字濾波器的長度。

LPD（Low-Pass Difference）低通差分濾波器的頻率響應(yīng)可寫為

式中，απ為低通差分濾波器的截止頻率。

使用契比雪夫最佳一致逼近方法可求出LPD數(shù)字低通差分濾波器的所有濾波器系數(shù)h（n），獲得較為理想的通帶和阻帶性能。

LPD數(shù)字低通差分濾波器具有MA移動平均線的低通濾波特性，有效衰減股票價(jià)格數(shù)據(jù)中的日常波動（隨機(jī)干擾）和次級波動（短期波動），同時(shí)提取出基本波動的微分波形。

LPD數(shù)字低通差分濾波器與MA移動平均線一樣，也會產(chǎn)生τ =（N-1）/2的延遲。假設(shè)股票價(jià)格基本波動的周期為T，若LPD數(shù)字低通差分濾波器的延遲：

則從股票價(jià)格數(shù)據(jù)中提取出的基本波動微分波形就會在相位上超前實(shí)際的基本波動或與實(shí)際的基本波動同步，從而可為股票投資者提供超前或及時(shí)準(zhǔn)確的科學(xué)決策依據(jù)。

圖3中的LPD數(shù)字低通差分濾波器曲線是從京東方股票數(shù)據(jù)中提取出的基本波動微分曲線。由于實(shí)際股票價(jià)格中的基本波動并非理想的簡諧振動，其波底寬、波峰窄，因此LPD數(shù)字低通差分濾波器曲線的底部超前于實(shí)際股票價(jià)格的底部，頂部與實(shí)際股票價(jià)格同步，可為投資者提供超前的買入信號和及時(shí)的賣出信號。

8 結(jié)語

技術(shù)分析作為股票投資分析的主要工具，已被廣泛運(yùn)用于股票市場的投資交易活動中。但是，現(xiàn)有技術(shù)分析理論只是一堆分散、彼此毫無任何邏輯關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，分析結(jié)果會因人而異，具有很大的主觀性、隨意性和不確定性。本文根據(jù)《數(shù)理金融學(xué)》“股票價(jià)格對數(shù)收益率為不相關(guān)白噪聲”的實(shí)證研究結(jié)果，建立了股票價(jià)格數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出股票價(jià)格的功率譜密度，使用數(shù)學(xué)語言描述并分析股票價(jià)格的波動現(xiàn)象及規(guī)律，證明了股票價(jià)格在宏觀尺度上具有可預(yù)測性，使傳統(tǒng)的技術(shù)分析理論從歸納經(jīng)驗(yàn)總結(jié)發(fā)展成演繹科學(xué)理論，具有傳統(tǒng)技術(shù)分析理論沒有的客觀性、普遍性、抽象性、確定性和超前預(yù)測特性，可為股票投資活動的量化分析、價(jià)格預(yù)測、投資決策、風(fēng)險(xiǎn)管理及市場監(jiān)管提供及時(shí)準(zhǔn)確的科學(xué)理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

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